第八章磁场能量精选文档.ppt

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1、第八章磁场能量本讲稿第一页，共三十八页电流从电流从0I的过程中，的过程中，电源克服自感电动势所做的总功：电源克服自感电动势所做的总功：在回路系统中通以在回路系统中通以电流电流时，由于各回路时，由于各回路自感自感和和互感互感作用，作用，电源电源必须提供能量用以克服必须提供能量用以克服自感电动势自感电动势和和互感电动势互感电动势而而作功作功。这这功功最后转化为最后转化为载流回路载流回路的的能量能量和和回路电流间回路电流间的的相互作用能相互作用能，也就是，也就是磁场的能量磁场的能量。电源电源克服自感电动势克服自感电动势所做的所做的元功元功：自感电动势：自感电动势：8.1 8.1 自感磁能自感磁能IR

2、 KL由能量守恒：由能量守恒：自感储能公式自感储能公式图图8.1 R8.1 R、L L串联串联本讲稿第二页，共三十八页 如图，在建立电流过程中，电如图，在建立电流过程中，电源除了供给线圈中产生源除了供给线圈中产生焦耳热的能焦耳热的能量量和和抵抗自感电动势抵抗自感电动势作功作功外，还要外，还要抵抗抵抗互感电动势互感电动势作功作功为为 ，即，即故互感磁能为故互感磁能为1 12 2I1I2图图8.2 8.2 互感线圈互感线圈8.2 8.2 互感磁能互感磁能本讲稿第三页，共三十八页两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为 应该强调，应该强调，自感磁能自感磁能不可能是负值不可

3、能是负值，但，但互感磁能互感磁能却可却可 是是负值负值。（为什么。（为什么?）由此可推广到由此可推广到k k个线圈的个线圈的普遍情形普遍情形，即，即 将上述总磁能写成对称形式，即将上述总磁能写成对称形式，即载流线圈在外磁场中磁能载流线圈在外磁场中磁能本讲稿第四页，共三十八页I IR R K KL L 例题例题8-18-1把自感为把自感为2H，电阻为电阻为10的线圈，连接的线圈，连接到电动势到电动势=100V、内阻可忽略不计的电池组上。求内阻可忽略不计的电池组上。求电流达到最大值时电流达到最大值时,线圈中所储的磁能线圈中所储的磁能Wm？从从接通电路算起，经过多长时间线圈中所储磁能接通电路算起，经

4、过多长时间线圈中所储磁能 Wm达到的一半？达到的一半？在接通在接通0.1s时，磁场中储存能量的增时，磁场中储存能量的增加率、线圈中的热功率、电池组的输出功率？加率、线圈中的热功率、电池组的输出功率？解：解：电路中电流电路中电流当当 时时图图8.3 8.3 题题8-18-1用图用图本讲稿第五页，共三十八页设在设在 时，时，在接通在接通0.1s时时即即本讲稿第六页，共三十八页在接通在接通0.1s时电流增加率时电流增加率线圈中能量增加率则为线圈中能量增加率则为线圈中热功率则为线圈中热功率则为电池组输出功率则为电池组输出功率则为本讲稿第七页，共三十八页证明证明 M12=M211)1)先建立先建立 I1

5、，这时，这时K 为断开状态为断开状态;2)2)再建立再建立 I2，此过程中调节，此过程中调节1,维持维持 I1 不变；不变；3)3)在回路在回路 1 1 中中 产生互感电动势产生互感电动势则则4)4)若与上述顺序相反，先建立若与上述顺序相反，先建立 I2，再建立，再建立 I1，且维持，且维持 I2 不变不变则则终态能量与建立顺序无关，即终态能量与建立顺序无关，即则得则得K1 12 21图图8.4 8.4 证明证明 M12=M21NextNext2本讲稿第八页，共三十八页以以通电螺绕环通电螺绕环为例，得到磁能与磁场的关系为例，得到磁能与磁场的关系对于通电螺绕环对于通电螺绕环用上式代入用上式代入得

