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1、2014 年中考数学分类汇编年中考数学分类汇编与圆有关的压轴题与圆有关的压轴题2014 年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的2014 年中考题展示，以飨读者.【题 1】（2014 年江苏南京,26 题）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，O 为ABC 的内切圆（1）求O 的半径；（2）点 P 从点 B 沿边 BA 向点 A 以 1cm/s 的速度匀速运动，以 P 为
2、圆心，PB 长为半径作圆，设点 P 运动的时间为 t s，若P 与O 相切，求 t 的值【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值【解】：（1）如图 1，设O 与 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则 AD=AF，BD=BE，CE=CF
3、O 为ABC 的内切圆，OFAC，OEBC，即OFC=OEC=90C=90，四边形 CEOF 是矩形，OE=OF，四边形 CEOF 是正方形设O 的半径为 rcm，则 FC=EC=OE=rcm，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cmAD=AF=ACFC=4r，BD=BE=BCEC=3r，4r+3r=5，解得 r=1，即O 的半径为 1cm（2）如图 2，过点 P 作 PGBC，垂直为 GPGB=C=90，PGACPBGABC，BP=t，PG=，BG=若P 与O 相切，则可分为两种情况，P 与O 外切，P 与O 内切当P 与O 外切时，如图 3，连接 OP，则
4、 OP=1+t，过点 P 作 PHOE，垂足为 HPHE=HEG=PGE=90，四边形 PHEG 是矩形，HE=PG，PH=CE，OH=OEHE=1，PH=GE=BCECBG=31=2在 RtOPH 中，由勾股定理，解得 t=当P 与O 内切时，如图 4，连接 OP，则 OP=t1，过点 O 作 OMPG，垂足为 MMGE=OEG=OMG=90，四边形 OEGM 是矩形，MG=OE，OM=EG，PM=PGMG=，OM=EG=BCECBG=31=2，在 RtOPM 中，由勾股定理，解得 t=2综上所述，P 与O 相切时，t=s 或 t=2s【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示
5、其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目【题 2】（2014泸州 24 题）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，AC 和 BD相交于点 E，且 DC2=CECA（1）求证：BC=CD；（2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F，若 PB=OB，CD=，求 DF 的长【考点】：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理菁优网版 权所有【分析】：（1）求出CDECAD，CDB=DBC 得出结论（2）连接 OC，先证 ADOC，由平行线分线段成比例性质定理求得 PC=，再由割线定理 P
6、CPD=PBPA 求得半径为 4，根据勾股定理求得 AC=，再证明AFDACB，得，则可设 FD=x，AF=，在RtAFP 中，求得 DF=【解答】：（1）证明：DC2=CECA，=，CDECAD，CDB=DBC，四边形 ABCD 内接于O，BC=CD；（2）解：如图，连接 OC，BC=CD，DAC=CAB，又AO=CO，CAB=ACO，DAC=ACO，ADOC，=，PB=OB，CD=，=PC=4又PCPD=PBPAPA=4 也就是半径 OB=4，在 RTACB 中，AC=2，AB 是直径，ADB=ACB=90FDA+BDC=90CBA+CAB=90BDC=CABFDA=CBA又AFD=ACB
7、=90AFDACB在 RtAFP 中，设 FD=x，则 AF=，在 RTAPF 中有，求得 DF=【点评】：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解【题 3】（2014济宁 21 题）阅读材料：已知，如图（1），在面积为 S 的ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r连接 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形S=SOBC+SOAC+SOAB=BCr+ACr+ABr=（a+b+c）rr=（1）类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为 AB
8、=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径 r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O1与O2分别为ABD 与BCD 的内切圆，设它们的半径分别为 r1和 r2，求的值【考点】：圆的综合题菁优网版 权所有【分析】：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似仿照证明过程，r 易得（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点
9、 D 作 AB 垂线，进一步易得 BD 的长，则 r1、r2、易得【解答】：（1）如图 2，连接 OA、OB、OC、ODS=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD=+=，r=（2）如图 3，过点 D 作 DEAB 于 E，梯形 ABCD 为等腰梯形，AE=5，EB=ABAE=215=16在 RtAED 中，AD=13，AE=5，DE=12，DB=20SABD=126，SCDB=66，=【点评】：本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养
10、【题 4】（2014.福州 20 题）如图，在ABC 中，B=45，ACB=60，AB3 2，点D 为 BA 延长线上的一点，且D=ACB，O 为ABC 的外接圆.（1）求 BC 的长；（2）求O 的半径.【解析】BC33.（2）由（1）得，在 RtACE 中，EAC=30，EC=3，AC=2 3.D=ACB，B=B，BACBCD.ABACCBCD，即3 22 3CD33.DM=4.O 的半径为 2.【考点】：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含 30 度角直角三角形的性质；7.勾股定理.【题 5】（2014.
