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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 届高三数学一轮复习必备精品：第第四四章章平面解析几何初步平面解析几何初步1掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系2会用二元一次不等式表示平面区域3了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用4了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆
2、的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等第第 1 课时课时直线的方程直线的方程1倾斜角:对于一条与 x 轴相交的直线,把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为 0 倾斜角的范围为_斜率:当直线的倾斜角90时，该直线的斜率即 ktan；当直线的倾斜角等于
3、90时，直线的斜率不存在2过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式若 x1x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 903直线方程的五种形式名称方程适用范围知识网络知识网络考纲导读考纲导读高考导航高考导航基础过关基础过关简单的线性规划直线的倾斜角和斜率直线方程的四种形式两条直线的位置关系直线圆的方程圆的一般方程圆的参数方程直线和圆圆的标准方程曲线和方程http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网斜截式点斜式两点式截距式一般式例例 1.已知直线(2m2m3)x(m2m)y4m1 当 m时，直线的倾斜角为 45当 m时，直线在 x 轴上的截
4、距为 1 当 m时，直线在 y 轴上的截距为23 当 m时，直线与 x 轴平行当 m时，直线过原点解：解：(1)1 2 或2131或22341变式训练变式训练 1.（1）直线 3y 3 x2=0 的倾斜角是（）A30B60C120D150（2）设直线的斜率 k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直线上的三点，则 x2，y3依次是（）A3，4B2，3C4，3D4，3（3）直线 l1与 l2关于 x 轴对称，l1的斜率是 7，则 l2的斜率是（）A 7B77C77D 7（4）直线 l 经过两点（1，2），（3，4），则该直线的方程是解解：（1）D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值
5、是33（2）C提示：用斜率计算公式1212yyxx（3）A提示：两直线的斜率互为相反数（4）2y3x1=0提示：用直线方程的两点式或点斜式例例 2.已知三点 A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C 三点在同一条直线上.证明证明 方法一方法一 A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=1313=2,kBC=3435=2，kAB=kBC，A、B、C 三点共线.方法二方法二 A（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，|AB|+|BC|=|AC|，即 A、B、C 三点共线.方法三方法三 A（1，-1），B（3，3），C（4
6、，5），AB=（2，4），BC=（1，2），AB=2BC.又AB与BC有公共点 B，A、B、C 三点共线.变式训练变式训练 2.设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，典型例题典型例题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网求证：a+b+c=0.证明证明 A、B、C 三点共线，kAB=kAC，cacababa3333，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c 互不相等，b-c0，a+b+c=0.例例 3.已知实数 x,y 满足 y=x2
7、-2x+2(-1x1).试求：23xy的最大值与最小值.解解：由23xy的几何意义可知，它表示经过定点 P（-2，-3）与曲线段 AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），34k8，故23xy的最大值为 8，最小值为34.变式训练变式训练 3.若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3，那么xy的最大值为（）A.21B.33C.23D.3答案答案D例例 4.已知定点 P(6,4)与直线 l1:y4x，过点 P 的直线 l 与 l1交于第一象限的 Q 点，与 x 轴正半轴交于点M求使OQM 面积最小的直线 l 的方程解：解：Q
8、 点在 l1:y4x 上，可设 Q(x0，4x0)，则 PQ 的方程为：6644400 xxxy令 y0，得：x1500 xx(x01)，M(1500 xx，0)SOQM211500 xx4x0101020 xx10(x01)110 x240当且仅当 x01110 x即 x02 取等号，Q(2，8)PQ 的方程为：626484xy，xy100变式训练变式训练 4.直线 l 过点 M(2，1)，且分别交 x 轴 y 轴的正半轴于点 A、B，O 为坐标原点(1)当AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程；(2)当MBMA 取最小值时，求直线 l 的方程解：解：设 l：y1k(x2)(k0)则 A(
9、2k1，0)，B(0，12k)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由 S21(12k)(2k1)21(44kk1)21)1()4(24kk4当且仅当4kk1，即 k21时等号成立AOB 的面积最小值为 4此时 l 的方程是 x2y40|MA|MB|224411kk|)1(22kk2)()1(kk4当且仅当kk1即 k1 时等号成立此时 l 的方程为 xy30（本题也可以先设截距式方程求解）1直线方程是表述直线上任意一点 M 的坐标 x 与 y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定
