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1、分离变量法2022/9/25【可编辑】【可编辑】q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.1前言前言分离变量法是求解线性定解问题的一个最常用方法。分离变量法是求解线性定解问题的一个最常用方法。一个偏微分方程中至少有两个自变量，分离变量法就是一个偏微分方程中至少有两个自变量，分离变量法就是通过将解中各个自变量分离开来（通过将解中各个自变量分离开来（即把解写成几个只包含即把解写成几个只包含一个
2、自变量的函数的乘积的形式一个自变量的函数的乘积的形式），从而把原来的偏微分），从而把原来的偏微分方程及边界条件化成几个常微分方程的边值问题的方法。方程及边界条件化成几个常微分方程的边值问题的方法。要想做到上述分离，其要想做到上述分离，其前提条件是原来的偏微分方程及前提条件是原来的偏微分方程及边界条件都是齐次的边界条件都是齐次的。6.1前言前言分离后，通过解几个常微分方程的边值问题（分离后，通过解几个常微分方程的边值问题（本征值问本征值问题题），得到原偏微分方程的无穷多个满足边界条件且自变），得到原偏微分方程的无穷多个满足边界条件且自变量已分离的特解。再把所有的特解叠加起来得到一个无穷量已分离的
3、特解。再把所有的特解叠加起来得到一个无穷级数并利用初值条件（或没有用过的边界条件）确定其中级数并利用初值条件（或没有用过的边界条件）确定其中的系数，最终得到原定解问题的形式解。的系数，最终得到原定解问题的形式解。前言前言使用分离变量法时有两个关键的问题需要回答：使用分离变量法时有两个关键的问题需要回答：u一是把解写成上述无穷级数形式是否可能？是否合理一是把解写成上述无穷级数形式是否可能？是否合理？u二是如果方程或边界条件不是齐次的，怎么办？二是如果方程或边界条件不是齐次的，怎么办？第一个问题是理论基础，这由二阶线性常微分方程的本征第一个问题是理论基础，这由二阶线性常微分方程的本征理论（施图姆刘
4、维尔理论）给出了圆满答案。（教材的理论（施图姆刘维尔理论）给出了圆满答案。（教材的第第6节作了简要概述）节作了简要概述）第二个问题原则上就是要设法作第二个问题原则上就是要设法作齐次化处理齐次化处理，特别是首先，特别是首先要把边界条件化成齐次的。要把边界条件化成齐次的。q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.2分离变量理论分离变量理论对于给定的偏微分方程实施变量分离应具备什么条件？对于给定
5、的偏微分方程实施变量分离应具备什么条件？为此，以二阶线性偏微分方程为例来讨论。二元二阶线性齐为此，以二阶线性偏微分方程为例来讨论。二元二阶线性齐次偏微分方程的一般形式如下：次偏微分方程的一般形式如下：A(x x,h h)uxxxx+B(x x,h h)uxhxh+C(x x,h h)uhhhh+D(x x,h h)ux x+E(x x,h h)uh h+F(x x,h h)u=0上述方程总可以通过自变量变换变成如下的标准形式：上述方程总可以通过自变量变换变成如下的标准形式：a(x,y)uxx+c(x,y)uyy+d(x,y)ux+e(x,y)uy+f(x,y)u=0而且而且（1）当）当a=-c
6、时，它是双曲型方程；时，它是双曲型方程；（2）当当a=c=0时，它是抛物型方程；时，它是抛物型方程；（3）当）当a=c0时，它是椭圆型方程；时，它是椭圆型方程；泛定方程实施变量分离的条件泛定方程实施变量分离的条件分离变量理论分离变量理论假设假设u(x,y)=X(x)Y(y)，其中其中X和和Y为二次可微的单变量函为二次可微的单变量函数，数，满足上述标准形式的方程，代入方程后有满足上述标准形式的方程，代入方程后有 aXxxY+cXYyy +dXxY +eXY y +f XY=0p方程的系数不全为常数；方程的系数不全为常数；p方程的系数不全为常数；方程的系数不全为常数；分离变量理论分离变量理论情况情
7、况1：方程方程aXxxY+cXYyy +dXxY +eXY y +f XY=0的系数不的系数不全为常数全为常数假设假设存在函数存在函数P(x,y)，使得方程两边除以使得方程两边除以P(x,y)后能变为后能变为 a1(x)XxxY+b1(y)XYyy +a2(x)XxY +b2(y)XY y +a3(x)+b3(y)XY=0两边再除以两边再除以XY后得：后得：上式左边为上式左边为x的函数，右边为的函数，右边为y的函数。要等式成立，只的函数。要等式成立，只有两边等于同一个常数，从而可得到两个常微分方程：有两边等于同一个常数，从而可得到两个常微分方程：分离变量理论分离变量理论直接在两边除以直接在两边
