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1、广西中山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z的对应点为，则A. B. 2iC. D. 2. 函数在点处的切线方程为A. B. C. D. 3. 用反证法证明“若则或”时，应假设A. 或B. 且C. D. 4. 已知积分，则实数A. 2B. C. 1D. 5. 已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的共轭复数的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 下列函数求导运算正确的个数为 ；A. 1B. 2C. 3D. 47. 下面几种推理是类比推理的是由直角三角形、等腰三角形、等边三角形
2、内角和是，得出所有三角形的内角和都是；由，满足，得出是偶函数；由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值A. B. C. D. 8. 如图，长方体中，点E、F、G分别是、AB、的中点，则异面直线与GF所成角的余弦值是A. B. C. D. 09. 函数的单调递增区间是A. B. C. D. 10. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A. 100B. 110C. 120D. 18011. 展开式中的常数项为A. 15B. 20C. D. 12. 如图，阴影部分的面积为 A. B. C. D. 二、
3、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，且l的方向向量为，平面的法向量为，则 _ 14. 从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是_ 15. 若，则当时，是_ 16. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设复数其中若，求的值若是实数，求a的值18. 有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：位同学站成一排，有多少种不同的方法？位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配
4、方法？19. 已知函数求函数在上的最大值和最小值过点作曲线的切线，求此切线的方程20. 如图，在棱长为3的正方体中，求两条异面直线与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值21. 已知数列的前n项和为，直线经过点 求出、的值；请你猜想通项公式的表达式，并选择合适的方法证明你的猜想22. 已知函数，其中为常数且是的一个极值点求a的值；求函数的单调减区间；若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围答案【答案】1. B2. B3. B4. A5. A6. B7. B8. D9. A10. B11. D12. C13. 14. 42015. 16. 17. 解：是实数，解得18. 解：位同学站成
5、一排共有 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可故有人数分配方式有有种方法有种方法所以，所有方法总数为种方法19. 解：，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，而，的最小值是，的最大值是2；，设切点坐标为，则切线方程为，切线过点，化简得或切线的方程：或20. 解：以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示： 则 则两条异面直线与所成角的余弦值为 设平面的一个法向量为 由得 令，则 则直线与平面所成角的正弦值为21. 解：由题意可得：，得，即，解得，解得，解得猜想：证明：由，得两式作差得，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，即22
6、. 解：，又是的一个极值点，则函数的定义域为由知由可得或，由可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为由可知函数在单调递增，在单调递减，在单调递增且当或时，的极大值为，的极小值为当x充分接近0时，当x充分大时，要使的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需 即 解得：【解析】1. 解：在复平面内，复数z的对应点为，故选：B利用复数的几何意义、运算法则即可得出本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 解： 容易求出切线的斜率为4 当时， 利用点斜式，求出切线方程为 故选B首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程本题比较简单，主要
7、应用导数的几何意义，求出切线方程3. 解：用反证法证明“若则或”时，应先假设且故选：B熟记反证法的步骤，直接填空即可反面有多种情况，需一一否定此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定4. 解：， 故选A 先找出已知被积函数的一个原函数，然后结合积分基本定理即可求解本题主要考查了积分基本定理的简单应用，属于基础试题5. 解：复数z满足则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限故选：A
8、利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6. 解：；故错误，；故正确，；故正确，故错误故正确的个数有2个，故选：B根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断本题考查了导数的运算法则，属于基础题7. 解：为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是推出所有三角形的内角和都是，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程；由，满足，得出是偶函数，是演绎推理；由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值，是类比推理故选：B利用归纳推
9、理、演绎推理、类比推理的定义，即可得出结论判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分8. 解：以所在直线方向轴，建立空间直角坐标系，则可得 设异面直线与GF所成角的为，则，故选：D 以所在直线方向轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，可得答案本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题9. 解
10、：函数，令，解得：或，故在递增，故选：A求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题10. 解：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，所以符合要求的组队方案数为110种；故选B根据题意，从反面分析，分别求得“10人中任选3人的组队方案”与“没有女生的方案”的方法数，进而由“没有女生的方案”与“至少有一名女生入选的组队方案”互为对立，计算可得答案本题考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法11. 解：的二项展开式的通项公式为：令，求得，故展开式的常数项为：，故选：D在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0
11、，求出r的值，即可求得常数项本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题12. 解：由题意阴影部分的面积等于 ，故选：C 确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题13. 解：，且l的方向向量为，平面的法向量为，向量为与平面的法向量垂直则 解得 故答案为： 根据题意可知向量为与平面的法向量垂直，从而向量的数量积为0，建立等式关系，解之即可求出所求本题主要考查了向量语言表述线面的垂直、平行关系，同时考查了空间向量的数量积，属于中档题14. 解：由题意，从5名男
12、公务员和4名女公务员中选出3人，有种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为，只有女公务员的方案为种，利用间接法可得既有男公务员又有女公务员的选法有种，分别派到西部的三个不同地区共有；故答案为：420从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为，只有女公务员的方案为种，最后分别派到西部的三个不同地区，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的综合应用，注意当遇到求出现至多或至少这种语言时，一般要用间接法来解，正难则反15. 解：，当时，故答案为： 时，计算即可本题考查了函数值的求法，属于基础题16. 【分析】由函数的图象可得函数的单调性，根据
13、单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点【解答】解：由图象特征可得，在上大于0，在上小于0，或或，的解集为故答案为17. 利用复数乘法运算法则即可得出；利用复数为实数的充要条件即可得出本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18. 位同学站成一排，全排列即可利用捆绑和插空法排列即可分组两组，计算即可本题考查排列、组合的应用，中注意优先分析特殊元素，运用捆绑法与插空法来分析相邻与不相邻问题，注意分类讨论的应用19. 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的
14、单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为，利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力20. 以以D为原点，建立空间直角坐标系，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量的坐标代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案设出平面的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面
15、的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键21. 直接由已知结合数列递推式计算、的值，并猜想的表达式；由数列递推式得到，然后构造等比数列，由等比数列的通项公式得答案本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了归纳猜想思想方法，是中档题22. 由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于a的方程，求出a值；由可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数的单调减区间；若的图象与x轴有且只有3个交点，则函数的极大值与极小值异号，进而构造关于b的不等式，解不等式可得答案本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件确定a值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键- 14 -