11、广州 25 题）如图 7，梯形中，,，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（2）试用表示，并写出的取值范围；（3）当的外接圆与相切时，求的值【答案】解：（1）如图 1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图 2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图 3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）【题 6】（2014湖州 24 题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x
12、 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t秒（t0）（1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b；（3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t
13、的值；若不存在，请说明理由【分析】：（1）连接 PM，PN，运用PMFPNE 证明，（2）分两种情况当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1 时，点E 在 y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当 1t2 时，当 t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间 t【解答】：证明：（1）如图，连接 PM，PN，P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，PMMF，PNON 且 PM=PN，PMF=PNE=90且NPM=90，PEPF，NPE=MPF=90MPE，在PMF 和PNE 中，PMFPNE（ASA），PE=PF，（2）解：当 t1 时，点
14、E 在 y 轴的负半轴上，如图，由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+t（t1）=2，b=2+a，0t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t，b+a=1+t+1t=2，b=2a，（3）如图 3，（）当 1t2 时，F（1+t，0），F 和 F关于点 M 对称，F（1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q（1 t，0）OQ=1 t，由（1）得PMFPNENE=MF=t，OE=t1当OEQMPF=，解得，
15、t=，当OEQMFP 时，=，=，解得，t=，（）如图 4，当 t2 时，F（1+t，0），F 和 F关于点 M 对称，F（1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q（1 t，0）OQ=t1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1当OEQMPF=，无解，当OEQMFP 时，=，=，解得，t=2，所以当 t=，t=，t=2时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F为顶点的三角形相似【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系【题 7】（2014宁波 26）木匠黄师傅用长 AB=3，宽
16、 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、O2分别在 CD、AB 上，半径分别是 O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设 CE=x（0 x1），圆的半径为 y求 y 关于 x 的函数解析式；当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方
17、案中哪一个圆形桌面的半径最大【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN 后对应边成比例整理方程，进而可求 r 的值（3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向
18、方向跨度则选择最小跨度，取其，即为半径由 EC 为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径 另与前三方案比较，即得最终结论【解答】：解：（1）方案一中的最大半径为 1分析如下：因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1作 O1EAB 于 E，方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰为O 与 AB，BF 的切点方案二：设半径为 r，在 RtO1O2E 中，O1O2
19、=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=32r，（2r）2=22+（32r）2，解得 r=方案三：设半径为 r，在AOM 和OFN 中，AOMOFN，解得 r=比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x类似（1），所截出圆的直径最大为 3x 或 2+x 较小的1当 3x2+x 时，即当 x 时，r=（3x）；2当 3x=2+x 时，即当 x=时，r=（3）=；3当 3x2+x 时，即当 x 时，r=（2+x）当 x 时，r=（3x）（3）=；当 x=时，r=（3）=；当 x 时，r=（2+x）（2+）=，方案四，当 x=时，r
20、 最大为 1 ，方案四时可取的圆桌面积最大【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习【题 8】（2014苏州 28）如图，已知 l1l2，O 与 l1，l2都相切，O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB 分别与 l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O 与矩形 ABCD沿 l1同时向右移动，O 的移动速度为 3cm，矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间为 t（s）（1）如图，连接
21、OA、AC，则OAC 的度数为105；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O 到达O1的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1的位置，此时点 O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d（cm），当 d2 时，求 t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【考点】：圆的综合题菁优网版 权所有【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45，DAC=60，进而得出答案；（2）首先得出，C1A1D1=60，再利用 A1E=AA1OO12=t
