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1、函数模型及其应用精品第1页，本讲稿共22页到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数（a0）第2页，本讲稿共22页例题：例题：例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：选择，这三种方案的回报如下：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种
2、投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？第3页，本讲稿共22页投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。们就在那段时间选择该方案。第4页，本讲稿共22页 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。通过比较它们的增长情况，为选择
3、投资方案提供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；y=40 (x N*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元；y=10 x(x N*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻元，以后每天的回报比前一天翻一番。一番。y=0.42x-1 (x N*)第5页，本讲稿共22页x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80
4、.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4第6页，本讲稿共22页从每天的回报量来看：从每天的回报量来看：第第14天，方案一最多：天，方案一最多：每每58天，方案二最多：天，方案二最多：第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天天选择方案一；选择方案一；58天天选择方案二；选择方案二；9天天以后选择方案三？以后选择方案三？第7页
5、，本讲稿共22页累积回报表累积回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论结论 投资投资16天，应选择第一种投资方案；天，应选择第一种投资方案；投资投资7天，应选择第一或二种投资方案；天，应选择第一或二种投资方案；投资投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择第三天）以上，应选择第三种投资方案。种投资方案。第8
6、页，本讲稿共22页解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题的解数学问题的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解第9页，本讲稿共22页例例2、某蔬菜菜基地种植西、某蔬菜菜基地种植西红红柿，由柿，由历历年市年市场场行情得知，从二月一日起的行情得知，从二月一日起的300天内，天内，西西红红柿市柿市场场售价与上市售价与上市时间时间关系用关系用图图1的一条折的一条折线线表示；西表示；西红红柿的种植成本与上柿的种植成本与上市市时间时间的关系用的关系用图图2的抛物的抛物线线表示：表示：（1）、写出）、写出图图1表示的
7、表示的市市场场售价与售价与时间时间的函数关系式的函数关系式，写出写出图图2表示的种植表示的种植成本与成本与时间时间的函数的函数关系式关系式；（2）、）、认认定市定市场场售价减去种植成本售价减去种植成本为纯为纯收益，收益，问问何何时时上市的西上市的西红红柿柿纯纯收益最大？（注：市收益最大？（注：市场场售价和种植成本的售价和种植成本的单单位：位：，时间单时间单位：天）位：天）0200300t100300P0tQ50150250300100150250第10页，本讲稿共22页解解(1)由图由图1可得市场售价与时间的函数关系式为可得市场售价与时间的函数关系式为:由图由图2可得种植成本与时间的函数关系式
8、为可得种植成本与时间的函数关系式为:第11页，本讲稿共22页(2)设设 时刻的纯收益为时刻的纯收益为 ,则由题意得则由题意得 即即时时,配方整理得配方整理得 ,所以当所以当 时时,取得取得 上的最大值上的最大值当当时时,配方整理得配方整理得所以当所以当时时,取得取得上的最大值上的最大值;当当综上综上,由由 可知可知,在在 上可以取得最大值上可以取得最大值100,此时此时 =50,即二月一日开始的第即二月一日开始的第50天时天时,上市的西红柿纯收益上市的西红柿纯收益最大最大.第12页，本讲稿共22页X0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.419 1.516 22.6393.4
9、824.5956.063810.5560.040.3611.963.244.846.76911.56-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766例例3.探究函数探究函数 的增长情况并分析差异的增长情况并分析差异第13页，本讲稿共22页第14页，本讲稿共22页结论结论1：一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数y=ax(a1)和和幂函数幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发，通过探索可以发现：现：在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，尽管大多少，尽管在在x的一定范围内，的一定范围内，ax会小会小xn，但由于，但由于ax的增的增长快于长快于
10、xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn.第15页，本讲稿共22页第16页，本讲稿共22页结论结论2：一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以，通过探索可以发现：发现：在区间在区间(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增大增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行轴平行一样。尽管在一样。尽管在x的一定范围内，的一定范围内，logax可能会可能会小小xn，但由于，但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，的增长，因此总存在一
11、个因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logax1)，y=logax(a1)和和y=xn(n0)都是增函数。都是增函数。(2)、随着、随着x的增大，的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会的增长速度越来越快，会远远大于远远大于y=xn(n0)的增长速度。的增长速度。(3)、随着、随着x的增大，的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，的增长速度越来越慢，会远远小于会远远小于y=xn(n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有logaxxnax第18页，本讲稿共22页 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再
12、走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是（）ABCDB第19页，本讲稿共22页 有一批材料可以建成200M的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形。（如图所示）则围成的矩形最大面积为_。解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（2004x）m，则矩形面积为Sx（2004x）（0 x50）,x25时，S有最大值2500m2第20页，本讲稿共22页 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：写出该城市人口总数Y（万人）与年份X（年）的函数关系式。计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）第21页，本讲稿共22页实际实际问题问题读懂问题读懂问题将问题将问题抽象化抽象化数学数学模型模型解决解决问题问题几种常见函数的增长情况：几种常见函数的增长情况：一次函数一次函数对数函数对数函数指数函数指数函数y=kx+b;当k0时为增函数，当k=0时为常数函数，当k0时为减函数。，当a 1时为增函数，0 a 1时为减函数。,N为基础数值，p为增长率，y为经过x次增长的数值，0 p 1时，1+p 1为增长问题。-1 p 0时，0 1+p 为减少问题。直线上升直线上升对数增长对数增长指数爆炸指数爆炸第22页，本讲稿共22页