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1、减肥的数学模型第1页，共23页，编辑于2022年，星期五 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖肥胖”已经成为全社会关注的一个重要问题。无已经成为全社会关注的一个重要问题。无论从健康角度还是从审美角度，论从健康角度还是从审美角度，人们越来越重视人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上出现了各自己形体的健美，从而就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服装、减肥药和名目繁多的健美中心服
2、装、减肥药和名目繁多的健美中心 ，让人目不，让人目不暇接，不知所措，上当受骗者也不在少数暇接，不知所措，上当受骗者也不在少数.问题的提出问题的提出第2页，共23页，编辑于2022年，星期五以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重，如何对以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重，如何对待减肥是我们一定要正确对待的问题，于是了解减肥待减肥是我们一定要正确对待的问题，于是了解减肥的机理成为减肥的关键。此外，对于从事某些体育项的机理成为减肥的关键。此外，对于从事某些体育项目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说，在目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说，在比赛前也有都一个正确减肥的问题。比赛前也有都
3、一个正确减肥的问题。第3页，共23页，编辑于2022年，星期五 根据中国科学会修订并建议的我国人民的每日膳根据中国科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：食指南可知：1)每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人体健康而提出的膳食质量标准。营养素的需求量体健康而提出的膳食质量标准。营养素的需求量系指维持身体正常的生理功能所需要的营养素的系指维持身体正常的生理功能所需要的营养素的数量。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于数量。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。这个数量，将对身体产生不利的影响。背景知识背景知识第4
4、页，共23页，编辑于2022年，星期五2)人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。志。3)人们热能需要量的多少，主要取决于三个方面：人们热能需要量的多少，主要取决于三个方面：维持人们基本代谢所需的能量、从事劳动和其维持人们基本代谢所需的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。量。4)一般情况下，成年男子每一般情况下，成年男子每1kg体重每小时平均消体重每小时平均消耗热量为耗热量为4200J。5)一般情况
5、下一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的谢的 10%。第5页，共23页，编辑于2022年，星期五1)人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标
6、志。已知脂肪的能量转换率为已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂，每千克脂肪可以转换为肪可以转换为 J的能量。记的能量。记D=J/kg，成为脂肪的能量转换系数。，成为脂肪的能量转换系数。问题分析与模型假设问题分析与模型假设第6页，共23页，编辑于2022年，星期五2)人的体重仅仅看成是时间人的体重仅仅看成是时间t的函数的函数w(w(t)，而与其它因，而与其它因素无关，这意味着在研究减肥过程中，我们忽略了个素无关，这意味着在研究减肥过程中，我们忽略了个体的差异体的差异(年龄、性别、健康状况等年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。对减肥的影响。3)体重随时间是连续变化的，即体重随时间是连续变化的
7、，即w w(t)是连续函数且充是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。生的。第7页，共23页，编辑于2022年，星期五4)不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗与体重踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗与体重有关，例如：体重分别为有关，例如：体重分别为50 kg和和100kg的人的人都跑都跑1000m，所耗的能量显然不同。可见，所耗的能量显然不同。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合
8、理且但考虑到减肥的人会为自己制定一个合理且相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位时间时间(1日日)内人体活动所消耗的能量与其体重内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记成正比，记B为每为每1kg体重每天因活动所消耗体重每天因活动所消耗的能量的能量第8页，共23页，编辑于2022年，星期五 根据上述背景知识和模型的假设，我们就根据上述背景知识和模型的假设，我们就可以组建减肥的数学模型。可以组建减肥的数学模型。5)单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量成正比于人的体重。记用所消耗的能量成正比于人的体重
9、。记C为为1kg体体重每天消耗的能量。重每天消耗的能量。6)减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为能量是一定的，记为A。第9页，共23页，编辑于2022年，星期五 建模过程中，我们以建模过程中，我们以“天天”为时间单位。根据为时间单位。根据假设假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。入和消耗所引起的体重的变化。根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的根据能量的平衡原
10、理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。内摄入的能量与消耗的能量的差。模型的建立模型的建立第10页，共23页，编辑于2022年，星期五 考虑时间区间考虑时间区间 内能量的改变内能量的改变,根据能量根据能量平衡原理平衡原理,有有由积分中值定理有由积分中值定理有其中其中第11页，共23页，编辑于2022年，星期五于是于是令 取极限得取极限得*这就是在一定化简层次上的减肥数学模型这就是在一定化简层次上的减肥数学模型.我们知道模型我们知道模型的某些假设不十分合理的某些假设不十分合理,但我们希望求解模
