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1、有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述第1页，共15页，编辑于2022年，星期六13-4 13-4 13-4 13-4 有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述1 1、电子在库仑场中的运动、电子在库仑场中的运动定态定态SchrodingerSchrodinger方程为方程为考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为m m，电，电荷为荷为 -e-e，核电荷为，核电荷为 +Ze+Ze。取核在坐标原点。取核在坐标原点(核固定
2、核固定)，体系哈密顿，体系哈密顿函数为函数为:第2页，共15页，编辑于2022年，星期六球坐标下变为球坐标下变为:分离变量分离变量,化简方程化简方程:定态定态SchrodingerSchrodinger方程的解方程的解本征函数、本征值为本征函数、本征值为:第3页，共15页，编辑于2022年，星期六能量是分离谱能量是分离谱,函数是束缚态函数是束缚态,粒子在无限远处不出现粒子在无限远处不出现.第4页，共15页，编辑于2022年，星期六两个概念两个概念:（1 1）束缚态）束缚态通常把在无限远处为通常把在无限远处为0 0的波函数所描写的状态称为的波函数所描写的状态称为束缚态；束缚态；一般地说，束缚态所
3、对应的能级是分立的。一般地说，束缚态所对应的能级是分立的。（2 2）能级简并、非简并）能级简并、非简并一个本征能量对应一个本征函数称一个本征能量对应一个本征函数称为能级非简并；一个本征能量对应几个本征函数称为能级简并；为能级非简并；一个本征能量对应几个本征函数称为能级简并；第5页，共15页，编辑于2022年，星期六因此因此,对应于第对应于第n n个能级个能级 ,有有个本征波函数个本征波函数 .即即,第第n n个能级是个能级是 度简并的度简并的,或称为简并度为或称为简并度为 .例：给出例：给出n=2n=2时所有的本征波函数表示时所有的本征波函数表示第6页，共15页，编辑于2022年，星期六2 2
4、、氢原子、氢原子前提前提:核固定核固定!电子在电子在核产生的核产生的库仑场中的运动库仑场中的运动对氢原子对氢原子,严格说严格说,应该考虑应该考虑核的运动核的运动,即讨论的是两个粒子即讨论的是两个粒子电电子和核在库仑相互作用下的运动子和核在库仑相互作用下的运动两体问题两体问题！(r1,r2)(r1,r2)第7页，共15页，编辑于2022年，星期六引入质心坐标引入质心坐标R R和相对坐标和相对坐标r,r,以及总质量以及总质量M M和约化质量和约化质量:第8页，共15页，编辑于2022年，星期六则有则有:则则相对坐标和质心坐标下相对坐标和质心坐标下薛定谔薛定谔方程形式为：方程形式为：分离变量法分离变
5、量法,令令:第9页，共15页，编辑于2022年，星期六我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程第一个方程，它描述一个，它描述一个质量为质量为 的粒子在势能为的粒子在势能为 U U(r)(r)的力场中的运动。的力场中的运动。其中其中(2)(2)式式是是质心运动方程质心运动方程，描述能量为，描述能量为 的的自由粒子自由粒子的定态的定态薛定谔薛定谔方程，说明质心以能量方程，说明质心以能量 作作自由运动自由运动。两体问题两体问题单体问题单体问题质量质量约化质量约化质量第10页，共15页，编辑于2022年，星期六方程方程(1)(1)称为氢原子的称为氢原子的相对运
6、动方程相对运动方程，解此方程得到，解此方程得到一个电子一个电子相对于相对于核运动的核运动的波函数波函数 (r)(r)以及以及相对相对运动运动能量能量E E，这，这就是就是就就是是氢原子的氢原子的波函数波函数和和能级能级。由氢原子的相对运动方程由氢原子的相对运动方程可见，同于可见，同于电子在固定核的库仑场中电子在固定核的库仑场中的薛定谔方程，的薛定谔方程，故直接令故直接令Z=1，得到，得到氢原子的能级和波函数氢原子的能级和波函数：第11页，共15页，编辑于2022年，星期六由能级公式得到下面结论：由能级公式得到下面结论：第12页，共15页，编辑于2022年，星期六(a)基态和电离能基态和电离能n
7、=1的态是基态，基态能量为：的态是基态，基态能量为：当当nn时，时，E E=0=0，则电离能为：，则电离能为：第13页，共15页，编辑于2022年，星期六(b)氢原子谱线氢原子谱线第14页，共15页，编辑于2022年，星期六上上式就是由实验总结出来的式就是由实验总结出来的巴尔末公式巴尔末公式。在旧量子论。在旧量子论中中Bohr是是加进量子化条件加进量子化条件后得到的，而在量子力后得到的，而在量子力学中是通过学中是通过解解Schrodinger方程方程自然而然地导出的，自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。第15页，共15页，编辑于2022年，星期六