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1、中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第三章 函数 第4节 二次函数课件1知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1.二次函数的概念二次函数的概念一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0），特别注意a不为不为0 0，那么y叫做x的二次函数.y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般一般式式.2.二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质二次函数的图象是一条关于 对称对称的曲线，这条曲线叫做抛物线抛物线.抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：有开口方向；有对称轴对称轴；有顶点顶点.3.二次函数图象的画法：五点法二次函数图象的画法：五点法（1）先根据函数解析式，求出顶
2、点顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴对称轴.（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象;当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D.由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 故：b=0
3、时，对称轴为y y轴轴；（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧左侧；（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧右侧.（口诀:“左同右异”）（3）c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）.c=0，抛物线经过原点;c0,抛物线与y轴交于正半轴正半轴；c1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m=-1B.m=3C.m-1D.m-14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1-3-4-2所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：abc0；2a+b=0；a-b+c0；4a-2b+c0,其中正确的是（）
4、A.B.只有 C.D.DD5.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a0），下列结论正确的是（）A.当a=1时，函数图象过点（-1，1）B.当a=-2时，函数图象与x轴没有交点C.若a0，则当x1时，y随x的增大而减小D.若a0，则当x1时，y随x的增大而增大6.抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是：都是开口向上；都以点（0，0）为顶点；都以y轴为对称轴；都关于x轴对称.其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个DB考点点拨：本考点的题型一般为选择题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质.同时要熟记二次函数的图象与各系数的关系，并能够
5、利用顶点坐标和对称轴的范围求2a与b的关系.考点考点2求二次函数的解析式及图象的平移求二次函数的解析式及图象的平移考点精讲考点精讲【例【例2 2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.思路点拨：（1）根据已知条件，利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），再求出a的值，然后利用配方法即可求出顶点坐标；（2）根据“左加右减”原则可得出平移后的抛物线的解析式.解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
6、可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）.把C（0，-3）代入，得3a=-3.解得a=-1.故抛物线的解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3.y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）.（2）平移方法：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位.得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上.考题再现考题再现1.（2016上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=x2+1D.y=x2+32.（2016眉山）若抛物线y=x2-2x
7、+3不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A.y=（x-2）2+3B.y=（x-2）2+5C.y=x2-1D.y=x2+4CC考点演练考点演练3.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.y=（x+2）2-3B.y=（x+2）2+3C.y=（x-2）2+3D.y=（x-2）2-34.已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是_.5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为
8、_.6.将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_.Ay y=x x2 2-7-7x x+12+12y y=-=-x x2 2+4+4x x-3-3y y=2=2（x x+2+2）2 2-2-2考点点拨：考点点拨：本考点的题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于根据已知条件选用合适的形式设二次函数的解析式，并根据平移性质正确得出平移后的解析式.注意以下要点：（1）二次函数有三种形式，即一般式、顶点式和交点式，要根据已知条件灵活选择合适的形式；（2）一般式求出二次函数的解析式后，利用配方法可求出二次函数的顶点坐标；（3）二次函数的
9、图象平移规律：“左加右减，上加下减”.考点考点3二次函数与一元二次方程的关系考点精讲二次函数与一元二次方程的关系考点精讲考点精讲考点精讲【例【例3 3】已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2-（m-3）x-m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.（提示：AB=|x2-x1|）思路点拨：（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A，B间的距离，再根据二次函数的性质，可得答案.解：（1）=-（m-3）2-4（-m）=m2-2