8、除以XY后得：后得：即即可得到两个常微分方程：可得到两个常微分方程：情况情况2：方程方程 aXxxY+cXYyy +dXxY +eXY y +f XY=0的系数均为的系数均为常数常数分离变量理论分离变量理论由此可见，变系数二阶线性齐次方程不是总能实施变量分由此可见，变系数二阶线性齐次方程不是总能实施变量分离的，必须找到那个能使方程得到转化的函数离的，必须找到那个能使方程得到转化的函数P(x,y)。然而，对于二阶线性齐次常系数方程来说，总是可以实施然而，对于二阶线性齐次常系数方程来说，总是可以实施变量分离的。变量分离的。分离变量理论分离变量理论边界条件实施变量分离的条件边界条件实施变量分离的条件
9、对于一维情形，常见的齐次边界条件为：对于一维情形，常见的齐次边界条件为：将将u(x,t)=X(x)T(t)代入得代入得由于要求由于要求u(x,t)不是恒等于零的解，故要求不是恒等于零的解，故要求T(t)0，得得由此可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量由此可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件。此外对边界条件实施变量分离时，未知函数的边界条件。此外对边界条件实施变量分离时，最好选择适合于边界的坐标系。如矩形区域宜采用直角坐最好选择适合于边界的坐标系。如矩形区域宜采用直角坐标系，圆形或扇形区域宜采用极坐标系。标系，圆形或扇形区域宜采用极坐标系。q前言前言q分离变
10、量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.3有界弦的自由振动有界弦的自由振动下面以一维两端固定弦的自由振动为例来讨论分离变量法下面以一维两端固定弦的自由振动为例来讨论分离变量法的基本思路和主要步骤。的基本思路和主要步骤。其定解问题如下：其定解问题如下：泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：在此定解问题中，方程和边界条件都是齐次的，但初在此定解问题中，方程和边界条件都是齐次的，但初始条件
11、是非齐次的。始条件是非齐次的。有界弦的自由振动有界弦的自由振动【解】第一步：分离变量【解】第一步：分离变量将试探解将试探解u(x,t)=X(x)T(t)代入齐次泛定方程和齐次边界条件。代入齐次泛定方程和齐次边界条件。齐次泛定方程变为：齐次泛定方程变为：或或上式左边为上式左边为x的函数，右边为的函数，右边为t的函数。要使等式成立，只的函数。要使等式成立，只有两边等于同一个与上述两个自变量无关的常数。令此有两边等于同一个与上述两个自变量无关的常数。令此常数为常数为-l l，从而可得到两个常微分方程：从而可得到两个常微分方程：有界弦的自由振动有界弦的自由振动将将u(x,t)=X(x)T(t)代入齐次
12、边界条件得代入齐次边界条件得由于要求由于要求u(x,t)不是恒等于零的解，故要求不是恒等于零的解，故要求T(t)0，得得因此原问题就变成了要先求解下列常微分方程边值问题：因此原问题就变成了要先求解下列常微分方程边值问题：上述常微分方程的求解与待定常数上述常微分方程的求解与待定常数l l有关有关，这样的问题称，这样的问题称为常微分方程的为常微分方程的本征值问题本征值问题，使它有非零解的常数，使它有非零解的常数l l称该称该问题的问题的本征值本征值，所对应的非零解称为该问题的，所对应的非零解称为该问题的本征函数本征函数。有界弦的自由振动有界弦的自由振动第二步：求解本征值问题第二步：求解本征值问题分
13、三种情况讨论：分三种情况讨论：代入边界条件：代入边界条件：X(0)=0，X(l)=0，有：，有：A=B=0。这是没有这是没有实际意义的，故实际意义的，故l l 不能小于零。不能小于零。1、当、当l l0时，方程解为时，方程解为代入边界条件后有：代入边界条件后有：A=B=0。还是没有实际意义的，故还是没有实际意义的，故l l也不能等于零。也不能等于零。2、当、当l l=0时，方程解为时，方程解为有界弦的自由振动有界弦的自由振动3、当、当l l0时，令时，令l l=b b2 2，方程解为，方程解为代入边界条件后有：代入边界条件后有：显然显然A和和B不能同时为零，从而有不能同时为零，从而有上式中上式
