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1、【高考领航】2014高考数学总复习 10-6 几何概型练习 苏教版【A组】一、填空题1(2011高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于_解析：由题意知，可设事件A为“点Q落在ABE内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD内所有点，事件A为ABE内的所有点，又因为E是CD的中点，所以SABEADAB，S矩形ABCDADAB，所以P(A).答案：2(2012高考湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_解析：如图，令扇形OAB半径为
2、2，过M作MDOA，MEBD则E、D分别为中点，且OEMD为边长为1的正方形S111S21P1.答案：13(2013南通质检)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为_解析：如图，以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内的面积为，故P.答案：4(2013南京模拟)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是_解析：设三棱锥PABC的高为h，VPABCVSABC，SABChSABC3，h，即点P位于中截面以下，故所求概率为P1.答案：5(2011高考湖南卷)已知圆C：x2y212，直线l：4x3y2
3、5.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_解析：(1)圆心坐标为(0，0)，圆心到直线4x3y25的距离d5.(2)如图，设与直线4x3y25距离为2且与该直线平行的直线与圆交于P、Q两点由(1)知，点O到直线PQ的距离为3，因为圆的半径为2，故可得OPQ60.若点A到直线l的距离小于2，则点A只能在弧PQ上，故所求概率P.答案：(1)5(2)6(2011高考江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率
4、为_解析：设A小波周末去看电影，B小波周末去打篮球，C水波周末在家看书，D小波周末不在家看书，如图所示，则P(D)1.答案：7如图所示，在半径为R的圆内随机散一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是_解析：S圆R2，S3R2sin 120R2，P.答案：二、解答题8某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率解：假设他在0分钟到60分钟之间任一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打
5、开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率计算公式得到事件发生的概率设A等待的时间不多于10分钟，我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50，60时间段内，因此由几何概型的求解概率的公式得P(A)，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为.9在长度为a的线段上任取两点将线段分为三段，求这三条线段能构成三角形的概率解：设长度为a的线段分成三段长分别为x，y，a(xy)，则基本事件空间为(x，y)|0xa，0ya，0xya，由于x，y，a(xy)能构成三角形，故动点M(x，y)所在区域必须满足化简整理得该几何区域是平面直
6、角坐标系中如图所示阴影部分(一个两直角边长为的等腰直角三角形围成的图形)，故所求概率为P.【B组】一、填空题1(2013苏州模拟)在区间0，1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为_解析：要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2b0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P.答案：2已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)_解析：作出如图所示的可行域，易得区域的面积为101050，区域A(阴影部分)的面积为55.故该点落在区域A的概率P(A).答案：3(20
7、13南京六校联考)扇形AOB的半径为1，圆心角为90.点C，D，E将弧AB等分成四份连结OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是_解析：依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于.答案：4(2013北京海淀二模)在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大于等于的概率是_解析：主要考查几何概型的概率计算如图，由题知AB1，分别取AD与BC的中点E、F，则EF綊AB，要使SABP，只需P在矩形
8、CDEF中，所求概率为.答案：5一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是_解析：由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率是为.答案：6有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析：先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半
9、径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.答案：7(2013无锡模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为_解析：面积为36 cm2时，边长AM6，面积为81 cm2时，边长AM9，P.答案：二、解答题8(2013南京模拟)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2，0，Q0，1，2，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0，3，y0，4，求点M
10、落在不等式组；所表示的平面区域内的概率解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A，组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i，0，i，2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型其中事件A包含的基本事件共2个：i，2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线 x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3，0)、D，三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.9如图所示，在单位圆O的某一直径AB上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解：弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上，是随机的，事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.所求弦长不超过1的概率为1.7