11、型但我们希望求解模型*,看看能否说看看能否说明一些问题明一些问题.第12页，共23页，编辑于2022年，星期五 设设 为模型的初始时刻为模型的初始时刻,这时人的体重这时人的体重为为 .模型模型 *的求解方法很多的求解方法很多,下面用积分下面用积分因子法求解因子法求解.在在*的两边同时乘以的两边同时乘以 得得 即即模型的求解模型的求解第13页，共23页，编辑于2022年，星期五从从0到到t积分，并利用初值积分，并利用初值 得得第14页，共23页，编辑于2022年，星期五模型的分析与修改推广模型的分析与修改推广 1 1）a/ba/b是模型中的一个重要参数。是模型中的一个重要参数。A=A/DA=A/
12、D是每天由于能量的摄入而增加的体重。是每天由于能量的摄入而增加的体重。b=(B+C)/Db=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体是每天由于能量的消耗而失去的体重。重。2)2)假设假设a=0,a=0,即停止进食，无任何能即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时，肪的消耗而产生。此时，。第15页，共23页，编辑于2022年，星期五 （1 1）不进食的节食减肥法是很危险的。因）不进食的节食减肥法是很危险的。因为为 ，即体重（脂肪）都消耗尽了，即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！实际上，媒体报道过很多例子，如何能活命！实际上
13、，媒体报道过很多例子，都是产生厌食症从而身体抵抗力减弱，导致其都是产生厌食症从而身体抵抗力减弱，导致其它并发疾病而死亡。它并发疾病而死亡。（2）当）当a=0a=0时，由解式有时，由解式有 ，这表明在这表明在00，tt内体重减少的百分率为内体重减少的百分率为 ，称之为，称之为0,t0,t内体重消耗内体重消耗 第16页，共23页，编辑于2022年，星期五率。特别的，率。特别的，是单位时间内体重的消耗是单位时间内体重的消耗率，事实上，率，事实上，所以所以自然自然 为为0,t0,t内的体重内的体重保存率，它表明保存率，它表明t t时刻体重占初始体重的百分率。时刻体重占初始体重的百分率。基于上面的分析，
14、又解式可知，基于上面的分析，又解式可知，t t时刻的时刻的体重由两部分组成：一部分是初始体重中由于体重由两部分组成：一部分是初始体重中由于第17页，共23页，编辑于2022年，星期五能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。是合理的。3)3)另外对于此模型，容易证明，当且仅当另外对于此模型，容易证明，当且仅当 时有时有d dw/w/d dt0t0，这表明只有当，这表明只有当 才有可能产才有可能产生减肥的效果。由解式有生减肥的效果。由解式有也就是说此模型的解渐进
15、稳定与也就是说此模型的解渐进稳定与 ，他给出了，他给出了减肥的最终结果，称减肥的最终结果，称 为减肥效果指标。为减肥效果指标。第18页，共23页，编辑于2022年，星期五因为因为 衰减很快，在有限时间内，衰减很快，在有限时间内，就很小，可以忽略；当就很小，可以忽略；当t t充分大时，充分大时，w w(t)=a/b=A/(B+C),(t)=a/b=A/(B+C),这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小）。从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适小）。从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节当调节A A（进食）、（进食）、B B（活动）、（活动
16、）、C C（新陈代谢）。（新陈代谢）。同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节三个要素：节食是调节A A、活动是调节、活动是调节B B、减肥药是、减肥药是调节调节C C。由于。由于C C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，是基础代谢和食物特殊动力的消耗，第19页，共23页，编辑于2022年，星期五他不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，他不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数。有大量事实表明，对于每个人而言可以认为是一个常数。有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。
17、于是我通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。第20页，共23页，编辑于2022年，星期五 4)4)进一步讨论能量的摄取量进一步讨论能量的摄取量A A与活动消耗量与活动消耗量B B对减对减肥效果的影响。由肥效果的影响。由 =A/(B+C)=A/(B+C)有有A=B+C,A=B+C,在在A-BA-B坐标系内表示一条过点（
18、坐标系内表示一条过点（-C,0-C,0）斜率为）斜率为 的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理公能所需要的能能量不能低于用于维持正常生理公能所需要的能量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限定存在一个下限 ，当，当 时表明能量摄入时表明能量摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。这时减肥得到的结果不能认为是有效的，的能量。这时减肥得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，是非常危险的，因而称它将危及人体
19、的健康，是非常危险的，因而称 为减肥临界指标。此外，人们为减肥所采用的各为减肥临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受第21页，共23页，编辑于2022年，星期五的范围，即存在的范围，即存在 使得使得0B ,0B ,于是在于是在A-BA-B平面上由平面上由B=0B=0、B=B=和和A=0A=0所界出的上半带形区域被直线所界出的上半带形区域被直线 ：A=B+CA=B+C和和 ：A=B+CA=B+C分割成三个区域：分割成三个区域：、和和 ，这表明减肥的效果是控制饮食和增加消耗，这表明减肥的效果是控制饮食和增加消耗综合作
20、用、相互协调的结果。综合作用、相互协调的结果。在区域在区域 中，能量的摄中，能量的摄取量取量A A大于体重为大于体重为 （初（初始体重）时的消耗量始体重）时的消耗量 （B+CB+C），这时体重将在），这时体重将在 基础上继续增加，故称之基础上继续增加，故称之为非减肥区。而在区域为非减肥区。而在区域 中，能量的摄取量中，能量的摄取量A A低于体低于体重为重为 时的消耗量时的消耗量 （B+C)B+C)AB-col0l1B1w0cw1c第22页，共23页，编辑于2022年，星期五体重将减少到临界减肥指标以下，这将危及人的健体重将减少到临界减肥指标以下，这将危及人的健康，故称康，故称 为减肥危险区。只有区域为减肥危险区。只有区域 所表示的所表示的A A和和B B的组合才能实现有效的减肥，故称的组合才能实现有效的减肥，故称 为有效为有效减肥区。（如上图）减肥区。（如上图）实际上，减肥的过程是一个非常复杂的过程。实际上，减肥的过程是一个非常复杂的过程。这个模型是一个简化的模型，只是为了揭示饮食和这个模型是一个简化的模型，只是为了揭示饮食和活动这两个主要因素与减肥的关系。至于对减肥问活动这两个主要因素与减肥的关系。至于对减肥问题的更为深入地分析有赖于构建更精细的模型。题的更为深入地分析有赖于构建更精细的模型。第23页，共23页，编辑于2022年，星期五