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1、解答题分层综合练(一)中档解答题规范练(1)(建议用时：60分钟)1(2015淄博统考)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18，15，9，15.假设每个入口发生拥堵现象相互独立，视频率为概率(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；(2)设表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列及数学期望2在ABC中，已知C，向量m(sin A，1)，n(1，cos B)，且mn.(1)求A的值；(2)若点D在边BC上，且3，AD，求ABC的面积3(20
2、15烟台统考)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100频数5182826176(1)求抽取的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2 000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(，2)(其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2 000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：12.7，若zN(，2)，则P(z)0.682 6，P(2z2)0.95
3、4 4，结果取整数部分)(3)已知样本中成绩在90，100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望E()4已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.5(2015日照模拟)图1中四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如图2所示，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM？请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45，求直线AD与平面ABE所成角的正
4、弦值6某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30方向且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行的速度应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解答题分层综合练解答题分层综合练(一)中档解答题规范练(1
5、)1解：(1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D.则P(A)，P(B)，P(C)，P(D).设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则MABCDABCDABCDABCD.则P(M).(2)的可能取值为0，1，2，3，4.则P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列为：01234PE()01234.2解：(1)由题意知mnsin Acos B0，又C，ABC，所以sin Acos0，即sin Acos Asin A0，即sin0，又0A，所以A，所以A0，即A.(2)设|x，由3，得|3x，由(1)知AC，所以|3x，B，在ABD中，由余弦定理，得()2(3
6、x)2x223xxcos ，解得x1，所以ABBC3，所以SABCBABCsin B33sin .3解：(1)样本平均数和样本方差s2分别为450.05550.18650.28750.26850.17950.0670，s2(25)20.05(15)20.18(5)20.28520.261520.172520.06161.(2)由(1)知，zN(70，161)，从而P(z82.7)0.158 7，所以能进入复试的人数为2 0000.158 7317.(3)显然的取值为1，2，3，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列为 123P所以E()1232.4解：(1)由a12，an12an，得an2
7、n(nN*)由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn.整理得，所以bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)5解：(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，总有BFCM.取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO平面BCDE，取DE的中点H，连接OH，则OHBC.建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，所以F，所以.可设M(x，2x，
8、(1x)，则(x1，2x，(1x)，所以0，所以BFCM.(2)由(1)知D(1，2，0)，E(1，1，0)，则(2，1，0)设A(0，0，a)(a0)，则(1，2，a)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以令x11，得m.易知平面ABC的法向量为n(0，1，0)，所以cosm，n.因为平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45，所以，解得a(负值已舍去)设平面ABE的法向量为p(x2，y2，z2)，则p0，p0.因为(1，0，)，(0，1，0)，所以令z21，得p(，0，1)，所以cos，p，所以直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.6解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，若小艇的航行距离最小，小艇只能沿正北方向航行，此时S20cos 3010，t，v30，即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v2900400675.由于0t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时(3)由(2)知：v2900，设u(u0)，于是400u2600u900v20.小艇有两种不同的航行方向能与轮船相遇，即方程应有两个不等正根，即解得15v30，所以v的取值范围是(15，30)7