14、中n不取负整数是因为此时只需对不取负整数是因为此时只需对B取负号就能实现。取负号就能实现。于是得到问题的一系列本征值及其对应的本征函数：于是得到问题的一系列本征值及其对应的本征函数：有界弦的自由振动有界弦的自由振动由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：确定待定常数确定待定常数l l后，现在就可来求函数后，现在就可来求函数T(t)了。有如下方程了。有如下方程其通解为：其通解为：有界弦的自由振动有界弦的自由振动为了求原定解问题，还必须满足初始条件。对于上为了求原定解问题，还必须满足初始条件。对于上述通解，实质就是要选择合适的待定系数述通解，
15、实质就是要选择合适的待定系数Cn、Dn。上述独立特解有无穷多个，并且每个都满足齐次上述独立特解有无穷多个，并且每个都满足齐次的泛定方程和齐次的边界条件。由于泛定方程和边的泛定方程和齐次的边界条件。由于泛定方程和边界条件都是齐次的，根据线性数理方程的解结构可界条件都是齐次的，根据线性数理方程的解结构可知，将这无穷多个特解叠加在一起后仍然是满足原知，将这无穷多个特解叠加在一起后仍然是满足原齐次泛定方程和齐次边界条件，即是通解。齐次泛定方程和齐次边界条件，即是通解。有界弦的自由振动有界弦的自由振动第三步：根据初始条件，利用本征函数的正交性确定待定第三步：根据初始条件，利用本征函数的正交性确定待定系数
16、系数根据初始条件：根据初始条件：代入上一步中所求得的通解，得代入上一步中所求得的通解，得上述两式左边均是傅立叶正弦级数的形式，因此考虑将上述两式左边均是傅立叶正弦级数的形式，因此考虑将右边也展开傅立叶正弦级数的形式，从而有右边也展开傅立叶正弦级数的形式，从而有有界弦的自由振动有界弦的自由振动其中系数由下式确定：其中系数由下式确定：至此已求得原定解问题的解如下：至此已求得原定解问题的解如下：有界弦的自由振动小结有界弦的自由振动小结 分离变量分离变量求特征值和特征函数求特征值和特征函数求另一个函数求另一个函数求通解求通解确定常数确定常数有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦自由振动级数解的物理意义
17、有界弦自由振动级数解的物理意义根据级数解的表达式根据级数解的表达式可以看出，弦上的振动是一系列由本征函数所表示的本可以看出，弦上的振动是一系列由本征函数所表示的本征振动的叠加，每一本征振动可以写成下面的形式：征振动的叠加，每一本征振动可以写成下面的形式：其中其中有界弦的自由振动有界弦的自由振动根据表达式根据表达式可知，可知，当时间取定值时当时间取定值时，振动的曲线是关于点位置，振动的曲线是关于点位置x的一些的一些正弦曲线。只是其振幅会随时间的改变而改变。正弦曲线。只是其振幅会随时间的改变而改变。t=t0时：当当弦上点的位置弦上点的位置x取定值时取定值时，该点是作简谐振动。若给定，该点是作简谐振
18、动。若给定n，各点振动的角频率和初始相位都是相同的。各点振动的角频率和初始相位都是相同的。n=1时的振动称为时的振动称为基波，基波，n1时称为时称为n次谐波。次谐波。不同点的振幅则随位置改变而改不同点的振幅则随位置改变而改变，此振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线变，此振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线。x=x0时：有界弦的自由振动有界弦的自由振动此振动波还有一个特点，即在此振动波还有一个特点，即在0,l范围内有范围内有n+1个点始终个点始终保持不动，即在点保持不动，即在点xm=ml/n(m=0,1,2,n)处振幅始终为处振幅始终为0。这。这在物理上称为节点，包含节点的振动波称为驻波。在物理上称
19、为节点，包含节点的振动波称为驻波。振动波在振动波在n个点个点xm=(2m-1)l/2n(m=1,2,n)处达到最大值，处达到最大值，称为腹点，或波腹。每两个相邻节点间必有一个波腹。称为腹点，或波腹。每两个相邻节点间必有一个波腹。根据表达式根据表达式有界弦的自由振动有界弦的自由振动由此可知，本征函数对应于一系列的驻波，驻波的频率、初由此可知，本征函数对应于一系列的驻波，驻波的频率、初始相位和振幅随始相位和振幅随n不同而不同。不同而不同。一维波动方程用分离变量法解出的结果是由一系列驻波叠加一维波动方程用分离变量法解出的结果是由一系列驻波叠加而成的，每个驻波的波形由本征函数确定，其频率由本征值而成的
20、，每个驻波的波形由本征函数确定，其频率由本征值确定。因此分离变量法又称驻波法。确定。因此分离变量法又称驻波法。有界弦的自由振动有界弦的自由振动_算例算例两端固定弦的自由振动两端固定弦的自由振动我们先看看本征函数在我们先看看本征函数在n=1,2,3,4时的图像：时的图像：有界弦的自由振动有界弦的自由振动_算例算例先取初值先取初值:注意到初值不满足端点为注意到初值不满足端点为0 0的要求。的要求。下图展示在级数解中的第一，三，五项的图像下图展示在级数解中的第一，三，五项的图像:下面，我们通过取不同的初值来观察解的性状下面，我们通过取不同的初值来观察解的性状.有界弦的自由振动有界弦的自由振动下图表示
