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1、第二讲效用函数本讲稿第一页，共五十九页对效用的理解对效用的理解:最好吃的东西最好吃的东西兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。兔子说，兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起萝卜就要流口水。世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起萝卜就要流口水。”猫不同意，说，猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起来又世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起来又酥又松，味道美极了！酥又松，味道美极了！”兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。猴子听了，不由得大笑起来：猴子听了，
2、不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿常识都瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。”兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。本讲稿第二页，共五十九页圣彼
3、得堡悖论(St.Petersburg Paradox/game)圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔伯努利（伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉）的表兄尼古拉伯伯努利努利(Nicolaus Bernoulli)在在1738提出的一个概率期望值悖论，它来自提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表表1)。问题：你愿意花问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？元来参加一次圣彼得堡游戏吗？本讲稿第三页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理问题：问题：某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在某公司拟推出一
4、种新产品，经预测该产品在市场看好的情况下，可以获利市场看好的情况下，可以获利10万；在市场万；在市场前景较差时，将亏损前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较万元。市场看好和较差的概率分别为差的概率分别为0.6和和0.4，是否推出该新产，是否推出该新产品？品？若另有一产品可稳获利若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产万元，推出哪种产品更好？品更好？这是一个这是一个随机决策随机决策问题。问题。本讲稿第四页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理在随机决策中，决策系统中的决策方案均是在随机决策中，决策系统中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则
5、，选出决策者最满意的行动方案。则，选出决策者最满意的行动方案。在本章中，我们用在本章中，我们用事态体事态体表示在随机性状态表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较，并引入体的比较，并引入效用效用的概念，用以衡量事的概念，用以衡量事态体（行动方案）的优劣。态体（行动方案）的优劣。本讲稿第五页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.1事态体及其关系事态体及其关系 1事态体的概念事态体的概念 定义定义2.1 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。（或事情），称为事态体。
6、事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体即随机性状态空间中的行动方案。事态体即随机性状态空间中的行动方案。本讲稿第六页，共五十九页1事态体的概念事态体的概念设某事态体的设某事态体的n个可能结果为：个可能结果为：o1,o2,on各结果出现的概率是相应为：各结果出现的概率是相应为：p1,p2,pn 则该事态体记为：则该事态体记为：T（p1,o1；p2,o2；pn,on）特别当特别当n 2时，称时，称 T为简单事态体，此时为简单事态体，此时 T（p,o1；1p,o2）本讲稿第七页，共五十九页1事态体的概念事态体的概念事态体可以用树形图表示如下：事态体可以用树
7、形图表示如下：Tp1p2pno1o2on当当n 2时：时：pT1-po1o2本讲稿第八页，共五十九页事态体集合事态体集合 的性质的性质在凸线性组合下，在凸线性组合下，是闭集。即：是闭集。即：若若T1，T2，则当，则当0 1时，有时，有 T1(1)T2 两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。T(0,o1；0,o2；1,oj；0,on)称称T为为退化事态体。退化事态体。退化事态体仍属于事态体集合。退化事态体仍属于事态体集合。本讲稿第九页，共五十九页2事态体的比较事态体的比较定义定义2.2设设o1，o2是事态体是事态体T的任意两个结果值，根据的任意两个结果值，根
8、据决策目标和决策者偏好，决策目标和决策者偏好，o1和和o2有如下关系：有如下关系：若偏好结果值若偏好结果值o1，则称，则称o1优于优于o2，记作，记作o1 o2；反之，称；反之，称o1劣于劣于o2，记作，记作o1 o2。若对结果值若对结果值o1,o2无所偏好，则称无所偏好，则称o1无差异无差异于于o2，记作，记作o1 o2。若不偏好结果值若不偏好结果值o1，则称，则称o1不优于不优于o2，记作，记作 o1 o2；反之，称；反之，称o1不劣于不劣于o2，记作，记作o1 o2。本讲稿第十页，共五十九页2事态体的比较事态体的比较定义定义 2.3 设两个简单事态体设两个简单事态体 T1，T2具有相同的
9、结果值具有相同的结果值 o1，o2，即，即：T1（p1,o1；1p1,o2）T2（p2,o1；1p2,o2）并假定并假定o1 o2，则：，则：若若p1p2，称事态体，称事态体T1无差异于无差异于T2，记作，记作T1T2。若若p1p2，称事态体，称事态体T1优于优于T2，记作记作T1 T2；反之，称事态体反之，称事态体T1劣劣于于T2，记作，记作T1 T2。本讲稿第十一页，共五十九页2事态体的比较事态体的比较定义定义 2.4 设两个简单事态体设两个简单事态体 T1，T2仅具有一个相同结仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即果值，另一个结果值不相同，即：T1（p1,o1；1p1,o0）T2（
10、p2,o2；1p2,o0）且且o2 o1 o0，若若p1p2，则事态体，则事态体T2优于优于T1，记作，记作T2 T1。若若T1T2，则必有，则必有p1p2。本讲稿第十二页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理2.l（连通性（连通性，可比性），可比性）事态体集合事态体集合上事态体的优劣关系是连通的。上事态体的优劣关系是连通的。即若即若T1，T2 则或者则或者T1 T2，或者或者T2 T1，或者，或者T1T2，三，三者必居其一。者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！本讲稿第十三页，共五十九页2.