10、m+9=（m-1）2+8.（m-1）20，=（m-1）2+80.原方程有两个不等实数根.（2）存在.由题意知x1，x2是原方程的两根，x1+x2=m-3，x1x2=-m.AB=|x1-x2|，AB2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2 =（m-3）2-4（-m）=（m-1）2+8.当m=1时，AB2有最小值8.AB有最小值，即考题再现考题再现1.（2016贵阳）若m，n（nm）是关于x的一元二次方程1-（x-a）（x-b）=0的两个根，且ba，则m，n，b，a的大小关系是（）A.mabnB.amnbC.bnmaD.nbam2.（2016滨州）抛物线y=2x2-与坐标轴的交点个数是（
11、）A.0B.1C.2D.3DC3.（2016宿迁）若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（）A.x1=-3，x2=-1B.x1=1，x2=3C.x1=-1，x2=3D.x1=-3，x2=14.（2016荆州）若函数y=（a-1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_.C-1-1或或2 2或或1 1考点演练考点演练5.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D.x1=-1，x2=56
12、.若函数y=mx2+（m+2）x+的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A.0 B.0或2C.2或-2 D.0，2或-2DD7.函数y=x2+ax+b的图象如图1-3-4-3，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4D考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握一元二次方程和二次函数的区别与联系.注意以下要点：（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，只要令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标，但要注意若未指明函
13、数为二次函数，则还要考虑a=0时，函数与x轴的交点情况；（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点.考点考点4二次函数的应用二次函数的应用考点精讲考点精讲【例【例4 4】（2015梅州）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的
14、利润是（_）元；月销量是（_）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？思路点拨：（1）根据利润=售价-进价，求出利润，再运用待定系数法求出月销量即可；（2）根据月利润=每件的利润月销量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大利润即可.解：（1）销售该运动服每件的利润是（x-60）元；设月销量W与x的关系式为W=kx+b，W=-2x+400.应填x-60和-2x+400.（2）由题意，得y=（x-60）（-2x+400）=-2x2+520 x-24 000 =-2（x-130）2+9 800.售价为130元时，当月的利润最大
15、，最大利润是9 800元.考题再现考题再现1.（2016潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：（解：（1 1）由题意知，若观光车能全部租出，则）由题意
16、知，若观光车能全部租出，则0 0 x x100.100.由由5050 x x-1 100-1 1000 0，解得解得x x22.22.又又x x是是5 5的倍数，的倍数，每辆车的日租金至少应为每辆车的日租金至少应为2525元元.（2 2）设每辆车的净收入为）设每辆车的净收入为y y元，元，当当0 0 x x100100时，时，y y1 1=50=50 x x-1 100.-1 100.y y1 1随随x x的增大而增大，的增大而增大，当当x x=100=100时，时，y y1 1的最大值为的最大值为50100-1 100=3 90050100-1 100=3 900；当当x x100100时，
17、时，当当x x=175=175时，时，y y2 2的最大值为的最大值为5 0255 025，5 0255 0253 9003 900，故当每辆车的日租金为故当每辆车的日租金为175175元时，每天的净收入最多，是元时，每天的净收入最多，是5 0255 025元元.答：当每辆车的日租金为答：当每辆车的日租金为175175元时，每天的净收入最多元时，每天的净收入最多.2.（2016徐州）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180 x300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用1
18、00元；每间空置的客房每日需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值.（宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出）考点演练考点演练3.图1-3-4-4是某座拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且ACx轴，若OA=10 m，则桥面离水面的高度AC为 （）B4.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售
19、量为y件.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？解：（解：（1 1）y y=300+30=300+30（60-60-x x）=-30=-30 x x+2 100.+2 100.（2 2）设每星期的销售利润为）设每星期的销售利润为W W元，元，W W=（x x-40-40）（）（-30-30 x x+2 100+2 100）=-30=-30 x x2 2+3 300+3 300 x x-84 000-84 000=-30=-30（x x-55-55）2+6 750.2+6 750.当当x x=55=55时，时，W W最大值最大值=6
20、 750.=6 750.答：每件售价定为答：每件售价定为5555元时，每星期的销售利润最大，最大利润元时，每星期的销售利润最大，最大利润为为6 7506 750元元.5.某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量也就随之降低.若该果园每棵果树产果y（kg），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图1-3-4-5所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6 750 kg？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量W（kg）最大？最大产量是多少？解：（解：（