22、2，求出 t 的值，进而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）当直线 AC 与O 第一次相切时，设移动时间为 t1，当直线 AC 与O第二次相切时，设移动时间为 t2，分别求出即可【解答】：解：（1）l1l2，O 与 l1，l2都相切，OAD=45，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，AD=4cm，tanDAC=，DAC=60，OAC 的度数为：OAD+DAC=105，故答案为：105；（2）如图位置二，当 O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O1与 l1的切点为E，连接 O1E，可得 O1E=2，O1El1，在 RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，
23、C1A1D1=60，在 RtA1O1E 中，O1A1E=C1A1D1=60，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线 AC 与O 第一次相切时，设移动时间为 t1，如图，此时O 移动到O2的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2的位置，设O2与直线 l1，A2C2分别相切于点 F，G，连接 O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2G2，由（2）得，C2A2D2=60，GA2F=120，O2A2F=60，在 RtA2O2F 中，O2F=2，A2F=，OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+3t1=2，t1=2，当直
24、线 AC 与O 第二次相切时，设移动时间为 t2，记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（2）=t2（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当 d2 时，t 的取值范围是：2t2+2【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合 t 的值是解题关键【题 9】（2014泰州 25 题）如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C
25、，与 y 轴相交于点 D、E，点 D 在点 E 上方（1）若直线 AB 与有两个交点 F、G求CFE 的度数；用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45，（2）作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出 FG2，再根据式子写出 b 的范围，（3）当 b=5 时，直线与圆相切，存在点 P，使CPE=45，再利
26、用两条直线垂直相交求出交点 P 的坐标，【解答】：解：（1）连接 CD，EA，DE 是直径，DCE=90，CODE，且 DO=EO，ODC=OEC=45，CFE=ODC=45，（2）如图，作 OMAB 点 M，连接 OF，OMAB，直线的函数式为：y=x+b，OM 所在的直线函数式为：y=x，交点 M（b，b）OM2=（b）2+（b）2，OF=4，FM2=OF2OM2=42（b）2（b）2，FM=FG，FG2=4FM2=442（b）2（b）2=64b2=64（1b2），直线 AB 与有两个交点 F、G4b5，（3）如图，当 b=5 时，直线与圆相切，DE 是直径，DCE=90，CODE，且 D
27、O=EO，ODC=OEC=45，CFE=ODC=45，存在点 P，使CPE=45，连接 OP，P 是切点，OPAB，OP 所在的直线为：y=x，又AB 所在的直线为：y=x+5，P（，）【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时 K 的关系【题 10】(2014 年江苏徐州 28)如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为直径作圆 O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EGEF，EG 与圆 O 相交于点 G，连接 CG（1）试说明四边形 EFC
28、G 是矩形；（2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中，矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点 G 移动路线的长【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【分析】：（1）只要证到三个内角等于 90即可（2）易证点 D 在O 上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB，根据相似三角形的性质可得到 S矩形ABCD=2SCFE=然后只需求出 CF 的范围就可求出S矩形ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质
29、可证到GDC=FDE=定值，从而得到点G 的移动的路线是线段，只需找到点 G 的起点与终点，求出该线段的长度即可【解答】：解：（1）证明：如图 1，CE 为O 的直径，CFE=CGE=90EGEF，FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形 EFCG 是矩形（2）存在连接 OD，如图 2，四边形 ABCD 是矩形，A=ADC=90点 O 是 CE 的中点，OD=OC点 D 在O 上FCE=FDE，A=CFE=90，CFEDAB=（）2AD=4，AB=3，BD=5，SCFE=（）2SDAB=34=S矩形ABCD=2SCFE=四边形 EFCG 是矩形，FCEGFCE=CEGGDC=CEG，FC
30、E=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90，GDC+CDB=90GDB=90当点 E 在点 A（E）处时，点 F 在点 B（F）处，点 G 在点 D（G处，如图 2所示此时，CF=CB=4当点 F 在点 D（F）处时，直径 FGBD，如图 2所示，此时O 与射线 BD 相切，CF=CD=3当 CFBD 时，CF 最小，此时点 F 到达 F，如图 2所示SBCD=BCCD=BDCF43=5CFCF=CF4S矩形ABCD=，（）2S矩形ABCD 42S矩形ABCD12矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为GDC=FDE=定值，点 G 的起点为 D，终点为 G，点 G 的移动路线是线段
31、DGGDC=FDE，DCG=A=90，DCGDAB=DG=点 G 移动路线的长为【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强而发现CDG=ADB 及FCE=ADB 是解决本题的关键【题 11】（2014.连云港 25 题）为了考察冰川融化的状况，一支科考队在某冰川上设一定一个以大本营 O 为圆心，半径为 4km 圆形考察区域，线段 P1、P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过 n 年，冰川的边界线 P1P2移动的距离为 s(km),并且 s 与 n（n 为正整数）的关系是2575092032nns.以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中 P1、P2的坐标分别是（-4，9）、（-13，-3）.（1）求线段 P1P2所在的直线对应的函数关系式；（2）求冰川的边界线移动到考察区域所需要的最短时间.【解答】