11、1理性行为公理理性行为公理2.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理2.2（传递性传递性）事态体集合事态体集合上事态体的优劣关系是传递的。上事态体的优劣关系是传递的。即若即若T1、T2、T3，且，且T1 T2，T2 T3，则必有则必有 T1 T3。表示任意多个事态体的优劣是可以排序的表示任意多个事态体的优劣是可以排序的（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）满足公理满足公理2.1和公理和公理2.2的的事态体集合称为全序集。事态体集合称为全序集。本讲稿第十四页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理2.3（复
12、合保序性，替代性复合保序性，替代性）若若T1，T2，Q，且，且0p1，则，则T1 T2 当且仅当当且仅当 pT1(1p)Q pT2(1p)Q。表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。本讲稿第十五页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理2.4（相对有序性，连续性，偏好的有界相对有序性，连续性，偏好的有界性性）若若T1，T2，T3，且，且T1 T2 T3 则存在数则存在数 p，q，0pl，0q1，使得：，使得：pT1(1p)T3 T2 qT
13、1(1q)T3 表示任意事态体都不是无限优，也不是无限表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。劣。本讲稿第十六页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质 性质性质2.1设事态体设事态体 T1（p,o1；1p,o0）T2（x,o2；1x,o0）且且 o1 o0，o2 o0，若，若o2 o1 则存在则存在x=pp使得使得 T1T2 称称x为为可调概率值可调概率值。本讲稿第十七页，共五十九页2.1理性行为公理理性行为公理2.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质 性质性质2.2（确定当量和无差异概率）（确定当量和无差异概率）设事态体设事态体T（x,o1；
14、1x,o2）且）且o1 o2。则对于满足优劣关系则对于满足优劣关系o1 o o2的任意结果值的任意结果值o，必存在，必存在xp（0pl），使得），使得T（p,o1；1p,o2）o称结果值称结果值o为事态体为事态体T的的确定当量确定当量，称，称p为为o关于关于o1与与o2的的无差异概率无差异概率。本讲稿第十八页，共五十九页2.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质性质性质2.3任一事态体无差异于一个简单事态体。任一事态体无差异于一个简单事态体。设有事态体设有事态体T（p1,o1；p2,o2；pn,on）则）则必存在一个简单事态体必存在一个简单事态体T（p,o*；1p,o0）T其中：其中：o*ma
15、x o1,o2,on o0 min o1,o2,on 且：且：这里，这里，qj(j=1,2,n)为为oj关于关于o*与与o0的无差异概率。的无差异概率。本讲稿第十九页，共五十九页2.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质根据性质根据性质2.3比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题简（将问题简化）化）得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，再根据公理再根据公理2.2（传递性）即可得到所讨论事（传递性）即可得到所讨论事态体的排序。态体的排序。本讲稿第二十
16、页，共五十九页2.2 效用函数的定义和构造效用函数的定义和构造设有决策系统，在离散情况下，结果值可以设有决策系统，在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵：表示为决策矩阵：本讲稿第二十一页，共五十九页2.2 效用函数的定义和构造效用函数的定义和构造矩阵矩阵O的第的第i行表示第行表示第i个可行方案的个可行方案的n个可能个可能结果值，即事态体结果值，即事态体Ti（p1,oi1；p2,oi2；pn,oin）(i=1,2,m)决策就是要对这决策就是要对这 m个事态体进行排序。个事态体进行排序。由第一节中的性质由第一节中的性质2.3知，存在简单事态体知，存在简单事态体T，使得，使得Ti（pi,o*；1pi