10、2 待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围 如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为 0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）3在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第第 2 课时课时直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系（一）（一）平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：
11、yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行重合相交(垂直)2当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系（二）（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离为_基础过关基础过关小结归纳小结归纳http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2直线 l1l2，且其方程分别为：l1：AxByC10 l2：AxByC20，则 l1与 l2的距离为（三）（三）两条直线的交角公式若直线 l1的斜率为 k1，l2的斜率为 k2，则1直线 l1到 l2的角满足2直线 l1与 l2所成的角(简称夹角)满足（四）（四）两条直线的交点：
12、两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数（五）（五）五种常用的直线系方程.过两直线 l1和 l2交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含 l2).与直线 ykxb 平行的直线系方程为 ykxm(mb).过定点(x0,y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)及 xx0.与 AxByC0 平行的直线系方程设为 AxBym0(mC).与 AxByC0 垂直的直线系方程设为 BxAyC10(AB0).例例 1.已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断 l1与 l2是否平行；（2）l1l2时，求 a 的
13、值.解解（1）方法一方法一当 a=1 时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于 l2;当 a=0 时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于 l2;当 a1 且 a0 时，两直线可化为l1:y=-xa2-3,l2:y=xa11-(a+1),l1l2)1(3112aaa，解得 a=-1,综上可知，a=-1 时，l1l2，否则 l1与 l2不平行.方法二方法二由 A1B2-A2B1=0，得 a（a-1）-12=0，由 A1C2-A2C10，得 a(a2-1)-160,l1l2061)1(021)1(2aaaa6)1(0222aaaaa=-1,故当 a=-1 时，l1l2，
14、否则 l1与 l2不平行.（2）方法一方法一当 a=1 时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与 l2不垂直，故 a=1 不成立.当 a1 时，l1:y=-2ax-3,l2:y=xa11-(a+1),由典型例题典型例题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2aa11=-1a=32.方法二方法二由 A1A2+B1B2=0，得 a+2(a-1)=0a=32.变式训练变式训练 1.若直线 l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当 a、b 满足什么条件时，直线 l1与 l2分别相交？平行？垂直？重合？解：解：当 a=0 时，直线 l1斜率为 0，l2斜率
15、不存在，两直线显然垂直。当 a0 时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l1：y=a4x+5，l2：y=1ax+ba。（1）当a4 1a，即 a2 时，两直线相交。（2）当a4=1a且 5ba时，即 a=2 且 b10 或 a=2 且 b10 时，两直线平行。（3）由于方程(a4)(1a)=1 无解，故仅当 a=0 时，两直线垂直。（4）当a4=1a且 5=ba时，即 a=2 且 b=10 或 a=2 且 b=10 时，两直线重合例例 2.已知直线 l 经过两条直线 l1：x2y0 与 l2：3x4y100 的交点，且与直线 l3：5x2y30的夹角为4，求直线 l 的方程解解：由0104302
16、yxyx解得 l1和 l2的交点坐标为(2，1)，因为直线 l3的斜率为 k325，l 与 l3的夹角为4，所以直线 l 的斜率存在.设所求直线 l 的方程为 y1k(x2)则 tan4331kkkkkk251251k73或 k37，故所求直线 l 的方程为 y137(x2)或 y173(x2)即 7x3y110 或 3x7y130变式训练变式训练 2.某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80（米），塔所在的山高 OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线 l，且点 P 在直线 l 上，l 与水平地面的夹角为,tan=21.试问，此人距水平
17、地面多高时，观看塔的视角BPC 最大（不计此人的身高）？解解 如图所示，建立平面直角坐标系，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网则 A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线 l 的方程为 y=(x-200)tan,则 y=2200 x.设点 P 的坐标为（x,y），则 P（x,2200 x）(x200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=xxxx28003002200,kPB=xxxx26402202200.由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得tanBPC=xxxxxkkkkPCPBPCPB26402800121601=288640160646