21、级数解中截断到第二项和第五项的近似解的图像下图表示级数解中截断到第二项和第五项的近似解的图像:有界弦的自由振动有界弦的自由振动再取初值再取初值:下图展示在级数解中的第一，三，五项的分别的图像下图展示在级数解中的第一，三，五项的分别的图像:有界弦的自由振动有界弦的自由振动下图表示级数解中截断到第二项和第五项的近似解的图像，下图表示级数解中截断到第二项和第五项的近似解的图像，可以看到在五项的情况下解已经和真解基本重合：可以看到在五项的情况下解已经和真解基本重合：有界弦的自由振动有界弦的自由振动例题例题1：用分离变量法求解下列定解问题用分离变量法求解下列定解问题:泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条
22、件：初始条件：初始条件：泛定方程和边界条件都是齐次的，可用分离变量法求泛定方程和边界条件都是齐次的，可用分离变量法求解。并且有一个端点的边界条件是第二类边界条件。解。并且有一个端点的边界条件是第二类边界条件。有界弦的自由振动有界弦的自由振动【解】【解】将试探解将试探解u(x,t)=X(x)T(t)代入齐次泛定方程和齐次边界条件。代入齐次泛定方程和齐次边界条件。得到下列方程：得到下列方程：与前面讨论一样，当与前面讨论一样，当l l=b b2 20时，上述本征值问题有非零时，上述本征值问题有非零解，上式第一个方程通解为解，上式第一个方程通解为代入边界条件后有：代入边界条件后有：显然显然A和和B不能
23、同时为零，从而有不能同时为零，从而有有界弦的自由振动有界弦的自由振动上式中上式中n不取负整数是因为此时没影响。于是得到问题的不取负整数是因为此时没影响。于是得到问题的一系列本征值及其对应的本征函数：一系列本征值及其对应的本征函数：与上述本征值相对应的方程通解为与上述本征值相对应的方程通解为有界弦的自由振动有界弦的自由振动由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：根据线性问题的解叠加原理，有原问题的解如下：根据线性问题的解叠加原理，有原问题的解如下：有界弦的自由振动有界弦的自由振动利用初始条件，求上式中的任意常数利用初始条件，求上式中的任意常
24、数（傅立叶正弦级数傅立叶正弦级数的形式）的形式）有界弦的自由振动有界弦的自由振动代入任意常数，得到原问题的解如下：代入任意常数，得到原问题的解如下：有界弦的自由振动有界弦的自由振动例例2 2：设有一根长为设有一根长为1010个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。，求弦作微小横向振动时的位移。解：有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动例例3 3 求定解问题求定解问题令带入方程：解：有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦
25、的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动有界弦的自由振动用分离变量法求解定解问题包括如下三个步骤：用分离变量法求解定解问题包括如下三个步骤：第一步：第一步：分离变量，偏微分方程转换为常微分方分离变量，偏微分方程转换为常微分方程来求解；程来求解；(泛定方程和边界条件均分离变量泛定方程和边界条件均分离变量)第二步：第二步：求解本征值问题，得到本征值及相应的求解本征值问题，得到本征值及相应的本征函数，由此求出级数形式的解；本征函数，由此求出级数形式的解；第三步：第三步：根据初始条件，利用本征函数的正交性，根据初始条件，利用本征函数的正交性，由傅立叶正
26、弦级数展开得到级数解中的系数。由傅立叶正弦级数展开得到级数解中的系数。小结：小结：q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.4有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导一均匀细杆，侧面绝缘，周围介质为零摄氏度，一均匀细杆，侧面绝缘，周围介质为零摄氏度，x=0处温处温度为零，度为零，x=l处的热量自由发散到周围介质中。已知初始温处的热量自由发散到周围介质中。已知初始温度为度为j j(x)，求杆上温