17、,o0）Ti问题又化为对这问题又化为对这m个简单事态体个简单事态体Ti进行排序。进行排序。本讲稿第二十二页，共五十九页2.2 效用函数的定义和构造效用函数的定义和构造 Ti（pi,o*；1pi,o0）Ti注意到这注意到这m个简单事态体个简单事态体Ti具有相同的结果具有相同的结果值值o*、o0，根据定义，根据定义2.3，其优劣关系可以，其优劣关系可以由比较由比较pi的大小决定。的大小决定。根据性质根据性质2.3qjj是结果值是结果值oij关于关于o*与与o0的的无差异概率无差异概率。其中：其中：o*o0 本讲稿第二十三页，共五十九页2.2 效用函数的定义和构造效用函数的定义和构造2.2.1 效用
18、和效用函数的概念效用和效用函数的概念1.效用的概念效用的概念定义定义2.5设决策问题的各可行方案有多种可能的结设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的价值向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。和作用。反映结果值反映结果值o对决策者的价值和对决策者的价值和作用大小的量值称为效用。作用大小的量值称为效用。本讲稿第二十四页，共五十九页2.2 效用函数的定义和构造效用函数的定义和构造2.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念2.效用函数的概念效用函数的概念定义定义2.6若在事态体集合若在事
19、态体集合上存在实值函数上存在实值函数u，有：，有：(1)对任意的对任意的T1、T2，T1 T2 当且仅当当且仅当u(T1)u(T2)(2)对任意的对任意的T1、T2，且且0 1，有，有u T1(1)T2=u(T1)(1)u(T2)则称则称u(T)为定义在为定义在上的效用函数。上的效用函数。本讲稿第二十五页，共五十九页2.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念3.估计效用函数的方法估计效用函数的方法（1）标准效用测定法）标准效用测定法(概率当量法，概率当量法，VM法法)思路思路：对于给定的结果值，测定其效用值。：对于给定的结果值，测定其效用值。设有决策系统（设有决策系统（，A，F），其
20、结果值集），其结果值集合为：合为：O（o1,o2,on）记：记：o*max o1,o2,on o0 min o1,o2,on 对于每一个结果值对于每一个结果值oj都存在一个概率值都存在一个概率值pj，使得使得oj（pj,o*；1pj,o0）pj就可以作为就可以作为结果值结果值oj的效用值。的效用值。本讲稿第二十六页，共五十九页2.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念（1）标准效用测定法）标准效用测定法(概率当量法，概率当量法，VM法法)步骤步骤设设 u(o*)=1，u(o0)=0；建立简单事态体（建立简单事态体（x,o*；1-x,o0），其中），其中x称为可调概率；称为可调概率；通
21、过反复提问，不断改变可调概率值通过反复提问，不断改变可调概率值x，让，让决策者权衡比较，直至当决策者权衡比较，直至当x=pj时时 oj（pj,o*；1pj,o0）测得结果值测得结果值oj的效用的效用 u(oj)=pj=pj u(o*)(1pj)u(o0)本讲稿第二十七页，共五十九页2.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念3.估计效用函数的方法估计效用函数的方法（2）确定当量法）确定当量法(修正的修正的VM法法)思路：对于给定的效用值，测定其结果值。思路：对于给定的效用值，测定其结果值。步骤步骤设设 u(o*)=1，u(o0)=0；对于给定的效用值对于给定的效用值pj，构造简单事态体
22、，构造简单事态体（pj,o*；1pj,o0）通过反复提问，不断改变结果值通过反复提问，不断改变结果值o，让决，让决策者权衡比较，直至当策者权衡比较，直至当o=oj时时 oj（pj,o*；1pj,o0）得得效用值效用值pj对应的对应的结果值为结果值为oj，即，即u(oj)=pj。本讲稿第二十八页，共五十九页2.2.2 效用函数的构造效用函数的构造介绍一种实用的效用函数的构造方法。介绍一种实用的效用函数的构造方法。基本思路基本思路对于决策问题的结果值集合，先用对于决策问题的结果值集合，先用确定当确定当量法量法找出一个基准效用值，即效用值等于找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值，称为确定当
23、量的结果值，称为确定当量o。其余效用。其余效用值不再测定，而是按比例用线性内插的方值不再测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。法，用同一个标准计算得到。本讲稿第二十九页，共五十九页2.2.2 效用函数的构造效用函数的构造方法方法设决策问题结果值集合为：设决策问题结果值集合为：O（o1,o2,on）取取o*max o1,o2,on o0 min o1,o2,on 并令并令 u(o*)=1，u(o0)=0；构造简单事态体（构造简单事态体（0.5,o*；0.5,o0），用），用确确定当量法定当量法找到该事态体的确定当量找到该事态体的确定当量o，使，使得：得：o（0.5,o*；0.5
