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1、皖东县中联盟2018-2019学年第二学期高一期末考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下列式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求解出集合和集合，根据交集定义得到结果.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知向量，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得，解得， 选D3.已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列通项公式和为正项数
2、列可求得和，代入等比数列前项和公式求得结果.【详解】设等比数列的公比为， 为正项数列 本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，涉及到等比数列通项公式、前项和公式的应用，属于基础题.4.以为半径两端点的圆的方程是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用两点间距离公式求得半径，分别在和为圆心的情况下写出圆的方程.【详解】由题意得：半径若为圆心，则所求圆的方程为：若为圆心，则所求圆的方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查圆的方程的求解，易错点是忽略两点可分别作为圆心，从而造成丢根，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截去一个角所得，故体积为.6.若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，将直线平移，可知当过时，取最大值，代入可求得结果.【详解】由约束条件，做出可行域如下图所示：由得：将化为由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时有最大值本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值的求解问题，属于常考题型.7.已知数列的前项和为，且满足，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由递推关系可证得数列为
4、等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【详解】由得：数列为等差数列，设其公差为， ，解得：，本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.8.已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式为 由为奇函数可得，故，又，所以的最小值为选B9.若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（ ）A. 2B. C. D
5、. 【答案】A【解析】【分析】由已知中圆的方程x2+y2+2x4y+1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+1=0所截得的弦长为4，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案【详解】圆x2+y2+2x4y+1=0是以（1，2）为圆心，以2为半径的圆，又直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+1=0所截得的弦长为4，直线过圆心，a+2b=2，=（）（a+2b）=（4+）（4+4）=4，当且仅当a=2b时等号成立.k=2故选：A【点睛】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根
6、据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键10.设，若仅有一个常数，使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先将函数变形为是减函数，xa，a3时，问题转化为再由c的唯一性得到c值，进而得到参数a的值.【详解】方程axayc,变形为是减函数，当xa，a3时，因为对于任意的xa，a3，都有y1loga2a3，2a满足axayc，故得到因为c的唯一性故得到进而得到a=2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了指对运算，考查了函数的值域的求法，以及方程的思想，综合性比较强.11.如图，在正方体，点在线段上运动
7、，则下列判断正确的是（ ）平面平面平面异面直线与所成角的取值范围是三棱锥的体积不变A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接DB1，容易证明DB1面ACD1 ，从而可以证明面面垂直；连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1面ACD1，从而由线面平行的定义可得；分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；=，C到面 AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；【详解】对于，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1面ACD1 ，DB1平面PB1D，从而可以证明平面PB1D平面ACD1，正确连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P
8、平面ACD1，正确当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，错误；=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变三棱锥AD1PC的体积不变，正确；正确的命题为故选：B【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题12.设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面
9、积公式即可求得三角形面积.【详解】的三个内角成等差数列，则，解得，所以，所以，整理得，则或，因，解得或.当时，；当 时，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在梯形中，设，则_（用向量表示）【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算中的加法和减法及数乘运算将用依次来表示出来，最终都转化为的形式得到结果.【详解】由知：为中点本题正确结果：【点睛】本题考查
10、向量线性运算，考查利用已知向量表示未知向量的问题，涉及到线性运算中的加法、减法和数乘运算的形式，属于常考题型.14.函数的部分图象如图所示，若，且，则_.【答案】-1【解析】【分析】由函数图像可知函数周期是4即可得的值，由解得，再由求解得A的值，由此可得函数解析式,即可求得.【详解】由的部分图象，得周期，所以 ，又，所以，又，所以，又，所以，解得，所以，所以 .【点睛】本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，属于中档题；解题中需要能够准确读出图像所蕴含的信息和准确对三角函数进行运算.15.已知在数列中，且，若，则数列的前项和为_【答案】【解析】【分析】根据递推关系式可证得数列为等差数列，利用等
11、差数列通项公式求得，得到，进而求得；利用裂项相消法求得结果.【详解】由得：数列是首项为，公差为的等差数列，即： 设前项和为 本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型.16.在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_【答案】【解析】【分析】根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得
12、到结果.【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为则球的半径: 正四棱柱的侧面积：球的表面积：当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.三、解答题 ：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数平方和商数关系求得；利用两角和差正切公式求得结果；（2）利用二倍角公式化简所求式子，分子分母同时
13、除以可将所求式子转化为关于的式子，代入求得结果.【详解】（1）， （2）【点睛】本题考查利用同角三角函数、两角和差正切公式、二倍角的正余弦公式化简求值问题，关键是能够利用求解关于正余弦的齐次式的方式，将问题转化为与有关的式子的求解.18.如图，在等腰梯形中，四边形为平行四边形，平面，点为线段中点.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用余弦定理可求得，根据勾股定理知；利用线面垂直性质可知；根据线面垂直判定定理证得结论；（2）根据平行关系可确定点到平面的距离为；根据三棱锥体积公式求得；利用体积桥的方式可求得所求距离.详解】（1）证
14、明：设，则在梯形中， 平面，平面 ，平面，平面平面（2）由（1）知：四边形为平行四边形 点到平面的距离为：平面，平面 又设点到平面的距离为则【点睛】本题考查线面垂直关系的证明、点到平面的距离的求解，涉及到线面垂直判定和性质定理的应用、勾股定理和余弦定理的应用等知识；求解点到平面距离常用方法为体积桥，将问题转化为三棱锥高的求解，通过体积来构造方程求得结果.19.某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.（1）用含的表达式表示池壁面积；（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？【答案】（1）；（2）当
15、米时，最低造价是元.【解析】【分析】（1）求出池底面积和池底长方形的宽，从而可利用表示出；（2）利用表示出总造价，利用基本不等式可求得最低造价和此时的取值.【详解】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米（2）设总造价为元，则：化简得：因为，当且仅当，即时取等号即当米时，最低造价元【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值求解问题，关键是能够构造出合适的函数模型，结合基本不等式求得结果.20.已知圆与直线相切（1）若直线与圆交于两点，求（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值【答案】（1）4；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，结合点到直线距离公
16、式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设，则，利用两点间距离公式表示出，化简可得结果.【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离：圆与直线相切 圆方程为：圆心到直线的距离：，（2）证明：设，则即为定值【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，求的值.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式降
17、幂化一，可求周期和单调区间.（2）由求出C的值，结合正余弦定理求得a，b的值【详解】（1），周期为.因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为.（2）因为，又，所以，所以，又因为，由正弦定理可得，由可得.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asin+bcos型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题22.已知数列中，（1）证明：数列是等比数列；（2）假设数列的前项和为，当时，求.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，利用求得；将利用数列的递推公式进行整理，化简可得，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可求得，根据递推公式得到，采用分组求和的方式，结合等差和等比数列求和公式求得结果.【详解】（1）证明：设，则 数列是首项为，公比为的等比数列，故数列是等比数列（2）当时， 【点睛】本题考查等比数列的证明、分组求和法求解数列的和，涉及到递推关系式的应用、等比数列定义、等差和等比数列前项和公式的应用等，考查学生对于数列部分知识的综合应用能力.- 19 -