Matlab数学实验报告.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -Matlab数学试验报告第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -一、试验目的通 过 以 下 四 组 实 验 , 熟 悉MATLAB的 编 程 技 巧 , 学 会 运 用MATLAB的一些主要功能、命令，通过建立数学模型解决理论或实 际问题；明白诸如分岔、混沌等概念、学会建立Malthu 模型和 Logistic模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想；二、试验内容2.1 试验题目一2.1.1 试验问题Feigenbaum

2、 曾对超越函数y=sin( )（ 为非负实数）进行了分岔与混沌的讨论，试进行迭代格式xk+1 = sin( xk),做出相应的Feigenbaum图2.1.2 程序设计clear;clf; axis(0,4,0,4);hold onfor r=0:0.3:3.9x=0.1;for i=2:150x(i)=r*sin(3.14*x(i-1);end pause(0.5) for i=101:150第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -plot(r,x(i),k.);endtext(r-0.1,m

3、ax(x(101:150)+0.05,itr=,num2str(r)end加密迭代后clear;clf; axis(0,4,0,4);hold onfor r=0:0.005:3.9 x=0.1;第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -for i=2:150x(i)=r*sin(3.14*x(i-1);end pause(0.1) for i=101:150plot(r,x(i),k.);endend运行后得到Feigenbaum图第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -

4、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2.2 试验题目二2.2.1 试验问题某农夫有一个半径10 米的圆形牛栏，长满了草；他要将一头牛拴在牛栏边界的桩栏上，但只让牛吃到一半草，问拴牛鼻子的绳子应为多长？2.2.2 问题分析如下列图， E 为圆 ABD的圆心， AB 为拴牛的绳子，圆ABD 为草场，区域ABCD 为牛能到达的区域；问题要求区域ABCD 等于圆ABC 的一半，可以设BC 等于 x,只要求出 a 和 b 就能求出所求面积；先运算扇形ABCD的面积， 2a x2=2a 2，再求 AB 的面积，用扇形ABE 的面积减去三角形ABE 的面积即可；第 5

5、 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2.2.3 程序设计f=inline(acos(x/20)*x2+100*pi-200*acos(x/20)-x*sqrt(100-(x2)/4)-50*pi); a=0; b=20;dlt=1.0*10-3; k=1;while abs(b-a)dlt c=(a+b)/2;if f(c)=0break; elseif f(c)*f(b)0a=c;elseb=c;end fprintf(k=%d,x=%.5fn,k,c); k=k+1;end2.2.4 问题求解

6、与结论k=6,x=11.56250 k=7,x=11.71875第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -k=8,x=11.64063 k=9,x=11.60156 k=10,x=11.58203 k=11,x=11.59180 k=12,x=11.58691 k=13,x=11.58936 k=14,x=11.58813 k=15,x=11.58752结果说明，要想牛只吃到一半的草，拴牛的绳子应当为11.6 米；2.3 试验题目三2.3.1 试验问题饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需要 7

7、00g 蛋白质、 30g 矿物质、100mg 维生素；现有 5 种饲料可供选用，每种饲料每千克所含养分成分含量及单价如下表；试确定既能满意动物生长的养分需要，又可使费用最省的选用饲料的方案；饲料蛋白质 (g)矿物质 (g)维生素 (mg)饲料A1310.50.2A220.510.7A310.20.20.4A46220.3A5180.50.80.8五种饲料单位质量（1kg）所含养分成分第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2.3.2 问题分析与模型建立设 X j (j=1,2,3,4,5)表示饲

8、料中所含的第 j 种饲料的数量；由于供应的蛋白质总量必需每天满意最低要求 70g，故应有3X 1+2X2+1X3+6X 4+18X5 700同理，考虑矿物质和维生素的需求；应有1X 1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X5300.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X5100期望调配出来的混合饲料成本最低，故目标函数f 为f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5当来对决策量X j 的要求应为非负；所以该饲料配比问题是一个线性规划模型Min f =0.2X 1+0.7X 2+0.4X3+0.3X 4+0.8X 53X1+2X 2+1X 3+6X4+18X

9、57001X1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X 5300.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X 5100 X j 0,j=1,2,3,4,52.3.3 模型评述一般的食谱问题可表达为： 设有 n 种食物，每种食物中含有 m 种养分成分；用 ija 表示一个单位的第 j 种食物中含有第 i 种养分的数量， 用 ib 表示每人每天对第 i 种养分的最低需求量， jc 表示第j种食品的单价，jx表示所用的第j种食品的数量，一方面满意m第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -种养

10、分成分的需要同时使事物的总成本最低；一般的食谱问题的线性规划模型为这类线性规划模型仍可以描述很多诸如合理下料、最小成本运输、合分派任务等问题，具有很强的代表性；2.3.4 模型运算将 该 问 题 化 成Matlab中 线 性 规 划 问 题 的 标 准 形 式Min f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5-3X 1-2X 2-1X 3-6X 4-18X5 -700-1X 1-0.5X2-0.2X 3-2X 4-0.5X5 -30-0.5X 1-1X-0.2X 3-2X4-0/;.8X 5-100 j 0,j=1,2,3,4,5由 MATLAB软件的编辑器构作m 文件

