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1、第五章第五节二次型及其标准形1本讲稿第一页，共二十四页例例.有心二次曲线方程有心二次曲线方程可取适当的转轴变换可取适当的转轴变换:方程方程可化成标准方程可化成标准方程一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示 本讲稿第二页，共二十四页特点特点:(1).变换阵变换阵(2).可逆变换不改变常数可逆变换不改变常数(项项).实质实质:经变换经变换二次齐次多项式二次齐次多项式,有交叉项有交叉项.二次齐次多项二次齐次多项式式,无交叉项无交叉项.本讲稿第三页，共二十四页定义定义11.11.二次型是指二次型是指二次齐次函数二次齐次函数(二次齐次多项式二次齐次多项式).本讲稿第四页，共二十四页 f 可写成可写成:
2、即即本讲稿第五页，共二十四页记记本讲稿第六页，共二十四页註註:(2).A的对角线上的元素是的对角线上的元素是 f 中的平方中的平方 项的系数项的系数.A的右上角是的右上角是 f 中交叉中交叉项系数的一半项系数的一半.例例1.例例2.写成矩阵表示写成矩阵表示.3735-155-15本讲稿第七页，共二十四页例例3.写成矩阵表示写成矩阵表示.1-10122-101-1220-11-1AX本讲稿第八页，共二十四页(1)A为为n 阶实对称阵阶实对称阵.可逆变换可逆变换:(2)二、二次型在可逆变换下的变化情况二、二次型在可逆变换下的变化情况本讲稿第九页，共二十四页即即P|P|0X=PY.(3)要把要把 f
3、 化成标准形化成标准形:本讲稿第十页，共二十四页若把标准形写成矩阵若把标准形写成矩阵,则则00把把(3)代入代入(1),有有本讲稿第十一页，共二十四页证明证明:若若A为对称阵为对称阵,註註:性质表明性质表明,经可逆变换经可逆变换 X=PY 后后,二次二次型型 f 的矩阵变为的矩阵变为其秩不变其秩不变.性质性质:任给可逆阵任给可逆阵P P,令令若若A为对为对称阵称阵,则则B为对称阵为对称阵,本讲稿第十二页，共二十四页定理十定理十:任给二次型任给二次型总有正交总有正交变换变换X=PY,使使 f 化为标准形化为标准形证明证明:据定理九据定理九,总有正交阵总有正交阵P,使使00本讲稿第十三页，共二十四
4、页代入代入00证毕证毕.本讲稿第十四页，共二十四页例例4.4.化二次型化二次型为标准形为标准形.解解:利用利用 f 的矩阵的矩阵A的特征值写出的特征值写出 f 的标准形的标准形.f 的矩阵为的矩阵为:本讲稿第十五页，共二十四页A的特征多项式的特征多项式:本讲稿第十六页，共二十四页例例5.5.试确定一个正交变换试确定一个正交变换X=PY,将二次型将二次型化为标准形化为标准形.解解:f 的矩阵为的矩阵为:本讲稿第十七页，共二十四页可解得可解得A的特征值为的特征值为:对应的特征向量为对应的特征向量为:本讲稿第十八页，共二十四页令令则则X=PY 为所求正交变换为所求正交变换.它将二次型它将二次型 f 化为化为注意注意:本讲稿第十九页，共二十四页例例6.化二次型化二次型成标准形成标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.解解:三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形本讲稿第二十页，共二十四页所用的变换阵为所用的变换阵为:本讲稿第二十一页，共二十四页例例7.7.化二次型化二次型成标准形成标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.解解:令令.代入代入,得得本讲稿第二十二页，共二十四页令令由于由于.本讲稿第二十三页，共二十四页,.变换阵变换阵所用的变换阵为所用的变换阵为:所用的线性变换为所用的线性变换为:本讲稿第二十四页，共二十四页