27、度变化规律。求杆上温度变化规律。根据题意，此定解问题如下：根据题意，此定解问题如下：泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：在此定解问题中，方程和边界条件都是齐次的，但有在此定解问题中，方程和边界条件都是齐次的，但有一个端点的边界条件为第三类边界条件。初始条件是一个端点的边界条件为第三类边界条件。初始条件是非齐次的。可以用分离变量法求解。非齐次的。可以用分离变量法求解。有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导【解】【解】将试探解将试探解u(x,t)=X(x)T(t)代入齐次泛定方程和齐次边界条件。代入齐次泛定方程和齐次边界条件。得到下列方程：得到下列方程：与前面讨论一样，上述本
28、征值问题第一个方程通解为与前面讨论一样，上述本征值问题第一个方程通解为代入边界条件后有：代入边界条件后有：显然显然A和和B不能同时为零，从而有不能同时为零，从而有，它有，它有无穷多个根，由此得到无穷多个本征值无穷多个根，由此得到无穷多个本征值b b 2 2。有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导于是得到问题的一系列本征值对应的本征函数：于是得到问题的一系列本征值对应的本征函数：与上述本征值相对应的方程通解为与上述本征值相对应的方程通解为由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：由此可得到原定解问题的一组变量分离形式的特解为：有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导根据线性问题的解叠加原理，有原
29、问题的解如下：根据线性问题的解叠加原理，有原问题的解如下：利用初始条件，得到下式利用初始条件，得到下式：下面根据本征函数的正交性来确定任意常数如下下面根据本征函数的正交性来确定任意常数如下：类似于：类似于傅立叶正弦级数的形式，上述等式两边乘以，然傅立叶正弦级数的形式，上述等式两边乘以，然后在后在0,l上积分，得上积分，得对于本征函数，它具有如下正交性对于本征函数，它具有如下正交性：有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导代入后有：代入后有：即：即：总之，原问题的解如下：总之，原问题的解如下：有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导例例4 4 求定解问题求定解问题解：有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导
30、有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导例例5求定解问题求定解问题解：有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题直角坐标系下的拉普拉斯问题解
31、：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题例6 求定解问题解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题例例7 7 求下列定解问题求下列定解问题解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题2圆域内的拉普拉斯问题圆域内的拉普拉斯问题拉普拉斯
32、方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题设有半径为设有半径为r r0的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布已知，求达到稳恒状态时盘内温度分布。布已知，求达到稳恒状态时盘内温度分布。上述问题的定解问题如下：上述问题的定解问题如下：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题欧拉方程解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题欧拉方程 令拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题例例8 8 求定解问题求定解问题解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题欧拉方程 令拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题