11、LF 如下：c=0.2,0.7,0.4,0.3,0.8;a=-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8; b=-700,-30,-100;lb=0 0 0 0 0;ub=;第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -aeq=;beq=; x,fval=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)在 MATLAB 命令窗口键入 LF，回车，运算结果显示如下x= 0.00000.00000.000039.743625.6

12、410fval =32.4359其结果显示 x1=0 x2=0 x 3=0 x 4=39.7436 x5=25.6410,就表示该公司分别购买第四种第五种饲料 39.7436(kg), 25.6410（ kg）配成混合饲料；所耗成本 32.4359（元）为满意养分条件下的最低成本；2.3.5 模型摸索：线性规划的本质特点一. 目标函数是决策变量的线性函数二. 约束条件是决策变量的线性等式或不等式，它是一种较为简洁而又特别的约束极值问题；三. 能转化为线性规划问题的实例很多如：生产决策问题，一般性的投资问题，地址的挑选，运输问题等等；第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -

13、 -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2.4 试验题目四2.4.1 试验题目描述1790 年到 1980 年各年美国人口数的统计数据如下表：年份1790180018101820183018401850186018701880统计3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980统计62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5试依据以上数据，(1)分别用 Malthu 模型和 Logistic 模型建

14、立美国人口增长的近似曲线(设美国人口总体容纳量为3.5 亿); (2)猜测 2000 年， 2005 年， 2021 年， 2021 年， 2021 年人口数 ;(3)对两种猜测结果进行比较.2.4.2 问题的分析2.4.2.1 Malthu 模 型1798 年， Malthus 提出对生物繁衍规律的看法；他认为，一种群中个体数量的增长率与该时刻种群的的个体数量成正比；设x(t) 表示该种群在t 时刻个体的数量，就其增长率（dx/dt）=rx(t), 或相对增长率1/x*dx/dt=r. 其中常数r=B-D,B和 D 分别为该种群个体的平均生育率与死亡率；2.4.2.2 Logistic 模型

15、1838 年， Verhulst 指出上述模型未考虑“密度制约”因素；第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -种群生活在肯定的环境中，在资源给定的情形下，个体数目越多，个体所获资源就越少，这将抑制其生长率，增加死亡率；所以相对增长率 1/x*（dx/dt）不应为一常数r,而应是 r 乘上一个“密度制约” 因子；此因子随x单调减小，设其为(1-x/k) ，其中k为环境容纳量；于是Verhulst 提出 Logistic 模型： dx/dt=rx(1-x/k) ；2.4.3 试验设计的流程2.4.

16、3.1 Malthu 模型源代码clear;clf x=10:10:200;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(x+1780,k-,markersize,20);axis(1780,2021,3,800);grid;hold on n=20;a=sum(x(1:n); b=sum(x(1:n).*x(1:n);c=sum(log(y(1:n); d=sum(log(y(1:n).*x(1:n); A=n a;a b

17、;B=c;d;第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P=inv(A)*B; t=10:10:800;f=exp(P(1)+P(2)*t); plot(t+1780,f,ro-,linewidth,2); k=2000 2005 2021 2021 2021; f=exp(P(1)+P(2)*(k-1780);fprintf(f=%.1f,f);2.4.3.2 Logistic模型程序源代码clc;clear; x=9:28;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 3

18、1.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(x*10+1700,y,k.,markersize,15); grid;hold on;axis(1790 20210 400); m=1000*y./(1000-y);a1=sum(x); a2=sum(x.2);a3=sum(log(m);a4=sum(x.*log(m);第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -A=20,a1;a1,a2;

19、B=a3;a4;p=inv(A)*B; t=9:0.1:55;s=1./(0.001+exp(-p(1)-p(2)*t);plot(t*10+1700,s,r-); k=30 30.5 31 31.5 32;l=k*10+1700;1./(0.001+exp(-p(1)-p(2)*k);2.4.4 上机试验结果的分析与结论Malthus 模型结果第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -Logistic 模型结果对比猜测结果与实际数据，可看出Logistic 模型更符合自然规律；三、试验小结与体

20、会通过以上四组数学试验、我们熟识明白了很多MATLAB的方法及理论、并尝试了将其运用到了实际问题中去，解决实际问题； 比如，在试验一中，明白了方程的迭代以及分岔、混沌的概念；试验二中通过简洁的MATLAB程序解决数学问题；试验三中尝试通过线性规划 建立数学模型， 从而解决生产生活中的实际问题，明白了最大最小化问题的求解及其MA TLAB指令；试验四中通过人口猜测问题的分析 求解，明白运用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，把握了建立人口增长数学模型的思想方法，学会建立Malthu 模型和 Logistic 模型；此外，通过这几次数学试验， 就个人而言， 不仅思维得到了锤炼、提升，而且让我们感觉到数学的乐趣；用MATLAB编出的程序不仅第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -算得快，画出的图形、得出的结论也很有意思；就团队而言，这门课程很讲究相互协作、团队合作，不仅让我们更有团队精神，更增进了友情；而且，通过试验不仅仅只是解决了几道题而已，更重要的是学习解决数学问题的思维方式；最终，感谢老师开设这门课程，给了我们更多机会，让我们从中受益匪浅，收成良多；感谢老师的尽心教诲；第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -