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1、第五节二维随机变量函数的分布本讲稿第一页，共四十页3.5.1 和的分布和的分布3.5.1.1 离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布3.5.1.2 连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布3.5.4 极值分布极值分布第五节第五节 二维随机变量的函数分布二维随机变量的函数分布本讲稿第二页，共四十页二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布函数为其联合分布函数为 是随机变量是随机变量 的二元函数的二元函数 n 的分布函数的分布函数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？本讲稿第三页，共四十页一、离散型分布的情形
2、一、离散型分布的情形例例1 1 若若X、Y独立独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立由独立性性此即离散此即离散卷积公卷积公式式r=0,1,2,3.5.1 和的分布：和的分布：Z=X+Y 本讲稿第四页，共四十页例例2 2 设设 的联合分布列为的联合分布列为 YX-2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12分别求出分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y的分布列的分布列本讲稿第五页，共四十页解解 由由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表
3、格的联合分布列可得如下表格 概率概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253本讲稿第六页，共四十页解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率概率1/121/123/122/121/122/122/12本讲稿第七页，共四十页解：依题意解：依题意 例例3 3 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松
4、分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,本讲稿第八页，共四十页即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1，本讲稿第九页，共四十页例例4 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p
5、),则则X 是在是在n1次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率出现的概率都为都为p.本讲稿第十页，共四十页 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现的概率为出现的概率为p,于于是是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数的随机变量）为参数的随机变量即即:若若X与与Y Y相互独立，相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则则X+YB(n1+n2,p)二项分布的可加性二项分布的可加性本讲稿第十一页，共四十页例例5 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x
6、,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形本讲稿第十二页，共四十页 化成累次积分化成累次积分,得得由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.交换积分次序交换积分次序本讲稿第十三页，共四十页 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密的边缘密度分
7、别为度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度本讲稿第十四页，共四十页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例6 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式即即本讲稿第十五页，共四十页如图示如图示:于是于是本讲稿第十六页，共四十页解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发x+y=z当当z 0 时时，1yx1可用可用卷积公式直接求密度
8、函数卷积公式直接求密度函数与与通过分布函数求密度通过分布函数求密度函数函数两种方法求和的分布两种方法求和的分布本讲稿第十七页，共四十页x+y=z当当0 z 1 时时，1yx1zz本讲稿第十八页，共四十页x+y=z当当1 z 2 时，时，z-11yx1zz本讲稿第十九页，共四十页1yx1x+y=z22当当2 z 时，时，本讲稿第二十页，共四十页例例7 设随机变量设随机变量X1和和X2相互独立相互独立,且均服从标准正态分且均服从标准正态分布布N(0,1),求求Y=X1+X2的概率密度函数的概率密度函数.解解 由题意得由题意得 X1和和X2相互独立相互独立,故故本讲稿第二十一页，共四十页结论结论:两
9、个独立的正态分布的随机变量的和两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布仍服从正态分布.X1+X2N(1+2,12+22)正态分布的可加性正态分布的可加性.即即:若若X1N(1,12),X2N(2,22),X1,X2独立独立,则则有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:本讲稿第二十二页，共四十页推论推论:有限个独立的正态分布的线性函数有限个独立的正态分布的线性函数 仍服从正态分布仍服从正态分布.即即:若若XiN(i,i2),(i=1,2,.n),X1,X2,.Xn相相互互独立独立,实数实数a1,a2,.,a
10、n不全为零不全为零,则则 特别特别,若若X1,X2,.Xn独立同正态分布独立同正态分布N(,2),则则记记:本讲稿第二十三页，共四十页 从前面例从前面例5可以看出可以看出,在求随机向量在求随机向量(X,Y)的的函函数数Z=g(X,Y)的分布时，的分布时，关键是设法将其转化为关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布.本讲稿第二十四页，共四十页例例8 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午1212时时3030分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:1512:15到到1
11、2:4512:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:0012:00到到13:0013:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5 5分钟的概率分钟的概率.又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？本讲稿第二十五页，共四十页所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:设设X X为甲到达时刻为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以1212时为起点，以分为单位，依题意时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性
12、由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率本讲稿第二十六页，共四十页解一解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)本讲稿第二十七页，共四十页解二解二：P(X Y)P(|X-Y|5)本讲稿第二十八页，共四十页设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 3.5.2 一般函数一般函数Z=g(X,Y)的分布的分布本讲稿第二十九页，共四十
13、页3.5.4 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.设设X，Y是两个是两个相互独立相互独立的随机变量，的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),本讲稿第三十页，共四十页M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)=FX(z)F
14、Y(z)本讲稿第三十一页，共四十页 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)本讲稿第三十二页，共四十页设设X1,Xn是是n个个相互独立相互独立的随机变量的随机变量,(i=0,1，,n)它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是特别，当特别，当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(
15、x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n与二维情形类似，可得与二维情形类似，可得:本讲稿第三十三页，共四十页 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具相互独立且具有相同分布函数有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值实用价值.本讲稿第三十四页，共四十页 下面我们举一例，说明当下面我们举一例，说明当X1,X2为离散型为离散型r.
16、v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.本讲稿第三十五页，共四十页解一解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 00，0,0,试分别就以上两种试分别就以上两种联结方式写出联结方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密的概率密度度本讲稿第三十九页，共四十页 这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：布的原理和方法，需重点掌握的是：1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布的概率分布本讲稿第四十页，共四十页