33、其它为零拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题例例9 9 求定解问题求定解问题解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题欧拉方程 拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题其他为零拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题例例9 9 求定解问题求定解问题解：拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题小结小结1、分离变量法的思路、分离变量法的思路：偏微分方程偏微分方程 小结小结2、本征值问题、本征值问题 常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定
34、的。用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能取某边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。其对应的方程解称为本征函数。小结小结用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定本征用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定本征函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就函数与运用叠加原理，这
35、些运算之所以能够进行，就是因为泛定方程和边界条件都是齐次的。是因为泛定方程和边界条件都是齐次的。总的来说，包括如下步骤：总的来说，包括如下步骤：第一步：第一步：分离变量，将偏微分方程定解问题转换分离变量，将偏微分方程定解问题转换为常微分方程定解问题来求解；对于线性齐次方程来为常微分方程定解问题来求解；对于线性齐次方程来说是可行的；说是可行的；第二步：第二步：确定本征值及本征函数。当边界条件是确定本征值及本征函数。当边界条件是齐次时，本征函数就是一个常微分方程满足零边界条齐次时，本征函数就是一个常微分方程满足零边界条件的非零解；件的非零解；小结小结第三步：第三步：求得本征值和本征函数后，再解其它
36、的常微求得本征值和本征函数后，再解其它的常微分方程，把得到的解与本征函数乘起来成为分方程，把得到的解与本征函数乘起来成为un(x,t)，其中包含任意常数。其中包含任意常数。第四步：第四步：为了使解满足其余的定解条件，需要把所有为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的的un(x,t)叠加起来成为级数形式，级数中的一系列任叠加起来成为级数形式，级数中的一系列任意常数就由其余的条件来确定。此步中，需要把已知意常数就由其余的条件来确定。此步中，需要把已知函数展开为本征函数项的级数，其理论依据是本征函函数展开为本征函数项的级数，其理论依据是本征函数的正交性。数的正交性。对于具有一阶连续导数和对于具有一阶
37、连续导数和分段连续的二阶导数且满分段连续的二阶导数且满足本征函数所满足的边界足本征函数所满足的边界条件。则有：条件。则有：小结小结3、几种常见的本（特）征值问题、几种常见的本（特）征值问题 小结小结 其本征值及本征函数如下：其本征值及本征函数如下：q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.5非齐次方程的解法非齐次方程的解法前面所讨论的偏微分方程都是齐次的，本节讨论非齐次方前面所讨论的偏微分
38、方程都是齐次的，本节讨论非齐次方程的解法。程的解法。方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题用分解原理得出对应的齐次问题解齐次问题解齐次问题求出任意非齐次特解求出任意非齐次特解叠加成非齐次解叠加成非齐次解思考例如定解问题：例如定解问题：6.5非齐次方程的解法非齐次方程的解法以弦的强迫振动为例讨论非齐次方程的解法，所用的方法以弦的强迫振动为例讨论非齐次方程的解法，所用的方法对其它类型的方程也适用。（对其它类型的方程也适用。（分自由项与时间有关和无关分自由项与时间有关和无关两种情况两种情况）自由