24、,o0）本讲稿第三十页，共五十九页2.2.2 效用函数的构造效用函数的构造方法方法 对结果值进行归一化处理，记归一化的结果值为对结果值进行归一化处理，记归一化的结果值为x(oj)则：则：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0 x(oj)1 记记确定当量确定当量o的归一化值为的归一化值为，也，也记为x0.5本讲稿第三十一页，共五十九页得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点：得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点：（0,0）,（,0.5）,（1,1）ux0110.5本讲稿第三十二页，共五十九页2.2.2 效用函数的构造效用函数的构造方法方法 在新区间在新区间0,和和,1按同样方法插入点按同
25、样方法插入点（x0.25,0.25）和（）和（x0.75,0.75），保持比例关），保持比例关系系计算得：计算得：本讲稿第三十三页，共五十九页效用曲线上新增两个点：效用曲线上新增两个点：（2,0.25）,（22,0.75）ux0110.50.2520.7522本讲稿第三十四页，共五十九页 若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续按同样方法按同样方法在新产生的区间在新产生的区间内插入效用中点，内插入效用中点，直到产生足够的点为止。直到产生足够的点为止。若在效用区间若在效用区间0,1中插入中插入2n个分点：个分点：记相应的归一化的结果值为记相应的归一化的结果
26、值为k，有：，有：本讲稿第三十五页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系在风险型或不确定型决策问题中，决策者在风险型或不确定型决策问题中，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值的效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也反映了不同类型的决策者对偏好程度，也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度。风险的不同态度。因此从不同类型的效用函数可以看出决策因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。者对风险的不同态度。本讲稿第三十六
27、页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系1.中立型效用函数中立型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若对，若对xlx2，有，有 则称该效用函数为中立型。则称该效用函数为中立型。其效用曲线是一条直线。其效用曲线是一条直线。中立型效用函数的效用值和结果值成正比例，中立型效用函数的效用值和结果值成正比例，因此可以用结果值直接评选方案。因此可以用结果值直接评选方案。本讲稿第三十七页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系2.保守型效用函数保守型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若对，若对xlx2，有，有 则称该效用函数为保守型。则称该效用函数为保
28、守型。其效用曲线是一条其效用曲线是一条上凸上凸曲线，曲线，表示效用值随结果表示效用值随结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度。险持厌恶态度。本讲稿第三十八页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系3.冒进型效用函数冒进型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若对，若对xlx2，有，有 则称该效用函数为冒进型。则称该效用函数为冒进型。其效用曲线是一条其效用曲线是一条下凸下凸曲线，曲线，表示效用值随结果表示效用值随结果值的增加而增加，
