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1、广东省惠州市2020届高三数学第二次调研考试试题 文（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解出集合所含的元素，再由集合
2、的交集运算的定义求解。【详解】，又 即，故选：C.【点睛】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解答本题的关键，属于基础题。2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念解答。【详解】，即的共轭复数为，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题。3.若，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可得，再根据平方关系计算出，之后利用二倍角的正弦公式即可得到答案。【详解】由题意，根据诱导公式得，又
3、因为且，所以，根据可得，所以，故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式，属于基础题。4.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、
4、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为故选D【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举
5、法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.5.某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本。若样本数据，的方差为8，则数据，的方差为（ ）A. 8B. 15C. 16D. 32【答案】D【解析】分析】利用方差的性质，若的方差为，则的方差为，直接求解【详解】样本数据，的方差为8，所以数据，的方差为，故选：D.【点睛】本题考查方差的性质应用，若的方差为，则的方差为，属于基础题。6.以下三个命题：“”是“”的充分不必要条件；若为假命题
6、，则，均为假命题；对于命题：，使得；则是：，均有.其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】不等式，解得或，所以，“”是“”的充分不必要条件.正确；若为假命题，则，至少有一个为假，故错误；命题：使得的否定为，均有.正确，故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题。7.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与
7、内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为，故选A.8.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2,O为坐标原点，若，且双曲线C1,C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是 （ ）A. 32B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长【详解】双曲线的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条
8、渐近线方程为y=x，可得|F2M|=b，即有|OM|=a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题9.已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）A. B. 上单调递增C. 由的图象向左平移个单位可得到的图象D. 由的图象向左平移个单位可得到的图象【答案】D【解析】【分析】由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项A错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选项B错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项C错误和选项D正
9、确.【详解】由题意可得：，据此可得：，令k=0可得：，选项A错误；函数的解析式为：，若，则，函数不具有单调性；由的图象向左平移个单位可得到的函数图象，选项C错误；由的图象向左平移个单位可得到的图象，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键，属基础题.10.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，则的定义域为.，当，单增，当，单减，则.则在上单增，
10、上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.11.已知数列的各项均为正数，若数列的前项和为5，则（ ）A. 119B. 121C. 120D. 122【答案】C【解析】依题意有，即数列是以首项，公差为的等差数列，故.，前项和，所以.点睛：本题主要考查递推数列求数列通项公式，考查裂项求和法.首先根据题目所给方程，原方程是分式的形式，先转化为整式，得到两个平方的差为常数的递推数列，根据这个递推数列可以得到数列是以首项，公差为的等差数列，即求出的通项公式，进而求得的通项公式，接着利用裂项求和法求得前项和，最后列方程解出的值.1
11、2.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析： 由得椭圆的短轴长为，可得，可得，从而可得结果.详解：由得椭圆的短轴长为，解得，设，则，即， ，故选D.点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2
12、分。13.已知向量，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算进行求解。【详解】由题意且，得.故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示若、，则，属于基础题。14.设函数，则_.【答案】0【解析】【分析】直接利用分段函数，由内及外求解函数值。【详解】，.所以故答案为：【点睛】本题考查求分段函数的函数值，判断出自变量所属的段，将自变量的值代入相对应的解析式中求出函数值。15.的内角的对边分别为，已知，则的大小为_【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，又因为，所以，故答案为16.已知底面边长为的正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，则球与球的半径之比为_
