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1、微专题03 基本不等式和积问题参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1（2020秋长安区校级期中）函数的最大值为A9BC3D【解答】解：令，（且，则利用二次函数的性质可得，当时，函数取得最大值为，的最大值为，故选：2（2020秋鼓楼区校级期中）已知正实数，满足，则的最小值是A1BCD9【解答】解：由正实数，满足，得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为故选：3（2020秋海原县校级月考）已知正实数，满足，则的最小值为A12B6C8D4【解答】解：正实数，满足，所以，当且仅当时，等号成立故选：4（2020秋和平区校级期中）设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为ABCD【解答】解：因为：，
2、所以：原不等式恒成立，即可转换为，解得所以的取值范围为：，故选：5（2020河北学业考试）若正数，满足，则的最小值是A10B9C8D6【解答】解：因为正数，满足，所以，则，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值9故选：6（2020春铜陵期末）已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为A1BC2D【解答】解：已知，二次不等式对于一切实数恒成立，且，再由，使成立，可得，当且仅当即时“”成立，故选：7（2020浙江模拟）已知实数，满足，则的最小值为ABCD4【解答】解：设，则，设，解得，的最小值是，故选：8（2020秋泉山区校级期中）已知正实数，满足，则的最小值为AB3CD【
3、解答】解：因为正实数，满足，所以，则，当且仅当且即，时取等号，故选：9（2020春赤峰期末）已知，满足，则的最小值为AB4CD【解答】解：令由可得，关于的方程得有正实根，时才可能有正实根，由，可得，或（舍去）则的最小值为，故选：二多选题（共2小题）10（2020秋徐州期中）设，则ABCD【解答】解：，当且仅当时取等号，成立；不一定成立，不成立；，当且仅当且即时取等号，成立，成立；一定成立，当时取等号，故，即成立故选：11（2020秋东宝区校级期中）下列结论不正确的是A当时，B当时，的最小值是2C当时，的最小值是D设，且，则的最小值是【解答】解：对于时，当且仅当时，取等号，正确；对于时，设，则，
4、原式转化为，当且仅当时，取等号，由于，取不到最小值，不对；对于时，当且仅当时，取等号，即最大值是，不对；对于，可得，则，当且仅当，时，取等号，即最小值是，正确；故选：三填空题（共20小题）12（2020春泉港区校级期末）已知正实数、满足，则的最小值为7【解答】解：，且，当且仅当，时取等号故答案为：713（2020徐州模拟）已知正实数，满足，则的最小值为3【解答】解：正实数，满足，所以：，则：，则，当且仅当时，即，时，最小值为3故答案为：314（2020秋商丘期末）已知，均为正实数，满足，则的最小值为9【解答】解：根据题意，则，当且仅当时等号成立；即的最小值为9；故答案为：915（2020台州模
5、拟）设正实数，满足，则的最大值为4，的最小值为【解答】解：（1）正实数，满足，即，的最大值为4（2）正实数，满足，的最小值为16故答案为：（1）4（2）1616（2020上饶二模）对任意正数，满足，则正实数的最大值为【解答】解：，当且仅当，即时，等号成立所以，即，解得，又，故所以的最大值为故填：17（2020秋徐州期中）已知，为正实数，则的最小值为5【解答】解：，当且仅当时取“ “，故答案为：518（2020秋镇江期中）已知，则的最小值为【解答】解：，则，当且仅当且即，时取得最小值故答案为：19（2020温州模拟）已知正数、满足，则的最小值等于3，此时【解答】解：根据题意，正数、满足，则，当且