18、4016028864xxxxx(x200).要使 tanBPC 达到最大，只需 x+x640160-288 达到最小，由均值不等式x+x640160-2882640160-288,当且仅当 x=x640160时上式取得等号.故当 x=320 时，tanBPC 最大.这时，点 P 的纵坐标 y 为 y=2200320=60.由此实际问题知 0BPC2,所以 tanBPC 最大时，BPC 最大.故当此人距水平地面 60 米高时，观看铁塔的视角BPC 最大.例例 3.直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A(4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断ABC 的形
19、状解解：因为直线 y2x 是ABC 中C 的平分线，所以 CA、CB 所在直线关于 y2x 对称，而 A(4,2)关于直线 y2x 对称点 A1必在 CB 边所在直线上设 A1(x1，y1)则2422212)4(21111xyxy得2411yx即 A1(4,2)由 A1(4,2)，B(3,1)求得 CB 边所在直线的方程为：3xy100http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网又由01032yxxy解得 C(2,4)又可求得：kBC3，kAC31kBCkAC1，即ABC 是直角三角形变式训练变式训练 3.三条直线 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+
20、y+1=0 能构成三角形，求实数 a 的取值范围。解解：aR 且 a1，a-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若 l1、l2、l3相交于同一点，则 l1与 l2的交点（-a-1，1）在直线 l3上，于是 a(-a-1)+1+1=0，此时 a=1或 a=-2。（2）若 l1l2，则-1=-1a，a=1。（3）若 l1l3，则-1=-a，a=1。（4）若 l2l3，则-1a=-a，a=1。）例例 4.设点 A(3，5)和 B(2，15)，在直线 l：3x4y40 上找一点 p，使PBPA 为最小，并求出这个最小值解：解：设点 A
21、 关于直线 l 的对称点 A的坐标为(a，b)，则由 AAl 和 AA被 l 平分，则0425423314335baab解之得 a3，b3，A(3，3)(|PA|PB|)min|AB|513kAB3231518AB 的方程为 y318(x3)解方程组)3(1830443xyyx得 P(38，3)变式训练变式训练 4：已知过点 A（1，1）且斜率为m(m0)的直线 l 与 x、y 轴分别交于 P、Q 两点，过 P、Q 作直线 2xy0 的垂线，垂足分别为 R、S，求四边形 PRSQ 的面积的最小值解：解：设 l 的方程为 y1m(x1)，则 P（1m1，0），Q（0，1m）从则直线 PR：x2y
22、mm10；直线 QS：x2y2(m1)0又 PRQS|RS|5|1122|mm5123mm又|PR|522m，|QS|51m而四边形 PRSQ 为直角梯形，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网 SPRSQ21(51522mm)5123mm51(mm149)280151(249)28013.6 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3.61处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为 O 与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决3利用直线系方程可少走
23、弯路，使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例 4第第 3 课时课时线性规划线性规划1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面)包括边界线 对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x、y)使得 AxByC 的值符号相同因此，如果直线 AxByC0 一侧的点使 AxByC0
24、，另一侧的点就使 AxByC0(或 AxByC0)所表示的平面区域时，只要在直线 AxByC0 的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划 基本概念名称意义线性约束条件由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对 x、y 的约束条件目标函数关于 x、y 的解析式如：z2xy，zx2y2等线性目标函数关于 x、y 的一次解析式可行解满足线性约束条件 x、y 的解（x，y）
25、叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件(即不等式组)；建立目标函数；作出可行域和目标函数的等值线；运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解（有些实际问题应注意其整解性）例例 1.若ABC 的三个顶点为 A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC 区域（含边界）表示的二元典型例题典型例题基础过关基础过关小结归纳小结归纳http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网一次不等式组解：解：
26、由两点式得 AB、BC、CA 直线的方程并化简得 AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50结合区域图易得不等式组为05202012yxyxyx变式训练变式训练 1：ABC 的三个顶点为 A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为010440832yxyxyx例例 2.已知 x、y 满足约束条件0104011702357yxyxyx分别求：z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？解：解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中 A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)(1)作与直线 2xy0 平行的直线 l
