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1、第五讲线性代数中的数值计算问题本讲稿第一页，共三十二页【引例引例】求下列三阶线性代数方程组的近似解MATLAB程序为：A=2-5 4;1 5-2;-1 2 4b=5;6;5x=Abx=2.7674 1.1860 1.3488本讲稿第二页，共三十二页在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b：A=2-5 4;1 5-2;-1 2 4A=2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4b=5;6;5b=5 6 5然后只需输入命令x=Ab即可求得解x：x=Abx=2.7674 1.1860 1.3488本讲稿第三页，共三十二页一、特殊矩阵的实现本讲稿第四页，共三十二页1.零零矩矩阵阵:
2、所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下：zeros(m)：产生m阶零矩阵；zeros(m,n)：产生m*n阶零矩阵，当m=n时同上；zeros(size(A)：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。一、特殊矩阵的实现常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde)矩阵等。本讲稿第五页，共三十二页2.幺矩阵幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格
3、式与zeros函数一样。【例例1 1】试用ones分别建立3*2阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。用ones(3,2)建立一个3*2阶幺阵：ones(3,2)%一个3*2阶幺阵ans=1 1 1 1 1 1一、特殊矩阵的实现本讲稿第六页，共三十二页3.单单位位矩矩阵阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。4.数数量量矩矩阵阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、特殊矩阵的实现本讲稿
4、第七页，共三十二页一、特殊矩阵的实现5.对对角角阵阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的矩阵称为对角阵。我们可以通过MATLAB内部函数diag，利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用格式为diag(V)和diag(V,k)两种。设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个n(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用
5、diag建立的对角阵必是方阵。本讲稿第八页，共三十二页一、特殊矩阵的实现【例例2 2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。MATLAB程序如下：v=1;2;3;%建立一个已知的向量vA=diag(v)A=1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B=0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C=0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0本讲稿第九页，共三十二页6.从矩阵中提取某对角线我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为m*n
6、阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个元素的向量。diag(A,k)的功能是：当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第|k|条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)。一、特殊矩阵的实现本讲稿第十页，共三十二页【例例3】已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;%建立一个已知的23阶矩阵A%按各种对角线情况构成向量B、C和DB=diag(A)B=1 5
7、C=diag(A,1)C=2 6D=diag(A,-1)D=4一、特殊矩阵的实现本讲稿第十一页，共三十二页7.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k)设A为m*n阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个m*n阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个m*n阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu(A)一、特殊矩阵的实现本讲稿第十二页，共三十二页例例4 4】试分别用tr
8、iu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7;%构成各种情况的上三角阵B、C和DB=triu(A)B=1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、特殊矩阵的实现本讲稿第十三页，共三十二页一、特殊矩阵的实现8.下三角阵：使用格式为tril(A)、tril(A,k)tril的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。用法与triu相同。本讲稿第十四页，共三十二页9.空矩阵空矩阵在MATLAB里，把行数、列数为零的
9、矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确实很有用的。例如A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6;B=find(A1.0)B=这里 是空矩阵的符号，B=find(A1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如：B=一、特殊矩阵的实现本讲稿第十五页，共三十二页二、矩阵的特征值 与特征向量本讲稿第十六页，共三十二页对于N阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式：A.x=*x则称为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值所对应的
10、特征向量。对一般的N阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。二、矩阵的特征值与特征向量本讲稿第十七页，共三十二页MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特征值与特征向量。eig函数的使用格式有五种，其 中 常 见 的 有 E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。二、矩阵的特征值与特征向量本讲稿第十八页，共三十二页(1)E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E；(2)V,D=eig(A)：由eig(
11、A)返回方阵A的N个特征值，构成N*N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予N阶方阵V的对应列，且A、V、D满足A*V=V*D；(3)V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能与格式(2)一样，只是格式(2)是先对A作相似变换(balance)，然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换；二、矩阵的特征值与特征向量本讲稿第十九页，共三十二页【例例5 5】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相应的特征向量，且验证之。A=1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.25
12、00 0.5000 0.2500 2.0000;执行eig(A)将直接获得对称矩阵A的三个实特征值：二、矩阵的特征值与特征向量本讲稿第二十页，共三十二页eig(A)ans=-0.0166 1.4801 2.5365而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量E：E=eig(A)E=-0.0166 1.4801 2.5365二、矩阵的特征值与特征向量本讲稿第二十一页，共三十二页三、行列式的值本讲稿第二十二页，共三十二页MATLAB提供的内部函数det用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵A为一方阵(必须是方阵)，求矩阵A的行列式值的格式为：det(A)。注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列
13、式的值。三、行列式的值【例例6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。A=rand(3)A=0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A)本讲稿第二十三页，共三十二页四、矩阵求逆及其 线性代数方程组求解本讲稿第二十四页，共三十二页1.矩阵求逆矩阵求逆若方阵A,B满足等式A*B=B*A=I (I为单位矩阵)则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第二
14、十五页，共三十二页【例例7 7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。A=1-1 1;5-4 3;2 1 1;B=inv(A)B=-1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*B=B*Aans=1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第二十六页，共三十二页2.矩阵求逆解法矩阵求逆解法利用求系数矩阵A的逆阵A-1，我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程
15、组Ax=b，等号两侧各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第二十七页，共三十二页【例例8 8】试用矩阵求逆解法求解例7中矩阵A为系数矩阵的线性代数方程组Ax=b的解。A=1-1 1;5-4 3;2 1 1;b=2;-3;1;x=inv(A)*bx=-3.8000 1.4000 7.2000四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第二十八页，共三十二页3.直接解法直接解法对于线性代数方程组Ax=b，我们可以运用左除运算符“”像解一元一次方程那样简单地求解：x=Ab当系数矩阵A为N*N的方阵时，MATLAB会自行用高斯消去
16、法求解线性代数方程组。若右端项b为N*1的列向量，则x=Ab可获得方程组的数值解x（N*1的列向量）；若右端项b为N*M的矩阵，则x=Ab可同时获得同一系数矩阵A、M个方程组数值 解x（为N*M的 矩 阵），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第二十九页，共三十二页四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解例题例题本讲稿第三十页，共三十二页解法解法1：分别解方程组(1)Ax=b1；(2)Ay=b2A=1-1 1;5-4 3;2 1 1;b1=2;-3;1;b2=3;4;-5;x=Ab1x=-3.8000 1.4000 7.2000 y=Ab2 y=-3.6000 -2.2000 4.4000得两个线性代数方程组的解：(1)x1=-3.8，x2=1.4，x3=7.2；(2)y1=-3.6，y2=-2.2，y3=4.4四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第三十一页，共三十二页解法解法2：将两个方程组连在一起求解：Az=bb=2 3;-3 4;1-5z=Abz=-3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000很明显，这里的解z的两个列向量便是前面分别求得的两组解x和y四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解本讲稿第三十二页，共三十二页