6、仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时；故答案为：3，20（2021湖南模拟）已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为 【解答】解：由题意，不等式对于一切实数恒成立，可得，解得，存在，使成立，则，即，得，由，当且仅当时取等号故答案为：21（2020秋西湖区校级期中）已知，且，则的最小值为【解答】解：已知，且，所以，解得，又由已知得，由于是求最小值，故可取，所以，令，则，故当时的最小值为，故答案为：22（2020秋宝山区校级期中）设正实数、满足，那么的最小值为【解答】解：因为，为正数，满足，所以；令，则；解得，即，所以，；所以的最小值为故答案为：23（2020秋泰
7、州期中）已知正实数，满足，则的最小值为【解答】解：正实数，满足，令，则，当且仅当时取“”，故答案为：24（2020淮安四模）若正实数，满足，则的最小值是8【解答】解：根据题意，满足，则，即的最小值是8；故答案为：825（2020秋灌云县期中）已知，满足，则的最小值是【解答】解：，满足，可得，则，当且仅当时，上式取得等号，即有最小值为，故答案为：26（2020西湖区校级模拟）已知，且满足，则的最小值是【解答】解：，且满足，整理得，即；则，根据重要不等式，得求得，当且仅当，即时取等号；解析式的最小值为：故答案为：27（2020浙江模拟）已知，且满足，则的最小值是【解答】解：由，得，令，则当且仅当，
8、即，联立，解得或，说明中“”成立的最小值是故答案为：28（2020秋湖北月考）若正实数，满足，则的最小值为【解答】解：令，则，且，所以，所以，当且仅当时取等号，此时故答案为：29（2020秋南岗区校级期中）已知，满足，则的最小值为4【解答】解：由题意，那么，当且仅当时取等号则：解得：所以的最小值为4故答案为：430（2020秋辽宁期中）已知正实数，满足，则的最小值为【解答】解：正实数，满足，所以，所以，所以的最小值为故答案为：31（2020秋鹿城区校级期中）已知，则的最小值为【解答】解：由，可得，；故，则的最小值为，故答案为：四解答题（共11小题）32（2014春秦州区校级月考）设，是不全相等
9、的正数，求证【解答】证明：因为，均为正数，由均值不等式得、，又，不全相等，所以33（2021赣州模拟）已知，都是正数，求证：（1）；（2）若，则【解答】证明：（1）证法一、，都是正数，当且仅当“”时等号成立；证法二、，都是正数，当且仅当“”时等号成立；（2）证法一、，当且仅当“”时等号成立；法二、当且仅当“”时等号成立；34已知、都是正数，求证【解答】证明：由、都是正数，当且仅当时，取得等号则35已知，都是正数，求证：（1）；（2）【解答】证明：（1），都是正数，三个式子相加可得，；（2）、均为正实数，当时等号成立；，当时等号成立；，当时等号成立；三个不等式相加即得，当且仅当时等号成立36（2
10、020春河南期末）已知正数，满足（）若，求的取值范围；（）求证：【解答】解：（）由，可得，两边平方得，又，（当且仅当时等号成立），结合，解得故的取值范围为，；（）证明：，三个同向不等式相加，可得，即，当且仅当时等号成立37（2020江苏模拟）设，都是正数，求证：【解答】证明：，当且仅当时取等号，由，相加可得，当且仅当取得等号，则，则38（1）当时，的最小值是4求正数的值及此时的（2）当时，的最大值是求正数的值及此时的【解答】解：（1）当时，可得，解得，此时，即；（2）当时，可得，解得，此时，即39（2020秋金安区校级月考）（1）已知0 ，求的最大值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，且，求
11、的最小值【解答】解：（1）由题意，当且仅当即时等号成立；（2）由题意，当且仅当即时等号成立；（3）由得，则，当且仅当，即，时等号成立40（1）已知，求的最大值（2）已知，求的最大值（3）已知，求的最大值（4）已知，且，求的最小值【解答】解：（1），即，当且仅当，即时，等号成立故的最大值为1（2），当且仅当，即时，等号成立故的最大值为（3），当且仅当时，等号成立故的最大值为1（4），当且仅当，即时，等号成立故的最小值为1641（1）若是正实数，求的最大值（2）已知，求的最大值【解答】解：（1）是正实数，变形为，可得，当且仅当，即，时取等号的最大值为（2），当且仅当，即，时取等号，的最大值是42已知，求的最大值【解答】解：令，则当且仅当即时，取得最大值学科网（北京）股份有限公司