27、1：2xyt，则当 l1经过点 A 时，t 取最大，l1经过点 B 时，t 取最小zmax9zmin13(2)作与直线 4x3y0 平行的直线 l2：4x3yt，则当 l2过点 C 时，t 最小，l2过点 B 时，t 最大zmax14zmin18(3)由 zx2y2，则z表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域知点 B 到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为 0zmax37zmin0变式训练变式训练 2：给出平面区域如下图所示，目标函数 taxy，(1)若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数 t 取得最小值，求此时 a 的值(2)若当且仅当 x32，y54时，目标
28、函数 t 取得最小值，求实数 a 的取值范围？解：解：(1)由 taxy 得 yaxt要使 t 取得最小时的(x，y)有无穷多个，则 yaxt 与 AC 重合akAC132054512(2)由 KAC a KBC得512 a0)，圆心为，半径 r3二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的方程的充要条件是4圆 C：(xa)2(yb)2r2的参数方程为_x2y2r2的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，则经过两圆公共点的圆系方程为例例 1.根据下列条件，求圆的方程(1)经过 A(6，5)，B(0，1)两点，并且
29、圆心在直线 3x10y90 上(2)经过 P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长为 6解：解：(1)AB 的中垂线方程为 3x2y150由0910301523yxyx解得37yx圆心为 C(7，3)，半径 r65典型例题典型例题基础过关基础过关小结归纳小结归纳http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网故所求圆的方程为(x7)2(y3)265(2)设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0将 P、Q 两点坐标代入得FEDFED1032042令 y0 得 x2DxF0由弦长|x1x2|6 得 D24F36解可得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0故所求圆的
30、方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0变式训练变式训练 1：求过点 A（2，3），B（2，5），且圆心在直线 x2y3=0 上的圆的方程由 A（2，3），B（2，5），得直线 AB 的斜率为 kAB=5(3)22=12,线段 AB 的中点为（0，4），线段 AB 的中垂线方程为 y4=2x,即 y2x 4=0,解方程组240230 xyxy得12xy 圆心为（1，2），根据两点间的距离公式，得半径 r=(2+1)2(32)2=10所求圆的方程为（x1)2(y2)2=10例例 2.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OPOQ（O
31、为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解解 方法一方法一将 x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0.设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=.512mOPOQ,x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为321，,半径 r=25.方法二方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M，O1MPQ，21MOk.O1M 的方程为:y-3=221x,即：y=2x+4.由方程组.03242yxxy解得 M 的坐标为（-1，2
32、）.则以 PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点 O 在以 PQ 为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2.在 RtO1MQ 中，O1Q2=O1M2+MQ2.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2121(3-2)2+5=44)6(12mm=3.半径为25,圆心为3,21.方法三方法三 设过 P、Q 的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由 OPOQ 知，点 O（0，0）在圆上.m-3=0，即 m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即 x2+(1+)x+y2
33、+2(-3)y=0.圆心 M2)3(221，又圆在 PQ 上.-21+2（3-）-3=0，=1，m=3.圆心为3,21，半径为25.变式训练变式训练 2：已知圆 C：（x-1）2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明证明 直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论 m 取什么实数，它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-
34、2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论 m 为何实数，直线 l 与圆恒相交.（2）解解 从（1）的结论和直线 l 过定点 M（3，1）且与过此点的圆 C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=222CMr=.54）21（）13（25222此时，kt=-CMk1,从而 kt=-31121=2.l 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y=5.例例 3.知点 P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点.（1）求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值；（2）求 x-2y 的最大值和最小值；（3）求12xy的最大值和最小值.解解（1）
