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1、 学科网（北京）股份有限公司 专题2 用导数研究函数的最值一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.二、解题秘籍(一) 求函数在区间上的最值一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f
2、(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值【例1】（2022届重庆市南开中学高三7月考试）已知函数（1）当时,求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点,求的取值范围【分析】（1）当时, ,.（2）,则,在单调递增,在单调递减,作出函数和得图像,由图象可得.(二) 求函数在非闭区间上的最值求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.【例2】已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x),x1,且x0,证明：g(x)1.【分析】(1)f(x)xex.当x
3、(,0)时,f(x)0,f(x)单调递增；当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递减所以f(x)的最大值为f(0)0.(2)当x0时,f(x)0,g(x)01.当1x0时,g(x)1等价于f(x)x.设h(x)f(x)x,则h(x)xex1.当x(1,0)时,0x1,0ex1,则0xex1,从而当x(1,0)时,h(x)0,h(x)在(1,0)上单调递减所以当1x0时,h(x)h(0)0,即g(x)1.综上,总有g(x)1.(三) 含参数的函数的最值含参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极
4、值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论【例3】已知aR,函数f(x)ln x1.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e上的最小值【分析】(1)f(x)ln x1,x(0,),f(x),x(0,)确定曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为x4y4ln 240.(2)f(x),x(0,e令f(x)0,得xa.根据a与(0,e位置关系分类讨论若a0,则f(x)0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值若0ae,则当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增,所以当xa时,
5、函数f(x)取得最小值ln a.若ae,则当x(0,e时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,所以当xe时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值；当0a0,所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0.所以,f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)由于a1时,(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于k0) 令g(x)x,则g(x)1.由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增,又h(1)e30.所以h(x)在(0,)上存在唯一零点故g(x)在(0,)上存在唯一零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,得e2, 所以g()1(2,3)由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司