6、磁能：得磁能：上式表明：上式表明：磁能磁能与与磁感强度磁感强度B有关，还与磁场所有关，还与磁场所占体积占体积成正比成正比。即。即磁能磁能定域于磁场的整个体积定域于磁场的整个体积。I I R图图8.5 8.5 通电螺绕环通电螺绕环8.3 8.3 磁能和磁能密度磁能和磁能密度本讲稿第九页，共三十八页磁能密度：磁能密度：磁场总能量磁场总能量注意：注意：1.1.积分应遍及积分应遍及整个整个磁场分布的磁场分布的空间空间；2.2.磁能公式对于磁能公式对于铁磁质铁磁质不适用（为什么？）不适用（为什么？）;可证明，在普遍情况下，磁场中的可证明，在普遍情况下，磁场中的磁能密度磁能密度表达为表达为:本讲稿第十页，

7、共三十八页4.4.对于对于两个载流线圈两个载流线圈同时存在时，不仅同时存在时，不仅要考虑要考虑自感磁能自感磁能，还要考虑，还要考虑互感磁能互感磁能。3.3.对于一个对于一个载流线圈载流线圈，利用，利用磁能关系式磁能关系式，提供了计算自感，提供了计算自感L L的另的另一种计算方法一种计算方法式中前两项分别为两个线圈的式中前两项分别为两个线圈的自感磁能自感磁能，笫三项为，笫三项为互感磁能互感磁能。从式中还可知，系统的总磁能只与最后所达到的状态有关，而与从式中还可知，系统的总磁能只与最后所达到的状态有关，而与磁场磁场建立的过程无关建立的过程无关。1 12 2I I1 1I I2 2图图8.6 8.6

8、 载流线圈载流线圈本讲稿第十一页，共三十八页【讨论】：【讨论】：只与只与终态有关终态有关，与建立电流的，与建立电流的先后顺序无关先后顺序无关；前两项对应自感磁能，第三项对应互感磁能，前两项对应自感磁能，第三项对应互感磁能，互感磁能互感磁能有正、有负有正、有负，视，视 与与 的夹角而定；的夹角而定；迅变电流时，只有后者适用，其迅变电流时，只有后者适用，其适用范围广适用范围广；电流变化慢时电流变化慢时或或前者说明磁能存在于前者说明磁能存在于载流线圈载流线圈中，中，后者说明磁能存在于后者说明磁能存在于场不为零的空间场不为零的空间，更具普遍意义；，更具普遍意义；可作为自感系数可作为自感系数L 的更具普

9、遍意义的定义式，的更具普遍意义的定义式，可作为互感系数可作为互感系数M 的更具普遍意义的定义式。的更具普遍意义的定义式。本讲稿第十二页，共三十八页例题例题8-2用磁场能量的方法，证明两个线圈的用磁场能量的方法，证明两个线圈的互感系数互感系数 （设没有铁磁物质存在）。（设没有铁磁物质存在）。M12=M21 然后接通线圈然后接通线圈2，电流，电流 i2从零增加到从零增加到 I2，同时，同时维持线圈维持线圈1内的电流内的电流 I1不变，故线圈不变，故线圈2内电源做功内电源做功证设两个线圈在开始时都断路。先接通证设两个线圈在开始时都断路。先接通线圈线圈1，电流，电流i1从零增加到从零增加到I1，电源做

10、功，电源做功线圈线圈1内要维持电流内要维持电流 I1不变，需要克服互感电动势作功不变，需要克服互感电动势作功12I1I2图图8.7 题题8-2用图用图本讲稿第十三页，共三十八页因此两载流线圈系统的磁能应等于因此两载流线圈系统的磁能应等于 同样，如果先建立线圈同样，如果先建立线圈2 2内的电流内的电流 I I2 2，然后维持，然后维持 I I2 2不变，建不变，建立线圈立线圈1 1中的电流中的电流 I I1 1 ，则得则得因为系统的能量与电流形成的过程无关，故结论是因为系统的能量与电流形成的过程无关，故结论是M12=M21=M问题：运用磁能的方法求解线圈串连的自感问题：运用磁能的方法求解线圈串连

