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1、第一节二次型及其标准型和合同矩阵本讲稿第一页，共十二页一、二次型及其标准形的概念称为称为二次型二次型.本讲稿第二页，共十二页只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为称为二次型的标准形二次型的标准形例如例如都为二次型；都为二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形.本讲稿第三页，共十二页1 1用和号表示用和号表示二次型二次型二、二次型的表示法本讲稿第四页，共十二页2 2用矩阵表示用矩阵表示本讲稿第五页，共十二页本讲稿第六页，共十二页由此可见由此可见,按照上述规则按照上述规则任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次
2、型。反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。称对称矩阵称对称矩阵 A 为二次型为二次型 f 的矩阵，也把的矩阵，也把 f 称为称为对称矩阵对称矩阵 A 的二次型。的二次型。即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系对称矩阵对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩称为二次型 f 的秩。的秩。本讲稿第七页，共十二页例例1 写出下列二次型的矩阵表达式写出下列二次型的矩阵表达式解解 按按的要求不改变完全平方项，把的要求不改变完全平方项，把交叉乘积项的系数取半得：交叉乘积项的系数取半得：注意注意 仅当仅当A 满足满足时时,为二次型的矩阵表示式为二次型的矩阵表示式本讲稿第八页，共十二页二次型二次型的矩阵为：的矩阵为：以以 为矩阵的二次型为为矩阵的二次型为本讲稿第九页，共十二页 定义定义合同矩阵有一下性质：合同矩阵有一下性质：（1）自反性（）自反性（2）对称性）对称性(3)(3)传递性传递性三、矩阵的合同本讲稿第十页，共十二页证明证明即即 为对称矩阵为对称矩阵.本讲稿第十一页，共十二页 定定义义 等价的二次型等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的它们的矩阵之间是合同的;反之反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.本讲稿第十二页，共十二页