35、圆心 C（-2，0）到直线 3x+4y+12=0 的距离为d=56431204)2(322.P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网d+r=56+1=511，最小值为 d-r=56-1=51.（2）设 t=x-2y,则直线 x-2y-t=0 与圆（x+2）2+y2=1 有公共点.22212t1.-5-2t5-2，tmax=5-2，tmin=-2-5.（3）设 k=12xy，则直线 kx-y-k+2=0 与圆（x+2）2+y2=1 有公共点，1232kk1.433k433,kmax=433，kmin=433.变式训练变式
36、训练 3：已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.（1）求 y-x 的最大值和最小值；（2）求 x2+y2的最大值和最小值.解解（1）y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时,3202b，解得 b=-26.所以 y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22）00（）02（=2，所以 x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2
37、=7-43.例例 4.设圆满足：截 y 轴所得的弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线 l：x2y=0 的距离最小的圆的方程。解法一解法一设圆的圆心为 P（a,b),半径为 r，则点 P 到 x 轴 y 轴的距离分别为b、a。由题设条件知圆 P 截 x 轴所得的劣弧所对的圆心角为 90，圆 P 截 x 轴所得的弦长为2 r，故 r2=2b2又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，所以有 r2=a21,从而得 2b2=a21点 P 到直线 x2y=0 的距离为 d=25ab,5d2=(a2b)2=a24b24ab=2a22b24ab1=2(ab)2
38、11当且仅当 a=b 时取等号，此时，5d2=1,d 取得最小值由 a=b 及 2b2=a21 得1111aabb 或，进而得 r2=2http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2 或（x1)2(y1)2=2解法二解法二同解法一，得 d=25ab，所以 a2b=5 da2=4b24 5 bd5d2,将 a2=2b21 代入整理得 2b24 5 bd5d21=0（）把（）看成关于 b 的二次方程，由于方程有实数根，故0 即8（5d21)0,5d21 可见 5d2有最小值 1，从而 d 有最小值55，将其代入（）式得 2b24b2=0,b=
39、1,r2=2b2=2,a2=2b21=1,a=1由a2b=1 知 a、b 同号故所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2 或（x1)2(y1)2=2变式训练变式训练 4：如图，图 O1和圆 O2的半径都等于 1，O1O24，过动点 P 分别作圆 O1和圆 O2的切线 PM、PN(M、N 为切点)，使得 PM2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程O1O2NMP解：解：以 O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(2,0)、O2(2,0)如图：由 PM2PN 得 PM22PN2 PO1212(PO221)，设 P(x，y)(x2)2y212(
40、x2)2y21即(x6)2y233 为所求点 P 的轨迹方程1本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程2求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程3求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算4运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便5点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.第第 6 课时课时直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置
41、关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l 的距离为 d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切dr0基础过关基础过关O1O2NMPOxy22小结归纳小结归纳http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网相交相离2圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r(Rr)，圆心距为 d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d Rr外切相交内切内含3.圆的切线方程 圆 x2y2r2上一点 p(x0,y0)处的切线方程为 l:.圆(xa)2(yb)2r2上一点 p(x0,y0)处的切线方程为 l:.圆 x2y2DxEyF0 上一点 p(x0,y0)
42、处的切线方程为.例例 1.过：x2y22 外一点 P(4，2)向圆引切线 求过点 P 的圆的切线方程 若切点为 P1、P2求过切点 P1、P2的直线方程解：解：(1)设过点 P(4，2)的切线方程为 y2k(x4)即 kxy+24k0则 d2142kk2142kk2解得 k1 或 k71切线方程为：xy20 或 x7y100(2)设切点1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成 l1:x1xy1y2，l2：x2xy2y因为点(4，2)在 l1和 l2上则有 4 x12y124x22y22这表明两点都在直线 4x2y2 上，由于两点只能确定一条直线，故直线 2 xy10 即为所求