39、项与时间有关的定解问题如下：自由项与时间有关的定解问题如下：自由项与时间无关的定解问题如下：自由项与时间无关的定解问题如下：6.5非齐次方程的解法非齐次方程的解法自由项与时间有关时的求解方法自由项与时间有关时的求解方法有界弦受强迫振动的定解问题如下：有界弦受强迫振动的定解问题如下：在此定解问题中，方程是非齐次的，边界条件是齐次在此定解问题中，方程是非齐次的，边界条件是齐次的，边界条件均为第一类边界条件。初始条件是非齐的，边界条件均为第一类边界条件。初始条件是非齐次的。次的。非齐次方程的解法非齐次方程的解法即设解为：即设解为：对此问题，弦的振动是由两部分引起的：一是强迫力，一是对此问题，弦的振动
40、是由两部分引起的：一是强迫力，一是初始状态。因此，此时的振动可以看作是仅由强迫力引起的初始状态。因此，此时的振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的叠加。振动和仅由初始状态引起的振动的叠加。分别对应如下的定解问题：分别对应如下的定解问题：非齐次方程的解法非齐次方程的解法将解：将解：整理得：整理得：分解过程具体如下：分解过程具体如下：代入原定解问题代入原定解问题非齐次方程的解法非齐次方程的解法它表示由初始状态引起弦振动的位移。可直接用分离变量它表示由初始状态引起弦振动的位移。可直接用分离变量法求解。因此只需讨论如何解前一个强迫振动问题。法求解。因此只需讨论如何解前一个强迫振动
41、问题。令上述泛定方程和定解条件等式两边为令上述泛定方程和定解条件等式两边为0，可得到，可得到W(x,t)所所对应的定解问题如下：对应的定解问题如下：非齐次方程的解法非齐次方程的解法令上述泛定方程和定解条件等式两边为令上述泛定方程和定解条件等式两边为0，可得到，可得到V(x,t)所所对应的定解问题如下：对应的定解问题如下：即即V(x,t)表示仅由强迫力引起弦振动的位移，初始条件为表示仅由强迫力引起弦振动的位移，初始条件为0。非齐次方程的解法非齐次方程的解法对于仅由强迫力引起弦振动的位移对于仅由强迫力引起弦振动的位移V(x,t)，可采用类似于可采用类似于非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，认为此
42、问题的非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，认为此问题的解可以分解为无穷多个驻波的叠加，每个驻波的波形仍然解可以分解为无穷多个驻波的叠加，每个驻波的波形仍然是由相应的齐次方程通过分离变量所得到的本征值问题的是由相应的齐次方程通过分离变量所得到的本征值问题的本征函数所决定，即假设其解形式如下：本征函数所决定，即假设其解形式如下：为了求得其中的待定系数，将泛定方程中的自由项也用为了求得其中的待定系数，将泛定方程中的自由项也用本征函数展开成如下级数：本征函数展开成如下级数：非齐次方程的解法非齐次方程的解法将将V(x,t)和和f(x,t)的级数表达式代入泛定方程，得：的级数表达式代入泛定方程，得：由此
43、可得：由此可得：将将V(x,t)的级数表达式代入初始条件，得：的级数表达式代入初始条件，得：这样确定这样确定n nn(x,t)只需求解如下定解问题：只需求解如下定解问题：非齐次方程的解法非齐次方程的解法用用Laplace变换法解上述非齐次常微分方程，得：变换法解上述非齐次常微分方程，得：非齐次方程的解法非齐次方程的解法即得：即得：所以所以将此解与齐次定解问题的解叠加起来，就得到原定解问将此解与齐次定解问题的解叠加起来，就得到原定解问题的解。题的解。例题例题例例10求定解问题求定解问题解：解：先解对应的齐次问题先解对应的齐次问题例题例题再解对应非齐次问题：再解对应非齐次问题：例题例题例题例题例例
44、11求定解问题求定解问题解：先求解对应的齐次问题解：先求解对应的齐次问题例题例题再解对应非齐次问题：再解对应非齐次问题：例题例题例题例题例题例题非齐次方程的解法非齐次方程的解法自由项与时间无关的情况：原则上可采用上面的方法，但自由项与时间无关的情况：原则上可采用上面的方法，但同时还有更适合的方法。同时还有更适合的方法。以如下定解问题为例：以如下定解问题为例：在此定解问题中，方程是非齐次的，但自由项与时间在此定解问题中，方程是非齐次的，但自由项与时间无关。边界条件是齐次的，边界条件均为第一类边界无关。边界条件是齐次的，边界条件均为第一类边界条件。初始条件是非齐次的。条件。初始条件是非齐次的。非齐
45、次方程的解法非齐次方程的解法对此特殊定解问题，可设解为：对此特殊定解问题，可设解为：代入原定解问题代入原定解问题整理得：整理得：非齐次方程的解法非齐次方程的解法令上述泛定方程和定解条件等式两边为令上述泛定方程和定解条件等式两边为0，可得到，可得到V(x,t)和和W(x)所对应的定解问题。所对应的定解问题。而而V(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：其中其中W(x)表示强迫力引起弦振动的位移，它满足表示强迫力引起弦振动的位移，它满足非齐次方程的解法非齐次方程的解法-小结小结本节所介绍的非齐次定解问题的解法，实际上是将方本节所介绍的非齐次定解