11、的自感?本讲稿第十四页，共三十八页【例【例8-38-3】：计算长直同轴电缆单位长度内的电感】：计算长直同轴电缆单位长度内的电感L0 ，设，设电流均匀分布于内导线横截面上。电流均匀分布于内导线横截面上。【解解】：内外导体间的磁场内外导体间的磁场内导线中的磁场内导线中的磁场R1R2图图8.8 同轴电缆截面同轴电缆截面本讲稿第十五页，共三十八页磁能密度磁能密度所以所以由由得得本讲稿第十六页，共三十八页 例例8.48.4 一同轴电缆，中心是半径为一同轴电缆，中心是半径为a的圆柱形的导线，外的圆柱形的导线，外部是内半径为部是内半径为b、外半径为、外半径为c的导体圆筒，在内、外导体之间的导体圆筒，在内、外

12、导体之间充满磁导率为充满磁导率为 的介质，电流的介质，电流I在内、外导体中的方向如右下在内、外导体中的方向如右下图所示。设电流沿截面均匀分布，求这电缆单位长度的图所示。设电流沿截面均匀分布，求这电缆单位长度的自感自感系数系数L L0 0。解解 原来原来我们从计算磁场和我们从计算磁场和磁通量出发求自感磁通量出发求自感，这种方法这种方法在此处不便使用。在此处不便使用。下面下面换一种方法换一种方法，即，即先求先求 ，再根据，再根据 计算自计算自感感L L。为计算。为计算 ，考虑长度，考虑长度为为l的一段电缆，的一段电缆，将其按图将其按图划分为为四个区域划分为为四个区域，分别计算各区的磁场、磁能密度和

13、磁能。分别计算各区的磁场、磁能密度和磁能。本讲稿第十七页，共三十八页1 1区：区：，（对一般导体成立）。由环路定理可（对一般导体成立）。由环路定理可得：得：2 2区：区：，磁，磁导导率率为为，可求得：，可求得：本讲稿第十八页，共三十八页3 3区：区：，。穿过半径为穿过半径为r环路的总电流为环路的总电流为故有故有:本讲稿第十九页，共三十八页4 4区：区：，穿过半径为，穿过半径为r的环路的总电流为的环路的总电流为 于是于是有有和和由上述结果计算长度为由上述结果计算长度为l的电缆的总磁能：的电缆的总磁能：然后由然后由和和求得电缆单位长度的自感求得电缆单位长度的自感本讲稿第二十页，共三十八页*8.4

14、*8.4 非线性介质及磁滯损耗非线性介质及磁滯损耗 前面限于前面限于线性无损耗介质线性无损耗介质，本节讨论，本节讨论非线非线性介质的性介质的磁能磁能及及磁滞损耗磁滞损耗问题问题。简化为简化为螺绕环螺绕环情况：设螺绕环的截面积为情况：设螺绕环的截面积为S，线圈匝数为线圈匝数为N，电流为，电流为I，内部填满磁化强度为，内部填满磁化强度为M的磁介质。设在的磁介质。设在dt时间内螺绕环内的磁感应时间内螺绕环内的磁感应强度由强度由B增至增至B+dB，则穿过线圈的，则穿过线圈的总磁通变化总磁通变化为：为：(8.4.1)(8.4.1)电源克服感应电动势所作的元功为：电源克服感应电动势所作的元功为：(8.4.

15、2)(8.4.2)本讲稿第二十一页，共三十八页由安培环路定理，可推得：由安培环路定理，可推得：(8.4.3)(8.4.3)将上式代入可得：将上式代入可得：(8.4.4)(8.4.4)对对单位体积螺绕环介质单位体积螺绕环介质，电源所作的元功为：，电源所作的元功为：(8.4.5)(8.4.5)进一步可将上式改写为进一步可将上式改写为 ：(8.4.6)(8.4.6)本讲稿第二十二页，共三十八页在磁荷观点下，一般将上式右边第一项称为在磁荷观点下，一般将上式右边第一项称为宏观磁宏观磁能密度的变化能密度的变化。该式的。该式的物理意义物理意义：电源所作的功：电源所作的功一一部分部分用来增加用来增加宏观磁能宏

