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1、函数的表示方法分段函数及映射第1页，本讲稿共29页探究点探究点1 1 解析法解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点优点:函数关系清楚、精确；函数关系清楚、精确；容易从自变量的值求容易从自变量的值求出其对应的函数值；出其对应的函数值；便于研究函数的性质。解析法是便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。中学研究函数的主要表达方法。第2页，本讲稿共29页探究点探究点2 2 列表法列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.如如：平平方方表表，平平方方根根表表，汽汽车车、火火车
2、车站站的的里里程程价价目目表表、银银行行里的里的“利率表利率表”等。等。优点优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用的应用.第3页，本讲稿共29页探究点探究点3 3 图象法图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.如：一次函数如：一次函数y ykxkxb(kb(k0 0、b b0)0)的的图象是一条直线；图象是一条直线；y yO Ox x优点：优点：能形象直观地
3、表示出函数的变化趋势，是今后利能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础用数形结合思想解题的基础.第4页，本讲稿共29页例例1 1 某种笔记本的单价是某种笔记本的单价是5 5元，买元，买 个笔记个笔记本需要本需要y y元元.试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).y=f(x).x x1 12 23 34 45 5y y5 51010151520202525解：解：这个函数的定义域是数集这个函数的定义域是数集1,2,3,4,51,2,3,4,5列表法表示如下：列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示
4、为用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、孤立的点等。孤立的点等。第5页，本讲稿共29页(1)(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？用描点法画函数图象的一般步骤是什么？列表、描点、连线列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线视其定义域决定是否连线)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域要写出函数的定义域.第6页，本讲稿共29
5、页第第1 1次次第第2 2次次第第3 3次次第第4 4次次第第5 5次次第第6 6次次王伟王伟988791928895张城张城907688758680赵磊赵磊686573727582班级平班级平均分均分88.278.385.480.375.782.6例例2 2 下表是某校高一（下表是某校高一（1 1）班三名同学在高一学年度六次数学测试）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.测试序号测试序号成绩成绩姓名姓名第7页，本讲稿共29页解：解：从表中可以知道每位
6、同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况每位同学的成绩变化情况.如果将如果将“成绩成绩”与与“测试序号测试序号”之间的之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况化的情况.这对我们的分析很有帮助这对我们的分析很有帮助.第8页，本讲稿共29页作函数图象时应注意的事项作函数图象时应注意的事项:(1)(1)画函数图象时首先关注函数的定义域画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图即在定义域内作图;(2)(2)图象是实线或实点图象
7、是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象衬托整个图象;(3)(3)要标出某些关键点要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点要分清这些关键点是实心点还是空心点.提升总结提升总结第9页，本讲稿共29页1.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象:(1)(1)(2)(2)解：解：（1 1）（2 2）第10页，本讲稿共29页在它的定义域在它的定义域中，对于自变中，对于自变量的不同取值量的不同取值范围，对应关范围，对应关系不同系不同.画出函数画出函数 的图象的图象.-2 -
8、30 123xy12345-1第11页，本讲稿共29页探究点探究点1 1 分段函数分段函数（1 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；注意注意（2 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集并集.有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.第12页，本讲稿共29页以下叙述正确的有（以下叙述正确的有（）(1)(1)分段函数的定义域是各