46、问题的解法，实际上是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族本征函数程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族本征函数进行级数展开，随着方程与边界条件的不同，本征函进行级数展开，随着方程与边界条件的不同，本征函数族也不同。所以这种方法也叫数族也不同。所以这种方法也叫本征函数法本征函数法。当自由项与时间无关，解法可进一步简化。当自由项与时间无关，解法可进一步简化。非齐次方程的解法非齐次方程的解法-小结小结V(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：对于由初始状态引起弦振动的位移对于由初始状态引起弦振动的位移V(x,t)，可直接用分离可直接用分离变
47、量法求解。因此只需讨论如何解如下的强迫振动问题变量法求解。因此只需讨论如何解如下的强迫振动问题:1、自由项与时间有关的问题，设解：、自由项与时间有关的问题，设解：非齐次方程的解法非齐次方程的解法-小结小结2、自由项与时间无关的问题，设解：、自由项与时间无关的问题，设解：而而V(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足：其中其中W(x)满足如下定解强迫振动问题：满足如下定解强迫振动问题：q前言前言q分离变量理论分离变量理论q有界弦的自由振动有界弦的自由振动q有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导q拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题q非齐次
48、方程的解法非齐次方程的解法q非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容6.6非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理前面所讨论的定解问题的解法，不论泛定方程是不是齐次前面所讨论的定解问题的解法，不论泛定方程是不是齐次的，其边界条件都是齐次的。本节讨论非齐次边界条件的的，其边界条件都是齐次的。本节讨论非齐次边界条件的处理方法。处理方法。非齐次边界条件的处理方法的总原则是将边界条件化成齐非齐次边界条件的处理方法的总原则是将边界条件化成齐次的。即取一个适当的未知函数来代换原始的未知函数，次的。即取一个适当的未知函数来代换原始的未知函数，使对新的未知函数，其边界条件是齐次的，从而可用前面
49、使对新的未知函数，其边界条件是齐次的，从而可用前面介绍的方法来进行求解。（分介绍的方法来进行求解。（分自由项与时间有关和无关两自由项与时间有关和无关两种情况种情况）以有界弦受强迫振动为例，其定解问题如下：以有界弦受强迫振动为例，其定解问题如下：非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理即只需选择满足上述条件的函数即只需选择满足上述条件的函数W(x,t)即可，为此通常即可，为此通常取它为取它为x的一次式：的一次式：我们设法作一代换将边界条件转换为齐次的，为此设：我们设法作一代换将边界条件转换为齐次的，为此设：选取合适的函数选取合适的函数W(x,t)，使使V(x,t)的边界条件化为齐次的的边界条件化
50、为齐次的代入原始的边界条件，有：代入原始的边界条件，有：代入条件后得：代入条件后得：非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理这样，原定解问题就变成如下关于新未知函数这样，原定解问题就变成如下关于新未知函数V(x,t)的新的新定解问题定解问题：其中其中非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理以上是边界条件均为第一类边界条件时函数以上是边界条件均为第一类边界条件时函数W(x,t)的形的形式。如此类似，对于其它的几种常用边界条件作齐次化式。如此类似，对于其它的几种常用边界条件作齐次化处理时函数处理时函数W(x,t)的形式如下：的形式如下：非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理泛定方程和边界条件的自