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1、第七节 曲率本讲稿第一页，共十页规定：规定：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号ss当当AM的方向与曲线正向的方向与曲线正向一致时一致时,则则称为曲线的称为曲线的弧长函数弧长函数.一、弧微分一、弧微分1.弧长函数弧长函数弧长函数的微分是弧长函数的微分是2.弧微分弧微分本讲稿第二页，共十页曲率是描述曲线弯曲程度的量曲率是描述曲线弯曲程度的量)转角越大转角越大,弯曲程度越大弯曲程度越大转角相同弧越短弯曲越大转角相同弧越短弯曲越大1 1、曲率的定义、曲率的定义)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 以下根据上述特征引入曲率的定义以下根据上述特征引入曲率的
2、定义.曲线的弯曲程度与切线的转角曲线的弯曲程度与切线的转角成正比成正比;与曲线弧的长度与曲线弧的长度ss成反比成反比.二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式本讲稿第三页，共十页)yxo设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，定义定义曲线曲线C在点在点M处的处的曲率曲率曲率曲率上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .本讲稿第四页，共十页例例.(1)(1)直线的曲率直线的曲率:圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.(2)(2)圆的曲率圆的曲率:处处为零处处为零;本讲稿第五页，共十页2 2、曲率的计算
3、公式、曲率的计算公式上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第六页，共十页例例1.解解:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由得在点得在点(1,1)处的曲率为处的曲率为本讲稿第七页，共十页定义定义上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点M处的曲率圆处的曲率圆.以以D为圆心为圆心,r r 为半径作圆为半径作圆(如图如图),一侧取一点一侧取一点D,使使|DM|=在点在点M处曲线的法线上处曲线的法线上,在凹的在凹的设曲线设曲线y=f(x)在点在点M(x,y)处的曲率为处的曲率为k(k 0).k=r r.三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径1.1.曲线
4、在点曲线在点M处的曲率圆与处的曲率圆与曲线在曲线在M处有相同的切线处有相同的切线注注:和相同的和相同的曲率曲率.本讲稿第八页，共十页 2.2.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数倒数:3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).).上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第九页，共十页解答解答要使要使 最大，最大，此时此时 最大最大.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题 椭圆椭圆上哪些点处曲率最大？上哪些点处曲率最大？必有必有 最小，最小，本讲稿第十页，共十页