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1、微专题11 二次函数根的分布问题参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1（2020秋安徽期末）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为ABCD【解答】解：解不等式，得，解集为，由不等式，得，因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式，若，则不等式的解集为，满足，符合题意若，则不等式的解集为，则，所以，解得若，则不等式的解集为，则，所以综上知，实数的取值范围是，故选：【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是中档题2（2020秋深圳月考）如果方程的一根小于1，另一根大于1，那么实数的取值范围是ABCD【解答】解：方程的一根小于1，另一根大
2、于1，令，函数的开口向上，则（1），求得，故选：【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题3（2020春郊区校级期中）已知方程有两个不等正实根，则实数的取值范围是A或B或C或D或【解答】解：方程有两个不等正实根，即，求得，或再根据两根之和为，且两根之积为，求得综合可得，或，故选：【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题4关于的二次方程在区间，上有实根，则实数的取值范围是A，BC，D【解答】解：关于的二次方程在区间，上有实根，且，即，故函数 的图象和直线在区间，上有交点当时，在区间，上函数 取得
3、最小值为2，函数无最大值，故选：【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题5（2011福建）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是ABC，D，【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，即：，解得：，故选：【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查6（2020秋南京月考）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是A，BCD【解答】解：一元二次方程的两根都在内，令，求得，则实数的取值范围为，故选：【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数关系，二次函数的性质，属于中档题7（2020秋宣城期末）若关于的
4、不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为A，B，CD【解答】解：关于的不等式在区间，上有解，在，上有解，即在，上成立；设函数，恒成立，在，上是单调减函数，且的值域为，要在，上有解，则，即实数的取值范围为，故选：【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目8（2020秋赣州期末）若不等式在上有解，则实数的取值范围是A，BCD【解答】解：不等式可化为，设，则（1），所以不等式在，上有解，实数的取值范围是，即故选：【点评】本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题9（2020秋成都期末）已知关于的方程的两个不相等的实数根都大于2，则实数的取值范围
5、是ABCD或【解答】解：关于的方程的两个不相等的实数根都大于2，解得：或；解得：；解得：取交集，可得故选：【点评】本题考查一元二次方程根的分别与系数间的关系，考查利用“三个二次”结合求解字母的取值范围问题，属中档题10（2020秋庐阳区校级期中）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是A，BC，D，【解答】解：由，可得，解得，那么不等式，等价于，又当时，取得最小值，即函数的值域为，若不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么与函数的值域的交集为空集，所以，所以故选：【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，复合函数的性质，属于中档题11（2020秋日照期末）已知函数与的图象上存在
6、关于轴对称的点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间，上有解，令，由的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故当时，取最小值，当时，函数取最大值，故，故选：【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在区间，上有解二多选题（共4小题）12（2020秋义乌市期末）函数，当时，则的取值可以是A0B1CD【解答】解：设，则在上为增函数，且（b），当时，则有时，当时，即必过点，则（b），即，此时，则满足的另一个零点，即，所以，所以的取值可以是0，1故选：【点评】此题考查函数与方程的应用，考查数学转化思想，解题的关
7、键是构造函数，两函数同号，属于中档题13（2020秋阜宁县期末）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是ABCD【解答】解：因为不等式的解集为，所以相应的二次函数的图象开口向下，即，所以正确由2和是方程的两个根，则有，；又，所以，所以错误由二次函数的图象可知（1），所以正确、错误故选：【点评】本题考查了一元二次不等式与对应的二次函数和方程的关系应用问题，是基础题14（2020秋聊城期末）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是ABCD【解答】解：不等式的解集是，所以且，解得，；所以，选项正确；设二次函数，且，且函数的零点是和2，所以（1），选项正确；因为，所以选项正确；因为，所以选项错误故选：