43、变式训练变式训练 1：（1）已知点 P(1，2)和圆 C：02222kykxyx，过 P 作 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是()A.kR.k332.2 303kD.2 32 333k（2）设集合A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),当AB=B时，r的取值范围是（）A（0，2 1）B（0，1C（0，2 2 D（0，2（3）若实数 x、y 满足等式(x-2)，那么xy的最大值为()A.21.33.23.3典型例题典型例题P2P1P(4，2)xyOhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（4）过点 M)23,3(且被圆2522
44、yx截得弦长为 8 的直线的方程为（5）圆心在直线 x-y-4=0 上，且经过两圆03422xyx和03422yyx的交点的圆的方程是.解解：（1）D提示：P 在圆外（2）C提示：两圆内切或内含（3）D提示：从纯代数角度看，设 t=xy,则 y=tx，代入已知的二元二次方程，用0，可解得 t 的范围。从数形结合角度看，xy是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界（4）0301543xyx或提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率（5）032622yxyx.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得例例 2.求经过点 A(4，1)，且与圆
45、：x2y22x6y50 相切于点 B(1，2)的圆的方程解解：圆 C 的方程可化为(x1)2(y3)25圆心 C(1，3)，直线 BC 的方程为：x2y50又线段 AB 的中点 D(25，21)，kAB1线段 AB 的垂直平分线方程为：y21x25即 xy20联立解得 x3，y1所求圆的圆心为 E(3，1)，半径|BE|5所求圆的方程为(x3)2(y1)25变式训练变式训练 2：求圆心在直线 5x-3y=8 上，且与坐标轴相切圆的标准方程解：解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆与坐标轴相切，a=b,r=a又圆心(a,b)在直线 5x-3y=8 上.5a-3b=8,由arba
46、ba835得111444rbarba或所求圆的方程为：（x-4)2+(y-4)2=16http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网或(x-1)2+(y+1)21例例 3.已知直线 l：yk(x22)(k0)与圆 O：x2y24 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点AOB 的面积为 S 试将 S 表示为 k 的函数 S(k)，并求出它的定义域 求 S(k)的最大值，并求出此时的 k 值解：解：(1)圆心 O 到 AB 的距离 d2122kk由 d21 k 1|AB|42211kkS(k)422222)1()1(kkk(2)解法一解法一：据(1)令 1k2tk2t1(1 t 2
47、)S421322tt4281)431(22t422212当t143即 k33时，等号成立k33为所求解法二：解法二：ABD 的面积 S21|OA|OB|sinAOB2sinAOB当AOB90时，S 可取最大值 2，此时，设 AB 的中点为 C则 OC22|OA|2由 O 到直线的距离为|OC|21|22kk得21|22kk2，k33变式训练变式训练 3：点 P 在直线0102 yx上，PA、PB 与圆422 yx相切于 A、B 两点，求四边形 PAOB面积的最小值 答案：答案：8。提示：提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即 P 到圆心距离要最小例例 4.已
48、知圆 C 方程为：2224200 xyxy，直线 l 的方程为：（2m1)x(m1)y7m4=0（1）证明：无论 m 取何值，直线 l 与圆 C 恒有两个公共点。（2）求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求出此时的 m 值提示提示：（1）用点到直线的距离公式，证明 r2d20 恒成立（2）求（1）中 r2d2的最小值，得直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度为 4 5，此时的 m 值为34http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网变式训练变式训练 4：已知圆系2222220 xyaxay，其中 a1,且 aR,则该圆系恒过定点答案答案：（1，1）提示提示：将
49、a 取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母 a 重新整理，要使得原方程对任意 a 都成立，只须 a 的系数及式中不含 a 的部分同时为零1处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便2圆的弦长公式 l222dR(R 表示圆的半径，d 表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式 l4)(1(212212xxxxk要方便3为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到解析几
50、何初步章节测试题解析几何初步章节测试题一、选择题1 圆(x1)2y21 的圆心到直线 yx 的距离为（）A21B22C23D12 如果把圆 C：x2y21 沿向量),1(ma 平移到圆 C，且 C与直线 3x4y0 相切，则 m 的值为（）A2 或21B2 或21C2 或21D2 或213 如果直线沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线 l 的斜率是（）A31B3C31D34 已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（）Axy10Bxy0Cxy10Dxy05 如果直线 l1、l2的斜率为 k1、k