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1、江苏省无锡市锡山区天一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12题，共60分）1.直线的倾斜角为（ ）A. -30B. 60C. 120D. 150【答案】D【解析】【分析】先根据直线方程求斜率，再求倾斜角.【详解】因为，所以斜率为，倾斜角为150,选D.点睛】本题考查直线斜率倾斜角，考查基本转化求解能力，属基础题.2.等比数列的前项和为，若，则公比（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值【详解】，又，故选A【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”
2、，求解的实质是解方程或解方程组3.已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两点斜率公式解分式不等式。【详解】由题意得，即，解得.故选D.【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切。4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的判定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.【详解】选项A：直线m，n还可以异面、相交，故本命题是假命
3、题；选项B：直线m，n 可以是异面直线，故本命题是假命题；选项C:当时，若，才能推出，故本命题是假命题；选项D：因为，所以，而，所以有，故本命题是真命题，因此本题选D.【点睛】本题考查了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力.5.在中，角所对的边分别为，且若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：bc，最后判断出三角形的形状【详解】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc则：，由于：0A，故：A由于：si
4、nBsinCsin2A，利用正弦定理得：bca2，所以：b2+c22bc0，故：bc，所以：ABC为等边三角形故选：C【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6.若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y2）2 =4，它表示以（1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有2a2b+2=0，即a+b=1，再由a0，b0，可得=（ ）（a+b）=5+5+2当且仅当=时取等号，的最小值是9故选：A点
5、睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可
6、知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.8.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】按，分类讨论.【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，若不等式对任意恒成立，则，解得；当时，不等式不能对任意恒成立。综上，的取值范围是.【点睛】二次型不等式恒成立问题，要按二次项的系数分类，再结合二次函数的性质分类讨论.9.已知数列为等
7、差数列，若且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ）A. 11B. 19C. 20D. 21【答案】B【解析】试题分析：根据，由它们的前n项和Sn有最大可得数列的d0，a100，a11+a100，a110，a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100，使得Sn0的n的最大值n=19，故选B考点：本题主要考查了考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用.点评：解题的关键是由已知及它们的前n项和Sn有最大,a100，a11+a100，a110，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100是解决本题的另外关键点.10.已知点是直线上一动点
8、，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）A. 2B. C. D. 4【答案】A【解析】圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆。由于四边形PACB面积等于，而.故当PC最小时，四边形PACB面积最小.又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，故四边形PACB面积的最小的最小值为，故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小11.数列是各项均为正数的等比数列，数列
9、是等差数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比较即可详解：an=a1qn1，bn=b1+（n1）d，a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a52a5= a1q2+a1q62a1q4 =a1q2（q21）20所以故选：B点睛：本题主要考查了等比数列的性质比较两数大小一般采取做差的方法属于基础题12.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最
10、大，必须最大，最小.【详解】如图：依题意得点在直线上，点关于直线对称的点,点在圆关于直线对称的圆上，则，设圆的圆心为，因为，所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.因此，的最大值为4.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为_.【答案】【解析】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力。由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14.已知正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则该四棱锥的体积是_.【
11、答案】【解析】【分析】先算侧面三角形的高，再算正四棱锥的高，最后算四棱锥的体积.【详解】如图：由已知得，,所以；所以四棱锥的高；因此四棱锥的体积.【点睛】本题考查了锥体体积的计算，几何体体积问题要结合图形.15.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为_【答案】【解析】当ACB最小时，弦长AB最短，此时CPAB.由于C(1,0)，P(，1)，kCP2，kAB，直线l方程为y1 (x)，即2x4y30.16.以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分
12、数集合，其所有元素和为；则_.【答案】【解析】【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解。【详解】由题意得：【点睛】非常见数列的求和的突破在于规律，由特殊到一般是找规律的常用方法。三、解答题：本大题共6小题，共70分17.在中，角所对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）先用二倍角公式化简，再根据正弦定理即可解出；（2）用正弦定理分别表示，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值.【详解】（1）由及二倍角公式得，又即，所以；（2）由正弦定理得，周长：，又因，所以.因此周长的取值范围是.【点睛】本题考查了正余弦定
13、理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.18.如图，在三棱锥中，分别为棱上的中点.（1）求证：平面； （2）若平面，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面中找的平行线，转化为线线平行的证明；（2）根据面面垂直的判定定理，转化为平面.【详解】（1），分别是，的中点，；又平面，平面，平面.（2），；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个
14、面.19.设直线.（1）若直线交于同一点，求的值；（2）设直线过点，若被直线截得的线段恰好被点平分，求直线的方程.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）先求直线，交点，再代入得m的值；（2）设上一点A(a，12 a)，则得B (4a，2 a1) 在上，解方程组可得a=，再根据两点式求直线的方程试题解析：（1）解，得交点 直线交于同一点，则点C在直线上， 则 解得 （2）设上一点A(a，12 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4a，2 a1) 由点B在上，代入得，a=，直线l过两点A、M，斜率为11， 直线l的方程为20.已知函数，.（1）当时，求不等式的解；（2）若不等式的解集
15、为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）按，分段解不等式；（2）不等式的解集包含，即不等式在上恒成立，再转化为含有的不等式组求解.【详解】（1）当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，当时，令，即，解得；当时，令，即，解得；当时，令，即，解得.综上所述，的解集为.（2）依题意得在上恒成立，即在上恒成立，则只需，解得.故的取值范围是.【点睛】绝对值不等式通常按零点分段讨论；不等式的恒成立问题要结合二次函数的性质转化为不等式组.21.在平面直角坐标系中，已知圆，圆.（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.证明：动圆圆心在一条定
16、直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）或；（2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）设直线的方程，根据弦的垂径定理结合点到直线的距离公式求解,注意斜率不存在的情况.（2）由垂径定理得到圆心到、两点的距离相等，再有两点距离公式建立等式，化简即可；根据设圆心的坐标，得到圆关于参数的一般形式，由此可得动圆经过与的交点，联立解方程组即可.【详解】（1）如图：当直线与轴垂直时，直线与圆相离，与题意不符；当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，又，解得或.直线的方程为或.（2）设动圆的圆心，半径为，若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，则,，
17、所以，即 ，化简得.过动圆圆心在直线上运动.动圆过定点，设，动圆的半径，整理得，由得或.所以动圆过定点，坐标为或.【点睛】圆及其弦问题借助图形分析十分重要，动圆过定点问题需要把圆方程化为一个定方程与另一个定方程乘以一个参数的和，联立两个定方程解方程组即可，非解答题也可采用取特殊值解方程组.22.已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63.（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若存在正整数，有，求实数的取值范围；（3）将数列,的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和.【答案】（1）；（
18、2）；（3）【解析】试题分析：（1）由已知得数列是等差数列，从而易得，也即得，利用求得，再求得可得数列通项，利用已知可得是等差数列，由等差数列的基本量法可求得；（2）代入得，变形后得，从而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，从而得的范围，研究的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前项和时，对分类：，和三类，可求解试题解析：（1），数列是首项为1，公差为的等差数列，即，又，数列是等差数列，设的前项和为，且，的公差为（2）由（1）知，设，则，数列为递增数列，对任意正整数，都有恒成立，（3）数列的前项和，数列的前项和，当时，；当时，特别地，当时，也符合上式；当时，综上：考点：等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和- 18 -