16、观磁能，另一部分另一部分为对介质作的为对介质作的磁磁化功化功。要要分析磁化功分析磁化功的具体形式及其后果，必须考虑介质的具体形式及其后果，必须考虑介质的磁化规律，即的磁化规律，即M和和H的函数关系。的函数关系。对对线性无损耗介质线性无损耗介质，可将磁化规律写成：，可将磁化规律写成：对对各向同性介质各向同性介质有有 ，。本讲稿第二十三页，共三十八页可证可证 ，于是得：，于是得：(8.4.7)(8.4.7)式式 中称中称磁化能密度磁化能密度。上式表明：磁化功全部转换为介质的磁化能。将上式表明：磁化功全部转换为介质的磁化能。将上式代入式上式代入式（8.4.6）得：得：(8.4.8)(8.4.8)即电

17、源作功全部转化为螺绕环的磁能。即电源作功全部转化为螺绕环的磁能。注意：注意：这里的磁能密度等于这里的磁能密度等于宏观磁能密度宏观磁能密度之和。之和。和和磁化磁化能密度能密度本讲稿第二十四页，共三十八页 对对非线性磁介质非线性磁介质不再有上述简单结论。下面以不再有上述简单结论。下面以铁磁体为例铁磁体为例进行讨论。当从某点进行讨论。当从某点A出发沿着磁滞回线循环一周回到出发沿着磁滞回线循环一周回到A A时，时，电流对单位体积铁磁体所作的功可由式（电流对单位体积铁磁体所作的功可由式（8.4.68.4.6）求得：）求得：(8.4.9)(8.4.9)式中右边沿磁滞回线的闭路积分正好等式中右边沿磁滞回线的

18、闭路积分正好等于磁滞回线所围的于磁滞回线所围的“面积面积”。这部分这部分功不改变磁场强度和介质的磁化状功不改变磁场强度和介质的磁化状态态，它所传递的能量将转化为热量它所传递的能量将转化为热量。这部分因磁滞现象而消耗的能量称这部分因磁滞现象而消耗的能量称为为磁滞损耗磁滞损耗。在交流电路中，在交流电路中，电感元件铁芯的磁滞电感元件铁芯的磁滞损耗是有害的损耗是有害的，应当尽量使之减少，应当尽量使之减少，并采取措施防止铁芯过热。并采取措施防止铁芯过热。本讲稿第二十五页，共三十八页8.5 8.5 利用磁能求磁力利用磁能求磁力（自学）自学）在已知外磁场和电流的分布之后，可通过安培公式来在已知外磁场和电流的

19、分布之后，可通过安培公式来计算磁力，该内容已在第六章计算磁力，该内容已在第六章6.16.1节作过讨论。节作过讨论。在有些情况下，在有些情况下，系统的磁能易于求得，通过它求磁力更方便系统的磁能易于求得，通过它求磁力更方便，本节将介绍这一方法。本节将介绍这一方法。先来分析由先来分析由N N个载流线圈构成的电流系统，考虑其中一个载流线圈构成的电流系统，考虑其中一个载流线圈所受的磁力个载流线圈所受的磁力F F。设想该载流线圈有一虚位移。设想该载流线圈有一虚位移 ，在该虚位移下各线圈的在该虚位移下各线圈的电流电流维持不变维持不变。此时，磁力作功。此时，磁力作功为：为：(8.5.1)(8.5.1)与此同时

20、，维持各线圈与此同时，维持各线圈电流不变电流不变需要外部电源需要外部电源反抗感应电反抗感应电动势作功，设这部分功为动势作功，设这部分功为 。本讲稿第二十六页，共三十八页电源作功使系统磁能增加，而电源作功使系统磁能增加，而磁力作功则使系统磁能减少磁力作功则使系统磁能减少，故系统磁能的变化故系统磁能的变化 应为：应为：(8.5.2)(8.5.2)为弄清为弄清 和和 的具体关系，需要求出的具体关系，需要求出 和和 的的关系。为此，设因受力载流线圈作虚位移关系。为此，设因受力载流线圈作虚位移 导致第导致第i i个个线圈的磁通量变化线圈的磁通量变化 ，则该线圈中的电源反抗感应电动势，则该线圈中的电源反抗

