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1、第三讲随机过程的数字特征和特征函数第1页，共17页，编辑于2022年，星期二2统计均值是对随机过程中统计均值是对随机过程中所有样本函数所有样本函数在时间在时间t t的所有取值的所有取值进行概率加权平均，所以又称为进行概率加权平均，所以又称为集合平均集合平均。它反映了样。它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律，本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本函数是所有样本函数在各个时刻摆动的中心。在各个时刻摆动的中心。第2页，共17页，编辑于2022年，星期二3方差均方值和方差都是时间t的函数均方值第3页，共17页，编辑于2022年，星期二4方差均值与方差的物理意义：均值与方差的物理意义：消耗在单位
2、电消耗在单位电阻上的总的平阻上的总的平均功率均功率平均交流平均交流功率功率平均直流功平均直流功率率-单位电阻上的电压单位电阻上的电压/1-/1-消耗在单位电阻上的瞬时功率消耗在单位电阻上的瞬时功率 2 2/1-/1-消耗在单位电阻上的瞬时交流功率消耗在单位电阻上的瞬时交流功率E E 2 2/1-/1-消耗在单位电阻上的瞬交流功消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值率的统计平均值第4页，共17页，编辑于2022年，星期二5第5页，共17页，编辑于2022年，星期二6自相关函数自相关函数（重点）（重点）描述了整个随机过程描述了整个随机过程任意任意两个不同时刻两个不同时刻的内在关系：的内在关系：线
3、性相关性线性相关性若若第6页，共17页，编辑于2022年，星期二7自相关函数的物理意义自相关函数的物理意义2 2、反映不同随机过程的波形变化、反映不同随机过程的波形变化 1 1、自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越、自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性应是最强的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性应是最强的，所以的，所以R RX X(t,t)(t,t)最大。最大。不相关不相关若：若：第7页，共17页，编辑于2022年，星期二8自协
4、方差函数自协方差函数若若中心化自相关中心化自相关函数函数自相关系数自相关系数第8页，共17页，编辑于2022年，星期二9随机过程的不相关和独立以及正交的关系随机过程的不相关和独立以及正交的关系如果如果和和是不相关的。是不相关的。，则称，则称，则称，则称和和是相互正交的。是相互正交的。时刻的状态是相互独立的。时刻的状态是相互独立的。和和正交正交独立独立不相关不相关充分条件充分条件正态随机过程正态随机过程第9页，共17页，编辑于2022年，星期二10若若均值与方差（总功率存在）存在，称为二阶矩过程，相关理论均值和自相关函数是随机过程最基本的特征均值和自相关函数是随机过程最基本的特征第10页，共17
5、页，编辑于2022年，星期二11例例 随机相位信号随机相位信号自相关函数和方差自相关函数和方差第11页，共17页，编辑于2022年，星期二12x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)t1 t2 65432112635421例例2.1 一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函数等概，时刻数等概，时刻t1，t2上各条样本函数的取值给定，求上各条样本函数的取值给定，求第12页，共17页，编辑于2022年，星期二13互相关函数互相关函数3 3）两个随机过程的相关特性）两个随机过程的相关特性描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性描述两个随机过程任意两个时
6、刻之间的统计关联性t1t2第13页，共17页，编辑于2022年，星期二14互协方差函数：互协方差函数：中心化互中心化互相关函数相关函数t1t2描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性第14页，共17页，编辑于2022年，星期二15两个随机过程的独立，不相关和正交两个随机过程的独立，不相关和正交不相关不相关正交正交第15页，共17页，编辑于2022年，星期二16N N维随机矢量的期望维随机矢量的期望（维随机变量的相关性）NN维随机变量用矢量表示维随机变量用矢量表示N N维随机矢量的协方差维随机矢量的协方差随机序列的相关特征N N维随机矢量的自相关维随机矢量的自相关第16页，共17页，编辑于2022年，星期二17对称性：对称性：半正定性：对于任意半正定性：对于任意N N维非随机向量维非随机向量F F第17页，共17页，编辑于2022年，星期二