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1、第六章机器人动力学本讲稿第一页，共二十二页6.16.1连杆的速度和加速度分析连杆的速度和加速度分析连杆的速度和加速度分析连杆的速度和加速度分析由前面的知识可知由前面的知识可知将上式两边对时间求导，得将上式两边对时间求导，得或或其中其中本讲稿第二页，共二十二页一、一、一、一、刚体的速度和加速度刚体的速度和加速度刚体的速度和加速度刚体的速度和加速度将前面的线速度关系将前面的线速度关系两边对时间求导，得线加速度关系两边对时间求导，得线加速度关系根据根据A和和B不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行简化，简不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行简化，简化的结果参见书化的结果参见书P74。本讲稿第三
2、页，共二十二页因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系C，则角速度和角加则角速度和角加速度关系分别为：速度关系分别为：注：注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量自由矢量，如速度，如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置）四要素矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置）四要素所规定的矢量称为所规定的矢量称为线矢量线矢量，如力矢量。，如力矢量。本讲稿第四页，共二十二页二、旋转关节的连杆运动传递二、旋转关节的连杆运动传递二、旋转关节的连杆运动传递二、旋转关节的连杆运动传递线
3、速度和角速度传递关系为：线速度和角速度传递关系为：线加速度和角加速度传递关系为：线加速度和角加速度传递关系为：本讲稿第五页，共二十二页6.26.2连杆静力学分析连杆静力学分析连杆静力学分析连杆静力学分析当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得到力和力当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得到力和力矩的平衡方程式（在矩的平衡方程式（在i中的表示）：中的表示）：忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0）反向递推各连杆）反向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：本讲稿
4、第六页，共二十二页对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：分量为：对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：分量为：本讲稿第七页，共二十二页6.3.16.3.1转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 平移作为回转运动来分析平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律和和若把这一运动看成是杆长为若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为集中质量在末端为m的杆件绕的杆件绕z轴的回轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为转运动，则得到加速度和力的关系式为6.3Newton-Euler递推动力学方程递推动力学方程本
5、讲稿第八页，共二十二页式中，式中，和和N是绕是绕z轴回转的角加速度和转矩。轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时相当于平移运动时的质量，称为的质量，称为转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量。将它们代入前面的方程，得：将它们代入前面的方程，得：令令，则有：，则有：本讲稿第九页，共二十二页例：例：求图所示的质量为求图所示的质量为M，长度为长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量量I。解：匀质杆的微段解：匀质杆的微段dx的质量用线密度的质量用线密度（=M/L）表示为表示为dm=dx。该微段产生的
6、转动惯量为该微段产生的转动惯量为。因此，把因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：为：本讲稿第十页，共二十二页例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，为离杆中心的距离，则得到则得到即平行轴定理：即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两
7、轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心设刚体对过质心C的的Zc轴的转动惯量为轴的转动惯量为IZC，对与对与Zc轴平行的轴平行的Z轴的转轴的转动惯量为动惯量为IZ，该两轴间的距离为该两轴间的距离为d，刚体的质量为刚体的质量为M，则则本讲稿第十一页，共二十二页6.3.2Newton-Euler递推动力学方程递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量、总质量m与产生这一加速度的作用力与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度，角
8、加速度角加速度，惯性，惯性张量张量与作用力矩与作用力矩n之间满足欧拉方程：之间满足欧拉方程：一、牛顿一、牛顿-欧拉方程欧拉方程本讲稿第十二页，共二十二页二、惯性张量二、惯性张量令令c是以刚体的质心是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系该坐标系c，惯性张量，惯性张量定义为定义为的对称矩阵：的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。，其余元素为惯性积。惯性张量表示刚体质量分布的特征。惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系
9、有关，其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。本讲稿第十三页，共二十二页例：例：例：例：如图所示的如图所示的1自由度机械手。假自由度机械手。假定绕关节轴定绕关节轴z的转动惯量为的转动惯量为IZ，z轴为垂轴为垂直纸面的方向。直纸面的方向。解：解：解：解：式中，式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量得到：轴分量得到：zmg本讲稿第十四页，共二十二页6.46.4LagrangeLagrange动力学动力学动力学动力学对于任何机械系统，拉
10、格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能定义为系统总的动能K与总的与总的势能势能P之差，即之差，即L=K-P。这里，这里，L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；k是动能；是动能；P是势能。是势能。或或 利用利用Lagrange函数函数L，系统的动力学方程（称为第二类系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）方程）为：为：表示动能，表示势能。表示动能，表示势能。本讲稿第十五页，共二十二页例：平面例：平面RP机械手如图所示，连杆机械手如图所示，连杆1和连杆和连杆2的质量分别为的质量分别为m1和和m2，质心的位置由质心的位置由l1和和d2所规定，惯性张量为（所规定，惯性张量为
11、（z轴垂直纸面）：轴垂直纸面）：本讲稿第十六页，共二十二页解：解：连杆连杆1，2的动能分别为：的动能分别为：机械手总的动能为机械手总的动能为连杆连杆1，2的势能分别为的势能分别为机械手总的位能（势能）为机械手总的位能（势能）为本讲稿第十七页，共二十二页计算各偏导数计算各偏导数将以上结果代入将以上结果代入Lagrange方程方程得得本讲稿第十八页，共二十二页附：就前面的附：就前面的1自由度机械手用自由度机械手用Lagrange法求解如下：法求解如下：总势能为总势能为代入代入Lagrange方程方程得得，与前面的结，与前面的结果一致。这里果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：解：总动能总动能（为
12、广义坐标）为广义坐标）zmg本讲稿第十九页，共二十二页.若若1自由度机械手为匀质连杆，质自由度机械手为匀质连杆，质量为量为m，长度为，长度为L，结果会怎样？，结果会怎样？.若若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量，集中质量m在连杆在连杆末端末端L处，结果会怎样？处，结果会怎样？z问题：问题：本讲稿第二十页，共二十二页6.56.5关节空间和操作空间动力学关节空间和操作空间动力学关节空间和操作空间动力学关节空间和操作空间动力学关节空间动力学方程：关节空间动力学方程：操作空间动力学方程：操作空间动力学方程：它反映了操作力它反映了操作力F与末端加速度与末端加速度之间的函数关系。之间的函数关系。它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。为惯性矩阵；为惯性矩阵；为离心力和哥氏力向量；为离心力和哥氏力向量；为重力矢量。为重力矢量。本讲稿第二十一页，共二十二页Class is Class is over.over.Bye-Bye!Bye-Bye!本讲稿第二十二页，共二十二页