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1、最优化问题的计算方法最优化问题的计算方法第1页，共51页，编辑于2022年，星期六10.1 一般非线性方程数值解一般非线性方程数值解求出已知多元方程的一个实数根的函数调用格式最简求解语句一般求解语句第2页，共51页，编辑于2022年，星期六选择方法和修改控制精度的函数调用格式获得默认的常用变量设置控制参数或 第3页，共51页，编辑于2022年，星期六求解数值代数方程组的步骤求解数值代数方程组的步骤设置变量，使等式变成如下所示按如下方式描述等式M-函数匿名函数Inline函数，不推荐使用求解方程组 检验阶的正确性第4页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 1数值方法求解选择变量 把原始方程组
2、变为变成矩阵形式第5页，共51页，编辑于2022年，星期六描述方程的方法描述方程的方法 M-函数匿名函数Inline函数第6页，共51页，编辑于2022年，星期六当初值选为当使用另一个搜索初始点注意：选择不同的初值可以得出不同的结果第7页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 2数值方法解使用solve()函数：使用图解法求初始值：第8页，共51页，编辑于2022年，星期六重新设置相关精度的控制变量所期望的精度可能无法达到然而，在算精度制下的最好结果可以得到第9页，共51页，编辑于2022年，星期六10.2 无约束最优化问题求解无约束最优化问题求解解析解法和图解法基于MATLAB的数值解法全
3、局最优解与局部最优解利用梯度求解最优化问题带有变量边界约束的最优化问题求解第10页，共51页，编辑于2022年，星期六无约束最小化问题的数学描述目标函数是一个标量函数向量 决定变量，或优化变量物理意义：求取一组 向量，使得最优化目标函数 为最小最大化问题 数学描述数学描述第11页，共51页，编辑于2022年，星期六2.1 解析解法和图解法解析解法和图解法无约束最优化问题的必要条件：其中，是最优点方程的求解可能会更难，有时可能需要二阶导数运算第12页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 3研究下式的最优性绘制函数 的一阶导数第13页，共51页，编辑于2022年，星期六求一阶导数为零的点，并验
4、证二阶导数为正第14页，共51页，编辑于2022年，星期六2.2 基于基于MATLAB的数值解法的数值解法得出数值解的函数调用格式最简求解语句或一般求解格式或第15页，共51页，编辑于2022年，星期六描述目标函数M-函数匿名函数Inline函数（不推荐使用）在匿名函数或inline函数中无法使用中间变量第16页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 4给定 ，求其最小值 使用函数fminsearch()：使用函数fminunc()：第17页，共51页，编辑于2022年，星期六绘制出搜索过程中间点的轨线：第18页，共51页，编辑于2022年，星期六结果：第19页，共51页，编辑于2022年，
5、星期六2.3 全局最优解与局部最优解全局最优解与局部最优解最小值存在的必要条件是使用搜索方法，从初始值出发，可能找到唯一的一个这样的点，它是全局最小值第20页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 5给定 观察不同的初值得出的最小值构造目标函数初值是第21页，共51页，编辑于2022年，星期六初值是 在 内的曲线：在 内的曲线第22页，共51页，编辑于2022年，星期六2.4 利用梯度求解最优化问题利用梯度求解最优化问题有时，仅利用目标函数提供的信息，很难得到最优解。这是由于求解最优化问题收敛速度一般较慢，尤其是变量较多的最优化问题可以利用梯度信息解决上述问题第23页，共51页，编辑于202
6、2年，星期六例例 6求 Rosenbrock 函数的无约束最优化问题绘制三维等高线图：第24页，共51页，编辑于2022年，星期六无梯度信息求梯度矩阵：第25页，共51页，编辑于2022年，星期六编写目标函数：求解最优化问题第26页，共51页，编辑于2022年，星期六3 有约束最优化有约束最优化问题的计算机求解问题的计算机求解约束条件与可行解区域线性规划问题的计算机求解二次型规划的求解一般非线性规划问题的求解第27页，共51页，编辑于2022年，星期六3.1 约束条件与可行解区域约束条件与可行解区域有约束非线性最优化问题的一般描述为其中，所有的 满足约束条件该范围称为可行解区域第28页，共51
7、页，编辑于2022年，星期六例例 7图解方法求解：目标函数描述可行解区域描述第29页，共51页，编辑于2022年，星期六可行区域图解说明可行区域图解说明第30页，共51页，编辑于2022年，星期六3.2 线性规划问题的计算机求解线性规划问题的计算机求解线性规划(LP)问题的一般数学描述为所有都是线性的注意，约束的标准形式 第31页，共51页，编辑于2022年，星期六求解LP问题的函数调用格式第32页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 8试求解下面的线性规划问题第33页，共51页，编辑于2022年，星期六MATLAB求解语句：第34页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 9求解下列LP
8、问题：先将原问题转换为最小值问题第35页，共51页，编辑于2022年，星期六MATLAB求解命令第36页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 10是求解下列LP问题双下标描述第37页，共51页，编辑于2022年，星期六将原问题转换成单下标自变量原问题改写成第38页，共51页，编辑于2022年，星期六MATLAB求解命令第39页，共51页，编辑于2022年，星期六3.3 二次型规划的求解二次型规划的求解一般二次型规划问题的数学表示为首先建立矩阵表述第40页，共51页，编辑于2022年，星期六求解二次型规划问题的函数调用格式第41页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 11试求解下面的四元
9、二次型规划问题首先求出相关矩阵形式第42页，共51页，编辑于2022年，星期六展开目标函数得写成矩阵形式第43页，共51页，编辑于2022年，星期六MATLAB求解语句其中，忽略了常数30第44页，共51页，编辑于2022年，星期六3.4 一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题其中，物理解释：在给出的约束条件下，找出向量 ，使目标函数达到最小值第45页，共51页，编辑于2022年，星期六简化描述求解出非线性规划问题第46页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 12试求解下面非线性规划问题为目标函数和约束函数编辑M-函数，后者返回两个变量第47页，共51页，编辑于2022年，星期六第48页，共51页，编辑于2022年，星期六例例 13利用梯度信息求解如下问题，并比较结果 第49页，共51页，编辑于2022年，星期六推导Jacobian矩阵编写目标函数第50页，共51页，编辑于2022年，星期六使用函数fmincon()得出结果第51页，共51页，编辑于2022年，星期六