29、且增加的速度越来越快。值的增加而增加，且增加的速度越来越快。反映了反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度。的态度。本讲稿第三十九页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系ux110中立型效用函数中立型效用函数保守型效用函数保守型效用函数冒进型效用函数冒进型效用函数本讲稿第四十页，共五十九页2.2.3 效用与风险的关系效用与风险的关系4.混合型效用函数混合型效用函数三种基本效用函数的混合，如：三种基本效用函数的混合，如：ux110混合型效用函数混合型效用函数表示当表示当xx0时，即结时，即结果值不大时，决策者果值不大时
30、，决策者具有一定冒险精神；具有一定冒险精神；当当xx0时，即结果值时，即结果值较大时，决策者对风较大时，决策者对风险转而持谨慎态度。险转而持谨慎态度。x0本讲稿第四十一页，共五十九页2.3 效用函数表效用函数表一、效用函数表的构造一、效用函数表的构造实际构造效用函数时，取实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲定出效用曲线上的线上的26（64）个点，效用函数的精度已）个点，效用函数的精度已经足够。经足够。书后附表书后附表6给出了给出了n=6对于不同的权衡指标对于不同的权衡指标值值(0.5)的效用函数值。的效用函数值。0.5时时，对应的是冒进（下凸）型效用函对应的是冒进（下凸）型效用函数，效用函数
31、值无法直接查表数，效用函数值无法直接查表。本讲稿第四十二页，共五十九页2.3 效用函数表效用函数表一、效用函数表的构造一、效用函数表的构造可以证明：可以证明：0.5的效用曲线的效用曲线u(x)与与=1的的效效用曲线用曲线u(x)是关于直线是关于直线u=x对称的。因此，对称的。因此，0.5的效用函数值可以按下面的方法求的效用函数值可以按下面的方法求得：得：u(x)1 u(1x)具体步骤见教材具体步骤见教材P62。注：注：查表时在给定的查表时在给定的列若没有对应的列若没有对应的x值，值，则找出与之相邻的两个值则找出与之相邻的两个值x1、x2，查出对，查出对应的效用值后用线性内插的方法应的效用值后用
32、线性内插的方法确定确定u(x)。本讲稿第四十三页，共五十九页2.3 效用函数表效用函数表二、效用函数表的使用二、效用函数表的使用例例2.1某企业欲投产一种新产品，有三种方某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。已知市场存在三种状态：畅案可供选择。已知市场存在三种状态：畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：决策者认为：决策者认为：o4.5（0.5,20；0.5,5）本讲稿第四十四页，共五十九页例例2.1试求该企业决策者的效用矩阵。试求该企业决策者的效用矩阵。解：解：o*max oij
33、20，o0 min oij 5u(o*)=1，u(o0)=0将决策矩阵的结果值归一化将决策矩阵的结果值归一化：得归一化后的决策矩阵为：得归一化后的决策矩阵为：本讲稿第四十五页，共五十九页例例2.1试求该企业决策者的效用矩阵。试求该企业决策者的效用矩阵。由由 o4.5（0.5,20；0.5,5）得：得：查查P369附表附表6，0.38 所在列，以所在列，以x220.5为为例例：0.490621 x220.5 0.503698而而u(0.490621)0.65625，u(0.503698)0.671875用线性内插法：用线性内插法：解得解得u(x22)0.6675。本讲稿第四十六页，共五十九页例例
34、2.1试求该企业决策者的效用矩阵。试求该企业决策者的效用矩阵。同理得：同理得：u(x11)0.7300，u(x12)0.6091，u(x13)0.4306，u(x31)0.8742u(x32)0.5596，u(x33)0.2068且且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0得决策者的效用矩阵为：得决策者的效用矩阵为：本讲稿第四十七页，共五十九页例例2.2在上例中，若在上例中，若决策者认为：决策者认为：o11.25（0.5,20；0.5,5）试求该企业决策者的效用矩阵。试求该企业决策者的效用矩阵。解：解：同上例方法同上例方法得归一化后的决策矩阵为得归一化后的决策矩阵为：本讲稿第四十
35、八页，共五十九页例例2.2由由 o11.25（0.5,20；0.5,5）得：得：查查P369附表附表6，1-0.65=0.35 所在列，以所在列，以x320.44为为例例，u(x32)1u(1x32)1 u(0.56)：0.53689 0.56 0.5775而而u(0.53689)0.734375，u(0.5775)0.75用线性内插法解得用线性内插法解得u(0.56)0.7433，因此：，因此：u(x32)1 u(0.56)0.2567本讲稿第四十九页，共五十九页例例2.2同理得：同理得：u(x11)0.3819，u(x12)0.2598，u(x13)0.1271，u(x22)0.2920u