8、【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题，是基础题15（2020秋天心区校级期中）已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是ABC（2）D（3）【解答】解：由题意做出的图象如：该抛物线开口向上，与轴在，上各有一个交点故：；（2）；（3）又该二次函数的对称轴除了不能落在，之间外，可以取任意值，故选项错误故选：【点评】本题考查二次函数的图象与性质，即函数的零点、函数图象与轴的交点、函数对应方程的根之间的关系属于中档题三填空题（共5小题）16（2011秋雁塔区校级月考）方程在区间，上有实根，则的取值范围，【解答】解：方程在区间，上有
9、实根，就是函数在区间，上与轴有交点，因为二次函数过，所以，即，解得，故答案为：，【点评】本题考查函数的零点与方程的根的知识，考查分析问题解决问题的能力17（2020秋成都校级期中）若关于的方程在区间，上有实数根，则实数的取值范围是，【解答】解：的方程，在，上单调递减，在，上单调递增，（1），（2），（3），实数的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查了方程与函数的转化运用，函数与方程思想，属于中档题18（2012秋城厢区校级期中）若关于的方程在内恰好有一个解，则的范围是或【解答】解：关于的方程在内恰好有一个解，即函数在内恰好有一个零点，只要（2），即，解得或或，解得，此时另一个解为1，满足条
10、件，当（2），解得，此时另一个解为，满足条件综上所述：或故答案为：或【点评】本题考查函数的零点和方程根的关系、函数零点的存在性定理19（2020秋河东区校级月考）设，一元二次方程有整数根的充要条件是3或4【解答】解：一元二次方程有实数根的充要条件是，解得经过验证，4时满足条件故答案为：3或4【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20（2020秋浦东新区校级月考）若函数在，内恰有一个零点，则实数的取值范围为【解答】解：当时，函数在，内有一个零点，符合题意；当时，函数的对称轴方程，若是函数的一个零点，则，即，此时，满足函数在，上恰
11、有一个零点；若2是函数的一个零点，则，即，此时，由，得或，函数在，上有两个零点，2，不合题意；当（2）时，解得或，满足题意综上所述，实数的取值范围为，故答案为：【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想与分类讨论的数学思想，是中档题四解答题（共8小题）21已知二次方程有且只有一个实根属于，且，都不是方程的根，求的取值范围【解答】解：设为二次函数，即设的两个根为、，若，此时，且都不满足 ，可得此时，若，此时，则由题意可得（1）（2），解得综上，可得，且，故的取值范围为，且【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题22关于的
12、二次方程（1）一个根在之间，另一个根在之间，求实数的取值范围；（2）在区间，上有解，求实数的取值范围【解答】解：（1）记关于的二次方程一个根在之间，另一个根在之间，实数的取值范围为：（2）关于的二次方程在区间，上有解，（2）或，或，实数的取值范围为：，【点评】本题考查了函数的图理与方程的根据关系，本题难度不大，属于基础题23已知两个关于的一元二次方程和，若两方程的根都是整数，求的取值范围【解答】解：是一元二次方程，又另一方程为，且两方程都要有实根，解得，两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，为4的约数，又，或1当时，第一个方程的根为非整数；而当时，两方程的根均为整数，两方程的根均为整数的
13、充要条件是【点评】本题考查了的取值范围，考查方程根的情况，是一道中档题24（1）已知关于方程的两根都在，内则实数的取值范围是什么？（2）关于的方程的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是什么？（3）方程的两根都在区间，上，求实数的取值范围（4）方程的两根均大于1，求实数的取值范围【解答】解：（1）设，则，；（2）因为方程有两实根，所以二次项系数不为0，则又因为方程的两实根，一个小于1，另一个大于1，则存在两种情况：情况1：当时，：函数 图象开口向上，此时只需（1） 即可即 解得结合前提条件有情况2：当时，函数 图象开口向下，此时只需（1），即可即 解得结合前提条件有综上，满足题意的
14、的取值范围是 或（3）令，由的两根都在区间，可得，由此求得；（4）要使两根均大于1，必须，解得【点评】此题主要考查的是方程根的分布问题，对于此类题目可以转化为求抛物线零点分布的问题，利用函数思想解答，对学生做题的灵活性要求较高25若函数的两个零点分别为，且有与，试求出的取值范围【解答】解：，的图象是开口向上的抛物线由题意得：，即解的，故的取值范围为【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题26已知关于的二次方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围【解答】解：设，由题意可得，的图象与轴的交点的区间分别在，内，可得，
15、求得【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题27（2020秋邳州市校级月考）已知关于的方程（1）若方程的一根大于2，一根小于2，求实数的取值范围；（2）若方程的两根都小于，求实数的取值范围；（3）若方程的一根在区间内，一根在区间内，求实数的取值范围；（4）若方程的两根都在区间，求实数的取值范围【解答】解：令，（1）若方程的一根大于2，一根小于2，令，则有（2），求得（2）若方程的两根都小于，则有，求得（3）若方程的一根在区间内，一根在区间内，则有，由此求得实数的取值范围为（4）若方程的两根都在区间，则有，求得【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题28（2020秋成都校级月考）设二次函数、（1）当时，求函数在，上的最小值（a）的表达式（2）若方程有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数，使得【解答】解：（1）当时，对称轴为，当时，函数在，上递减，则（a）（1）；当时，即有，则（a）；当时，函数在，上递增，则（a）综上可得，（a）（6分）（2）设，为整数则，即，当，即时，； 当，即时，；综上，存在整数，使得（12分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键 学科网（北京）股份有限公司