9、段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值值域是各段值域的并集域的并集.(2)(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但它是一个函数它是一个函数.(3)(3)若若D D1 1、D D2 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则则D D1 1DD2 2 也能成立也能成立.（A A）1 1个个 （B B）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D）0 0个个C C变式练习：变式练习：第13页，本讲稿共29页1.1.求分段函数的函数值：求分段函数的函数值：例例1 1 已知函数已知函
10、数f(x)=f(x)=x+2,(xx+2,(x1)1)；x x2 2,(,(1 1x x2)2)；2x,(x2).2x,(x2).(2)(2)若若f(x)=3,f(x)=3,求求x x的值的值.(1)(1)求求 的值的值;解：解：（1 1）（2 2）第14页，本讲稿共29页例例3 3 某市某市“招手即停招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：公共汽车的票价按下列规则制定：（1 1）5 5公里以内公里以内(含含5 5公里公里)，票价，票价2 2元；元；（2 2）5 5公里以上，每增加公里以上，每增加5 5公里，票价增加公里，票价增加1 1元（不足元（不足5 5公里的按公里的按5 5公里计算）公里
11、计算）.如果某条线路的总里程为如果某条线路的总里程为2020公里，请根据题意，公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.3.3.求分段函数的解析式求分段函数的解析式第15页，本讲稿共29页y=y=2,0 x 52,0 x 53,5 x 103,5 x 104,10 x 154,10 x 155,15 x205,15 x20解：解：设票价为设票价为y y元，里程为元，里程为x x公里，由题意可知，自变量公里，由题意可知，自变量x x的取值的取值范围是（范围是（0 0，2020由由“招手即停招手即停”公共汽车票价的制定规定，
12、可得到以下公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：函数解析式：根据这个函数解析式，根据这个函数解析式，可画出函数图象，可画出函数图象，如右图如右图:y y2 2O O5 51010 151520201 13 34 45 5x x第16页，本讲稿共29页1.1.已知已知求求 的值的值.解：解：第17页，本讲稿共29页2.2.某质点在某质点在30s30s内运动速度内运动速度vcm/svcm/s是时是时间间t t的函数的函数,它的图象如右图，用解它的图象如右图，用解析式表示出这个函数析式表示出这个函数.解解:v(t)=v(t)=t+10,(0 t5)t+10,(0 t5)3t,(5 t3t,(
13、5 t10)10)30,(10 t 30,(10 t 20)20)-3t+90,(20 t30)-3t+90,(20 t30)3030t/st/s1010202010103030v/cmsv/cms-1-1O O1515202025255 5第18页，本讲稿共29页填写下图中的对应关系填写下图中的对应关系AB（1)1)相应国家的首都相应国家的首都(2)(2)求平方求平方(3)(3)乘以乘以2 2 北京 首尔中国 韩国x xx2x2x一对一一多对多对一一对一一对一(1),(2),(3)(1),(2),(3)的共同特征的共同特征:集合集合A A中的任何一个元素中的任何一个元素,在集合在集合B B中
14、都中都有唯一的元素和它对应有唯一的元素和它对应.X X的首都的首都1 1 2 2 3 3 1 4 9AB1 2 3 4 5 61 2 3 AB探究点探究点2 2 映射映射第19页，本讲稿共29页 一般地，设一般地，设A A、B B是两个是两个非空的集合非空的集合，如果按某一个确定的对应，如果按某一个确定的对应关系关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任意一个元素一个元素x x，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确确定的元素定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f:ABf:AB为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一的一个映射个映射.映射的概念映射的概
15、念若若对应对应是映射是映射，必须满足两个条件：，必须满足两个条件：AA中任何一个元素在中任何一个元素在B B中都有元素与之对应中都有元素与之对应.A A在在B B中所对应的元素是唯一的中所对应的元素是唯一的.注注意意第20页，本讲稿共29页因此还可以用映射的概念来定义函数：因此还可以用映射的概念来定义函数：如果如果A A、B B是非空数集，那么是非空数集，那么A A到到B B的映射的映射f:AB,f:AB,就叫做就叫做A A到到B B的函数，的函数，记作：记作：y=f(x)y=f(x)函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射函数函数映射映射对应对应第21页，本讲稿共29页例例4 4 以下以下给