21、感应电动势作功应为：作功应为：于是电源作的总功为：于是电源作的总功为：(8.5.3)(8.5.3)本讲稿第二十七页，共三十八页相应系统磁能的变化可导出：相应系统磁能的变化可导出：(8.5.4)(8.5.4)比较式（比较式（8.5.38.5.3）和式（）和式（8.5.48.5.4），可以看出：），可以看出：(8.5.5)(8.5.5)将式将式（8.5.58.5.5）代入式（）代入式（8.5.28.5.2）右边得：）右边得：(8.5.6)(8.5.6)由式（由式（8.5.18.5.1）和式（）和式（8.5.68.5.6）可得：）可得：(8.5.7)(8.5.7)下标下标I I表示求表示求 的偏导数

22、或梯度时，的偏导数或梯度时，中中I应视为常数。应视为常数。本讲稿第二十八页，共三十八页再介绍另一个与式（再介绍另一个与式（8.5.78.5.7）等效的由磁能求力的公式等效的由磁能求力的公式。为。为此，我们此，我们假定在受力线圈虚位移过程中假定在受力线圈虚位移过程中，维持各线圈的维持各线圈的磁通不磁通不变变，从而线圈中不会出现感应电动势。在这种方案下，从而线圈中不会出现感应电动势。在这种方案下，电源电源将不参与作功将不参与作功，故磁力作功，故磁力作功 正好等于系统磁能的减少正好等于系统磁能的减少 ，即：，即：(8.5.8)(8.5.8)由式（由式（8.5.18.5.1）和式（）和式（8.5.88

23、.5.8）可得：）可得：(8.5.9)(8.5.9)下标下标表示在求表示在求 的偏导数或梯度时，的偏导数或梯度时，中的中的应视为应视为常数。常数。本讲稿第二十九页，共三十八页当有线性无损耗磁介质存在时，式（当有线性无损耗磁介质存在时，式（8.5.78.5.7）或式（）或式（8.5.98.5.9）也成立，只是系统的磁能也成立，只是系统的磁能 中包括了介质的磁化能。中包括了介质的磁化能。当研究载流线圈在外磁场中受的磁力时，可用载流线圈在当研究载流线圈在外磁场中受的磁力时，可用载流线圈在外磁场中的磁能外磁场中的磁能 代替，而不必计入载流线圈和外磁场代替，而不必计入载流线圈和外磁场本身的自能。本身的自

24、能。当位移用角位移代替时，可求得力矩公式：当位移用角位移代替时，可求得力矩公式：(8.5.10)(8.5.10)(8.5.11)(8.5.11)本讲稿第三十页，共三十八页 现在我们从磁能出发来现在我们从磁能出发来重新分析外磁场作用在载流线圈上重新分析外磁场作用在载流线圈上的的力力和和力矩力矩。设。设线圈尺寸很小线圈尺寸很小，其磁矩为，其磁矩为m，外磁场为，外磁场为B，则，则由式（由式（8.2.48.2.4）可知，其）可知，其磁能磁能为：为：从式（从式（8.5.78.5.7）出发，固定）出发，固定I不变相当于固定不变相当于固定m的大小不变，且的大小不变，且 为平动位移，故为平动位移，故m的方向也

25、不变。于是有：的方向也不变。于是有：(8.5.12)(8.5.12)根据矢量微分公式：根据矢量微分公式：考虑到考虑到B B为外场，在线圈所在处有为外场，在线圈所在处有 成立，故：成立，故：有用的实例有用的实例本讲稿第三十一页，共三十八页根据式（根据式（8.5.108.5.10），可算得磁场作用在），可算得磁场作用在磁矩上的磁矩上的力矩力矩(8.5.13)(8.5.13)注意注意 是从是从B B开始计算，故开始计算，故 与与 反向。反向。在第六章在第六章6.46.4节讨论顺磁效应的微观机制时，曾把磁矩节讨论顺磁效应的微观机制时，曾把磁矩为为 的分子在磁场的分子在磁场B B中的能量定为中的能量定为