36、(x31)0.5725，u(x33)0.0251且且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0得决策者的效用矩阵为：得决策者的效用矩阵为：本讲稿第五十页，共五十九页2.4 效用函数的曲线拟合效用函数的曲线拟合前面讨论了针对特定的结果值，如何测定前面讨论了针对特定的结果值，如何测定其效用，我们得到的只是一些离散的效用其效用，我们得到的只是一些离散的效用值，要得到连续的效用函数，则需要用曲值，要得到连续的效用函数，则需要用曲线拟合的方法。线拟合的方法。常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形式线性函数型线性函数型 u(x)c1a1（xc2）其中其中c1、a1、c2为待定参数。为待定参数。前面
37、查表时用内插法确定某些效用值，实前面查表时用内插法确定某些效用值，实际上就相当于效用函数为分段线性函数。际上就相当于效用函数为分段线性函数。本讲稿第五十一页，共五十九页2.4 效用函数的曲线拟合效用函数的曲线拟合常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形式指数函数型指数函数型 其中其中ci、ai（i1，2，3）均为待定参数。）均为待定参数。双指数函数型双指数函数型 指数加线性函数型指数加线性函数型本讲稿第五十二页，共五十九页2.4 效用函数的曲线拟合效用函数的曲线拟合常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形式幂函数型幂函数型 其中其中c1、a1、c2 为待定参数。为待定参数。不论采用哪种形式的函数，一般都尽
38、可能化为线性不论采用哪种形式的函数，一般都尽可能化为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。函数通过最小二乘法确定待定参数。对数函数型对数函数型本讲稿第五十三页，共五十九页2.4 效用函数的曲线拟合效用函数的曲线拟合2.4.1幂函数型效用曲线的拟合幂函数型效用曲线的拟合幂函数的一般形式幂函数的一般形式yta（0a1）当当0a1时，幂函数曲线是上凸的。在时，幂函数曲线是上凸的。在区间（区间（0，）上，曲线的曲率是变化的，）上，曲线的曲率是变化的，因此为了取得最佳的曲线拟合效果，一般因此为了取得最佳的曲线拟合效果，一般取幂函数曲线的某一段取幂函数曲线的某一段(待定待定)，作为效用，作为效用函数的近似曲
39、线。函数的近似曲线。为此，作坐标平移变换：为此，作坐标平移变换：参见教材参见教材P66图图2.6本讲稿第五十四页，共五十九页2.4.1幂函数型效用曲线的拟合幂函数型效用曲线的拟合幂函数型的效用函数幂函数型的效用函数坐标变换后得：坐标变换后得：Y-ca(Tc)a（0a1）令：令：且且Tx，则：，则：其中其中b、c为待定常数，这就是幂函数型的效用函为待定常数，这就是幂函数型的效用函数表达式。当数表达式。当a取特定值时，可设法用线性回归的取特定值时，可设法用线性回归的方法定出方法定出b，c。本讲稿第五十五页，共五十九页2.4.1幂函数型效用曲线的拟合幂函数型效用曲线的拟合线性回归确定参数线性回归确定
40、参数以以a=0.5为例为例得到一个待定的线性函数得到一个待定的线性函数ZABu(x)若已知若干组若已知若干组(xi,ui)可由最小二乘法定出可由最小二乘法定出A、B，进，进而得出拟合的效用函数（过程略）。而得出拟合的效用函数（过程略）。移项后两边平方，整理得移项后两边平方，整理得ZAB本讲稿第五十六页，共五十九页2.4 效用函数的曲线拟合效用函数的曲线拟合2.4.2对数函数型效用曲线的拟合对数函数型效用曲线的拟合对数函数的一般形式对数函数的一般形式ylnt（0t+）对数函数曲线是上凸的。在区间（对数函数曲线是上凸的。在区间（0,+）上，曲线的曲率是变化的，因此为了取得上，曲线的曲率是变化的，因
41、此为了取得最佳的曲线拟合效果，一般取对数函数曲最佳的曲线拟合效果，一般取对数函数曲线的某一段线的某一段(待定待定)，作为效用函数的近似，作为效用函数的近似曲线。曲线。为此，作坐标平移变换：为此，作坐标平移变换：参见教材参见教材P68图图2.7本讲稿第五十七页，共五十九页2.4.2对数函数型效用曲线的拟合对数函数型效用曲线的拟合对数函数型的效用函数对数函数型的效用函数坐标变换后得：坐标变换后得：Y-lncln(Tc)令：令：且且Tx，则：，则：其中其中a、b、c为待定常数，这就是对数函数型的为待定常数，这就是对数函数型的效用函数表达式。其中效用函数表达式。其中c的值可由的值可由u(1)和和u()确确定，然后用线性回归的方法定出定，然后用线性回归的方法定出a，b。X本讲稿第五十八页，共五十九页2.4.2对数函数型效用曲线的拟合对数函数型效用曲线的拟合参数的确定参数的确定由由u(1)1和和u()0.5得：得：即：即：两式相除：两式相除：本讲稿第五十九页，共五十九页