16、给出的出的对应对应是不是从集合是不是从集合A A到到B B的映射？的映射？(1)(1)集合集合A AP|PP|P是数是数轴轴上的点上的点，集合，集合B BR R，对应对应关系关系f f：数：数轴轴上的点与它所代表的上的点与它所代表的实实数数对应对应；(2)(2)集合集合A AP|PP|P是平面直角坐是平面直角坐标标系中的点系中的点，集合，集合B B(x(x，y)|xRy)|xR，yRyR，对应对应关系关系f f：平面直角坐：平面直角坐标标系中的点系中的点与它的坐与它的坐标对应标对应；(3)(3)集合集合A Ax|xx|x是三角形是三角形，集合，集合B Bx|xx|x是是圆圆，对应对应关系关系f
17、 f：每一个三角形都：每一个三角形都对应对应它的内切它的内切圆圆；(4)(4)集合集合A Ax|xx|x是新是新华华中学的班中学的班级级，集合，集合B Bx|xx|x是新是新华华中学中学的学生的学生，对应对应关系关系f f：每一个班：每一个班级级都都对应对应班里的学生班里的学生.是是不是不是是是是是第22页，本讲稿共29页xxyyyy000022222222（A A）1.1.（20122012西安高一检测）设西安高一检测）设A=0,2,B=1,2,A=0,2,B=1,2,在下列各图中，在下列各图中，能表示能表示f:ABf:AB的函数是（的函数是（）.D Dxx（B B）（C C）（D D）11
18、111111第23页，本讲稿共29页2.2.判断下列对应是否为映射？判断下列对应是否为映射？abcefgabcdefgabcefgd是是是是不是不是第24页，本讲稿共29页3.3.判断下列对应是不是从判断下列对应是不是从A A到到B B的映射：的映射：(1)A(1)AN N，B BN N*，f f：x|xx|x2|2|；(2)A(2)Ax|0 x6x|0 x6，B By|0y2y|0y2，f f：xyxy(3)A(3)Ax|x3x|x3，xNxN，B Ba|a0a|a0，aZaZ，f f：xaxa ；解：解：（1 1）集合）集合A A中的元素中的元素2 2在对应关系下，在对应关系下，B B中没
19、有元素与之中没有元素与之对应，故不是映射对应，故不是映射.（2 2）A A中元素中元素6 6在对应关系下，在对应关系下，B B中没有元素与之对应，故不是映中没有元素与之对应，故不是映射射.（3 3）是映射）是映射.第25页，本讲稿共29页4.(20114.(2011泰安模拟泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下：每户每某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过月用水不超过4 4吨为每吨吨为每吨1.801.80元，当用水超过元，当用水超过4 4吨，超过部分每吨，超过部分每吨吨3.003.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费元，某月甲、乙两户居民共缴水费y y元，已知甲、乙元，已知甲、乙两户的用水
20、量分别为两户的用水量分别为5x5x、3x(3x(吨吨).).(1)(1)求求y y关于关于x x的函数；的函数；(2)(2)若甲、乙两户该月共缴水费若甲、乙两户该月共缴水费26.4026.40元，分别求出甲、乙元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费两户该月的用水量和水费.【解析解析】(1)(1)依题意得依题意得y=y=14.4x,0 x ,14.4x,0 x ,20.4x-4.8,20.4x-4.8,x ,x ,24x-9.6,x24x-9.6,x .第26页，本讲稿共29页(2)(2)由于由于y=f(x)y=f(x)在各段区间上均单调递增，在各段区间上均单调递增，当当x(0,)x(0,)时
21、，时，yf()yf()26.426.4；当当x(,)x(,)时，时，yf()yf()26.426.4；当当x(,+)x(,+)时，令时，令24x-9.6=26.424x-9.6=26.4，得，得x=1.5.x=1.5.所以甲用户的用水量为所以甲用户的用水量为5x=7.5(5x=7.5(吨吨)，缴水费缴水费41.8+3.53=17.7(41.8+3.53=17.7(元元)，乙用户用水量为乙用户用水量为3x=4.5(3x=4.5(吨吨)，缴水费缴水费41.8+0.53=8.7(41.8+0.53=8.7(元元).).第27页，本讲稿共29页你能说出函数与映射之间的异同吗你能说出函数与映射之间的异同吗?(1)(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数的推广；函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数的推广；(2)(2)函数是非空数集函数是非空数集A A到非空数集到非空数集B B的映射，而对于映射，的映射，而对于映射，A A和和B B不一定是数集。不一定是数集。第28页，本讲稿共29页回顾本节课你有什么收获回顾本节课你有什么收获解析解析式式分段函数的概念分段函数的概念图图象象分段函分段函数的函数的函数值数值映射映射的的概念概念核心概念核心概念第29页，本讲稿共29页