26、 ；在量子力学中，具有固有磁矩在量子力学中，具有固有磁矩mm的基本粒子在外磁场中的能量的基本粒子在外磁场中的能量也定义为也定义为 。二者均与磁能的定义式（。二者均与磁能的定义式（8.2.48.2.4）差一）差一负号。负号。这一差别在于这一差别在于：由：由 定义的是磁矩为定义的是磁矩为mm的粒的粒子在外磁场子在外磁场B B中的中的“势能势能”，即固定，即固定mm不变（不考虑这样做不变（不考虑这样做是否需要付出代价或额外作功），由粒子在外磁场中的位置和是否需要付出代价或额外作功），由粒子在外磁场中的位置和取向所决定的势能，取向所决定的势能，它的变化等于磁力作功的值反号它的变化等于磁力作功的值反号。

27、本讲稿第三十二页，共三十八页于是，于是，磁力的公式磁力的公式为：为：(8.5.14)(8.5.14)式（式（8.5.148.5.14）在形式上与式（）在形式上与式（8.5.78.5.7）差一负号，而实际上，）差一负号，而实际上，如将如将 代入式（代入式（8.5.148.5.14），则两式完全一致。），则两式完全一致。相应，磁场作用在磁矩上的相应，磁场作用在磁矩上的力矩表达式力矩表达式应变成：应变成：(8.5.15)(8.5.15)它与式（它与式（8.5.108.5.10）实际上是一致的。在讨论某种固有磁矩的）实际上是一致的。在讨论某种固有磁矩的基本粒子问题时常取其基本粒子问题时常取其势能势能

28、，则相应地求磁力和磁力矩，则相应地求磁力和磁力矩的公式用式（的公式用式（8.5.148.5.14）和式（）和式（8.5.158.5.15）。）。本讲稿第三十三页，共三十八页 例例8.58.5求相距求相距r r、磁矩为、磁矩为 和和 的两磁偶极子相互作的两磁偶极子相互作用力（见右下图）。用力（见右下图）。解解 由第五章由第五章5.25.2节节式式（5.2.65.2.6）可知，）可知，在在 处处产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为:于是，于是，的磁能为的磁能为:本讲稿第三十四页，共三十八页继而按式（继而按式（8.5.128.5.12）求得）求得 对对 的作用力：的作用力：不难证明不难证明 ，但是在

29、但是在 中的第二项中的第二项，一般不一般不会沿两偶极子的连线方向会沿两偶极子的连线方向。这说明即使对于两闭合电流，这说明即使对于两闭合电流，它们之间的磁力也不完全满足牛顿第三定律。它们之间的磁力也不完全满足牛顿第三定律。例例8.68.6如下页图所示，具有恒定的高磁导率如下页图所示，具有恒定的高磁导率 的马蹄形的马蹄形磁介质，与一磁导率相同的条形介质组成一磁路，它们的横磁介质，与一磁导率相同的条形介质组成一磁路，它们的横截面为矩形，面积为截面为矩形，面积为A A，长度为，长度为l l。马蹄形磁介质上绕有。马蹄形磁介质上绕有N N匝匝导线，通以恒定电流导线，通以恒定电流I I，求马蹄形，求马蹄形本

30、讲稿第三十五页，共三十八页与条形磁介质之间的吸力。与条形磁介质之间的吸力。解解 设马蹄形磁介质与条形磁介设马蹄形磁介质与条形磁介质之间有一小间隙为质之间有一小间隙为x，间隙内磁，间隙内磁场强度为场强度为 ，磁介质内磁场强度为，磁介质内磁场强度为 ，由，由安培环路定理安培环路定理可得可得:由由磁感应强度法向分量连续磁感应强度法向分量连续的条件的条件可得可得:即即将将 代入前式，得代入前式，得:本讲稿第三十六页，共三十八页从中解得从中解得:相应求得相应求得全磁通量、磁能全磁通量、磁能和和磁力磁力，结果如下：，结果如下：条形磁介质与马蹄形磁介质密接时的相互吸力为条形磁介质与马蹄形磁介质密接时的相互吸力为F F。本讲稿第三十七页，共三十八页 第八章第八章 磁能小结磁能小结（1 1）自感磁能）自感磁能（2 2）互感磁能）互感磁能（4 4）电场能量密度）电场能量密度（3 3）截流线圈所储）截流线圈所储存的总磁能存的总磁能本讲稿第三十八页，共三十八页