七年级数学下册第九章三角形9.2三角形的内角和外角三角形三心共线的证明素材新版冀教版.doc

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1、三角形三心共线的证明题 求证:任意三角形的垂心H,重心G和外心O三点共线这道题乍一看较为棘手,一般的学生不知如何下手,若把命题改为“ABC内接于圆O,H为垂心求证H到该三角形任意顶点的距离等于O到这个顶点所对的边距离的两倍”证起来就轻松多了下面先简单证明这个命题证明:如图1(仅以锐角三角形为例),O是ABC的外心,H是垂心,OMBC于M,即证AH=2OM,连BO且延长交圆O于D,则DC=2OM BD是直径即 AH=2OM这就为我们证明前者奠定了基础,于是就有三角形三心共线的第一种证法证法1 在图2中,H、O分别为ABC的垂心和外心,中线AM交HO于G, AHOM,且AH=2OM AG=2GM,

2、即G就是重心G,故H、G、O三心共线证法2 如图3,作OMBC,OFAB,垂足分别为M、F,则M是BC的中点,F是AB的中点, FMAC,且AC=2FM OF、CE均垂直于AB,且FMAC 1=2,同理3=4,从而有OMFHAC AC2FM, AH=2MO AM与OH的交点必为重心G,故H、G、O三心共线证法3 在图4中,ABC的两条高AD.BE相交于H(垂心),边AC和边CB上的中垂线ON、OM相交于O(外心),M、N分别在CB.AC上,则AM与ON于X,AD交ON于Q,连OG和HG,可证XOGYHG NXGBYGOXG=HYG(两线平行,内错角相等)由、知XOGYHG得OGX=HGY,可得H、G、O三点在一条直线即任意三角形的垂心、重心、外心共线在上述三种证法中,证法1和证法2的思路清晰、敏捷;证法3是融代数、几何于一体,可培养我们综合运用能力2

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