13、，表面积之比为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意球为正三棱柱的外接球，球为正三棱柱的内切球，正三棱柱的外接球和内切球的球心为同一点，在上下底面中心的连线的中点上，外接球的半径为球心到各顶点的距离，内切球的半径为球心到各面的距离， 即可求出球与球的半径的关系。【详解】设球，球的半径分别为，由于正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，所以球心在上下底面中心的连线的中点上，如图，在中，由于所以：，则球与球的半径比为，所以球与球的表面积之比等于，所以答案应填：，.【点睛】正三棱柱的外接球和内切球的球心为同一点，在上下底面中心的连线的中点上，外接球的半径为球心到各顶点的距离，内切球的半
14、径为球心到各面的距离，找出两球半径和三棱柱的底边的关系再代入球的表面积计算公式即可。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.记为等差数列的前项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，证明.【答案】(1) ，. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用已知条件构造关于和的方程组，即可求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.【详解】（1）设等差数列公差为，依题意，解得，由，.（2），且因
15、为，所以，得证。【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题。18.为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同.现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于分)和“很满意”(分数不低于分)三个级别. (1)求茎叶图中数据的平均数和的值;(2)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取人，求至少有人是“很满
16、意”的概率.【答案】（1）平均数；（2）【解析】【详解】(1)由题意，根据图中个数据的中位数为，由平均数与中位数相同，得平均数为，所以，解得；(2)依题意，人中，“基本满意”有人，“满意”有人，“很满意”有人.“满意”和“很满意”的人共有人.分别记“满意”的人为，“很满意”的人为，.从中随机抽取人的一切可能结果所组成的基本事件共个：，.用事件表示“人中至少有人是很满意”这一件事，则事件由个基本事件组成：，共有22个.故事件的概率为【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟记茎叶图的中的平均数和中位数的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重
17、考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知，.（1）求证：平面平面； （2）设几何体、的体积分别为、，求.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得到平面，再利用线面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直的判定定理即可得到证明;（2）利用棱锥体积公式计算求比值即可.【详解】（1）如图,矩形中，平面平面，平面平面，平面，平面，.又为圆直径，、平面，平面，平面，平面平面.另解：也可证明平面. （2）几何体是四棱锥、是三棱锥，过点作，交于.平面平面，平面.则，【点睛】本
18、题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥体积公式的应用，属基础题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆的两个交点记为、，其中点在第一象限，点、是椭圆上位于直线两侧的动点.当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)为定值，定值.【解析】【分析】（1）由题意可求出抛物线的焦点坐标，即为的值，再根据离心率等于，及、的关系即可求出。（2）由题意，即直线与直线斜率存在且斜率之和为0，可设的斜率为，表示出直线与直线的方程，分别联立直线方程与椭圆方程
19、，即可用含的式子表示，两点的坐标特征，即可求出直线的斜率。【详解】（1）因为抛物线焦点为，所以，又，所以.所以椭圆的方程为.（2）由题意，当时，知与斜率存在且斜率之和为0.设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，直线与椭圆的两个交点、，设的方程为，联立，消得，由已知知恒成立，所以，同理可得所以，所以.所以的斜率为定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题，根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键。21.已知函数，在处的切线方程为.（1）求，；（2）若，证明：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于 的方程组，解出即可；（2）
20、由（1）可知， ，由，可得，令， 利用导数研究其单调性可得，从而证明.试题解析：（1）由题意，所以，又，所以， 若，则，与矛盾，故，.（2）由（1）可知， ，由，可得，令， ，令当时，单调递减，且；当时，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故，故.【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数).以原
21、点为极点，轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I）求圆的普通方程及其极坐标方程；（II）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.【答案】（I）普通方程为：，极坐标方程为：. （II）【解析】【分析】（I）利用消去参数，求得圆的普通方程，将代入，可求得对应的极坐标方程.（II）分别将代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减，可求得的长.【详解】（I）圆的参数方程为 (为参数)消去参数得普通方程为： 又 化简得圆的极坐标方程为：. （II）射线与圆的交点为 把代入圆的极坐标方程可得： 又射线与直线的交点为Q把代入直线极坐标方程可得： 线段PQ的长【点
22、睛】本小题主要考查极坐标、直角坐标和参数方程相互转化，考查利用极坐标的几何意义来解问题的方法，属于基础题.23.已知关于x的不等式|xm|+2x0的解集为（，2，其中m0（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足a+b+cm，求证：2【答案】（1）m2（2）见解析【解析】【分析】（1）解不等式，得出答案。（2）直接使用均值不等式即可证明之。【详解】（1）由f（x）0得|xm|+2x0，即或，化简得：或由于m0，所以不等式组的解集为（，m）由题设可得m2，故m2（2）由（1）可知，a+b+c2，又由均值不等式有：a2b，b2c，c2a，三式相加可得：c2b+2c+2a，所以a+b+c2【点睛】本题考查解不等式与利用均值不等式证明。- 20 -