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1、裂项相消法求和之再研究裂项相消法求和之再研究 一、多项式数列求和。（1）用裂项相消法求等差数列前）用裂项相消法求等差数列前 n 项和。即形如项和。即形如的数列求前的数列求前 n 项和项和naanb此类型可设左边化简对应系数相等求出 A,B.22() (1)(1)naAnBnA nB nanb123222()0(42 )()(93 )(42 )() (1)(1)nnSaaaaABABABABABAnBnA nB nAnBn则 例 1：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na21nannS2222222222123() (1)(1)212=2122110(1)121 32(1)nnnnna
2、AnBnA nB nnaAnBAnAABABannSaaaannn 解：令 则有 （2）用裂项相消法求多项式数列前）用裂项相消法求多项式数列前 n 项和。即形如项和。即形如的数列求的数列求121210mmnmmabnbnbnb前前 n 项和。项和。此类型可111111() (1)(1)(1)mmmmnmmmmac ncnc ncncnc n设121210mmmmbnbnbnb 上边化简对应系数相等得到一个含有 m 元一次方程组。说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。解出。再裂项相消法裂项相消法用易知12,mc cc111mmnmmSc ncnc n例 2：
3、已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na3nannS432432322323 (1)(1)(1)(1)(4641)(331)(21)4( 63 )(432 )()14411630243200naAnBnCnDnA nB nC nD nAnnnBnnCnDAnAB nABC nABCDnAAABBABCCABCD 解：设（） 140D二、4324322222222222111111 (1)(1)(1) 424424(1)(1)221 22 31 23 42 3(1)(1)(1)22222222nnannnnnnn nnnn nnnn nS（） 二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。（1
4、）用裂项相消法求等比数列前）用裂项相消法求等比数列前 n 项和。即形如项和。即形如的数列求前的数列求前 n 项和。这里不妨设项和。这里不妨设。 （nnaaq1q 时为常数列，前时为常数列，前 n 项和显然为项和显然为）1q nSan此类型可设，则有，从而有。再用裂1AnnnaqAq()nnnAaAqaqq,1AaqAa Aqq项相消法求得nnSAqA例 3：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na3nna nS解：设，则有，从而有，故。1AnnnaqAq2333nnnAa A32A 13322nnna232431112311(33333333 )(33)22nnnnnSaaaa （2）
5、用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前 n 项和。即形如项和。即形如的数列求前的数列求前()nnaanb qn 项和。项和。此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设， （1q 时为等差数列，不再赘述。 ）1q 可设，则有，则有，1() (1)nnnaAnB qA nB q11()()nnnaAqA nBqAB qaqnbq q从而得到方程组，继而解出 A，B。再用裂项相消法求得()AqAaqBqABbq()nnSAnB qB例 4：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na3nnannS解：
6、设，则有，则有，1()3 (1)3nnnaAnBA nB1122)333nnnaAnBAn从而得到方程组，解得。2320ABA3234AB 121233344nnnnna22232111231133 3 335 33 3(21) 3(23) 3 (21) 3344nnnnnSaaaannn （3）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前 n 项和。项和。即形如即形如的数列求前的数列求前 n 项和。项和。121210()mmnnmmabnbnbnb q此类型有一个采用 m 次错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全
7、失去了。同样这里依然不妨设， （时为多项式数列，不再赘述。 ）1q 1q 下面介绍错位相减法的方法：设。1212112101210()(1)(1)(1)mmnmmnnmmmmaBnBnBnB qBnBnB nB q先对上式化简成的形式，其中的形式，其中011,mC CC是用是用121210()mmnnmmaCnCnC nC q011,mB BBq来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个 m 元一次方程组，用代入法可以解出元一次方程组，用代入法可以解出再用再用用裂项相消法求得。011,mB BB1212100()mmnnmmSBnBnBnB qB例
8、 5：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na22nnannS解：设，则有221()2 (1)(1)2nnnaAnBnCA nB nC2121(2)()222nnnaAnAB nABCn 从而得到，解得，所以2200AABABC 246ABC 212(23)2(1)2(1)3)2nnnannnn232212123212 23 23 22 2(23)2(1)2(1)3)2(23)26nnnnnSaaaannnnnn 三、其他数列。上面的推导和习题，我们不难发现。错位相减法适合与等差等比数列，也适合可用公式法，错位相减法，分组求和法，并项求和法，裂项相消法，部分倒叙相加法的数列。事实上裂项
9、求和适合用于所有能将化成形式的所有数列，与存在形式上相似性，从而利用待定系na( )(1)naf nf n na( )f nna数法的方式得到的表达式，最终可以得到。这里部分可用倒叙相加法的数列不能( )f n( )(0)nSf nf使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前 n 项和公式。例如调和数列也不能用此法，事 1n实上调和数列是不可求前 n 项和的数列。 1n四、结论。 从上面的论断不难得出，错位相减法适合所有可求前错位相减法适合所有可求前 n 项和的数列项和的数列。错位相减法不愧为数列求前 n项和的万能方法。不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法，尤其是
10、与指数函数，对数函数，三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前两个大点得出的结论，我们当然也可以使用待定系数法来求，只是不要忘记它们都是用裂项相消法证明出来的结论。保nS留原来的参数得到结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值，但对记性的要求很高，这里就不再啰嗦。本人不建议背诵。例 6：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na34(1)(2)nnan nnnS解：设则(1)(1)(1)(2)nAnBA nBan nnn()(2)()2(1)(2)(1)(2)nAnB nn AnABAnBan nnn nn所以，解得，所以234(1)(2)(1)(2)AnBnn nnn
11、nn324AB 32AB 3231(1)(1)(2)nnnan nnn1232144732311 22 32 33 4(1)(1)(2)1313=2(1)(2)2(1)(2)nnnnSaaaan nnnnnnnnnn 例 7：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和。 na21223 21nnnna nS解：2111221123 21(21)(21)2121nnnnnnnnna 1122311111111112212121212121212121nnnnnnS 例 8：已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和，。 na2sinonannS89S解：，211sincos222oonannsin1
12、 cos2sin(21)sin(21)cos2sin12sin1ooooooonnnn1sin(21)1sin(21)(1)22sin122sin1oonoonnann（错位相减法这里不赘述了）1sin(21)(1)22sin1ononSn（与倒叙相加法结果一致）891sin(2 89 1)(89 1)44.522sin1ooS作业：1、请用裂项相消法求下列各数列的和.（1）已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和； na4nannS（2）已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和； na2() 3nnannnS（3）已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和； na2(1) 2nnnan nnS（4）已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和； nasinnannS（5）已知数列的通项公式为，求它的前 n 项和； na21(1)(2)nnan nnnS（6）根据您的阅读自己给自己设计一个题目.