21、1 1）设函数的表达式为）设函数的表达式为y y=kxkx+b b，由该一次函数过点（，由该一次函数过点（1212，7474），（），（2828，6666），得），得该函数的表达式为该函数的表达式为y y=-0.5=-0.5x x+80.+80.（2 2）根据题意，得（）根据题意，得（-0.5-0.5x x+80+80）（）（80+80+x x）=6 750.=6 750.解得解得x x1 1=10=10，x x2 2=70.=70.投入成本最低，投入成本最低，x x2 2=70=70不合题意，舍去不合题意，舍去.x x=10=10（棵）（棵）.答：增种果树答：增种果树1010棵时，果园可以收
22、获果实棵时，果园可以收获果实6 750 kg.6 750 kg.（3 3）根据题意，得）根据题意，得W W=（-0.5-0.5x x+80+80）（）（80+80+x x）=-0.5=-0.5x x2 2+40+40 x x+6 400+6 400=-0.5=-0.5（x x-40-40）2 2+7 200.+7 200.a a=-0.5=-0.50 0，则抛物线开口向下，函数有最大值，则抛物线开口向下，函数有最大值.当当x x=40=40时，时，W W取最大值为取最大值为7 200 kg.7 200 kg.答：当增种果树答：当增种果树4040棵时，果园的总产量最大，最大产量是棵时，果园的总产
23、量最大，最大产量是7 200 kg.7 200 kg.考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于能够根据题目提供的信息，列出二次函数解析式，并从实际意义中找到对应的变量的值，再利用待定系数法求出函数的解析式，同时能够利用二次函数的顶点坐标求实际问题中的最值问题（如最大利润、最大产量等）.课堂巩固训练课堂巩固训练1.（2016毕节市）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）C2.（2016益阳）关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（）A.开口向上 B.与x轴
24、有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1 D.当x1时，y随x的增大而减小3.（2016怀化）二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上，顶点坐标为（-1，-4）B.开口向下，顶点坐标为（1，4）C.开口向上，顶点坐标为（1，4）D.开口向下，顶点坐标为（-1，-4）DA4.（2016山西）将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A.y=（x+1）2-13B.y=（x-5）2-3C.y=（x-5）2-13D.y=（x+1）2-35.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的
25、一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3DB6.如图1-3-4-6，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=x+1与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求DEF的面积.解：（解：（1 1）抛物线抛物线y y=x x2 2+bxbx+c c与与x x轴交于轴交于A A（-1-1，0 0）和）和B B（3 3，0 0）两点，）两点，故此抛物线的解析式为故此抛物线的解析式为y y=x x2 2-2-2x x-
26、3.-3.（2 2）根据题意，得）根据题意，得D D（4 4，5 5）.对于直线对于直线y y=x x+1+1，当，当x x=0=0时，时，y y=1=1，F F（0 0，1 1）.对于对于y y=x x2 2-2-2x x-3-3，当，当x x=0=0时，时，y y=-3=-3，E E（0 0，-3-3）.EFEF=4.=4.如答图如答图1-3-4-11-3-4-1，过点，过点D D作作DMDMy y轴于点轴于点M M.7.（2016鄂州）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对
27、每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）.（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？解：（解：（1 1）根据题意，得）根据题意，得y y=50-=50-x x（00 x x5050，且，且x x为整数）为整数）.（2 2）W W=（120+10120+10 x x-20-20）（）（50-50-x x）=-10 =-10 x x2 2+400+400 x x+5 000+5 000 =-10 =-10（x x-20-20）2 2+9 000.+9 000
28、.a a=-10=-100 0，当当x x=20=20时，时，W W取得最大值，取得最大值，W W最大值最大值=9 000=9 000元元.答：当每间房价定价为答：当每间房价定价为320320元时，宾馆每天所获利润最大，最元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是大利润是9 0009 000元元.8.（2016通辽）如图1-3-4-7，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标；（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A，点D重合），过点E作x轴的垂
29、线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，AFD的面积最大？求出此时点E的坐标和AFD的最大面积.解：（解：（1 1）抛物线抛物线y y=axax2 2+bxbx+c c经过点经过点A A（-1-1，0 0），），B B（4 4，0 0），），设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y y=a a（x x+1+1）（）（x x-4-4）.又又抛物线过点抛物线过点C C（0 0，-2-2），），-2=-2=a a11（-4-4）.解得解得a a=抛物线的解析式为抛物线的解析式为（2 2）设直线）设直线BCBC的解析式为的解析式为y y=kxkx-2-2，B B（4 4，0 0），），44k k-
30、2=0.-2=0.解得解得k k=直线直线BCBC的解析式为的解析式为直线直线BCBC平移，使其经过点平移，使其经过点A A（-1-1，0 0），且与抛物线交于点），且与抛物线交于点D D，直线直线ADAD解析式为解析式为联立联立，解得，解得D D（5 5，3 3）.（3 3）A A（-1-1，0 0），），D D（5 5，3 3），），以以ADAD为底，点为底，点F F到到ADAD的距离越大，的距离越大，ADFADF的面积越大的面积越大.作作l lADAD，当，当l l与抛物线只有一个交点时，点与抛物线只有一个交点时，点F F到到ADAD的距离最大的距离最大.设设l l的解析式为的解析式为联立联立，转化为关于，转化为关于x x的方程，为的方程，为x x2 2-4-4x x-2-2n n-4=0.-4=0.=16-4=16-4（-2-2n n-4-4）=0.=0.解得解得n n=-4.=-4.直线直线l l的解析式为的解析式为原方程可化为原方程可化为x x2 2-4-4x x+4=0.+4=0.解得解得x x1 1=x x2 2=2.=2.