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1、第二章第四节函数的奇偶性及周期性本讲稿第一页，共五十三页 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性.本讲稿第二页，共五十三页怎怎 么么 考考1.函数的奇偶性是高考考查的热点函数的奇偶性是高考考查的热点2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问 题、题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问 题是重题是重 点，也是难点点，也是难点3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知题型以选择题和填空题为主，还可与
2、函数单调性等其他知 识点交汇命题识点交汇命题.本讲稿第三页，共五十三页本讲稿第四页，共五十三页一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性奇偶性奇偶性定义定义图象特点图象特点偶函数偶函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有 ，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数关于关于 对称对称奇函数奇函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有 ，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数关于关于 对称对称f(x)f(x)f(x)f(x)y轴轴原点原点本讲稿第五页，共五十三页二、周期性二、周期性1周期函数周期函数对于函数对于函数y
3、f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定义取定义域内的任何值时，都有域内的任何值时，都有 ，那么就称函数，那么就称函数yf(x)为为周期函数，称周期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期f(xT)f(x)2最小正周期最小正周期如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中 的正数，那的正数，那么这个么这个 就叫做就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期存在一个最小存在一个最小最小正数最小正数本讲稿第六页，共五十三页本讲稿第七页，共五十三页本讲稿第八页，共五十三页答案：答案：C本讲稿第九页，共五十三页本讲稿第十页，共五十三页答案：答案：B本讲稿
4、第十一页，共五十三页答案：答案：B3(教材习题改编教材习题改编)已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)，满足，满足f(x4)f(x)，则，则f(8)的值为的值为()A1 B0C1 D2解析：解析：因因f(x)为奇函数且为奇函数且f(x4)f(x)f(0)0，T4.f(8)f(0)0.本讲稿第十二页，共五十三页答案：答案：(2)(3)解析：解析：由奇偶函数的定义知：由奇偶函数的定义知：(1)为偶函数；为偶函数；(2)(3)为奇函数；为奇函数；(4)既不是偶函数，也不是奇函数既不是偶函数，也不是奇函数本讲稿第十三页，共五十三页答案：答案：95(2011广东高考广东高考)设函数设函数f(
5、x)x3cos x1.若若f(a)11，则则f(a)_.解析：解析：观察可知，观察可知，yx3cos x为奇函数，且为奇函数，且f(a)a3cos a111，a3cos a10.则则f(a)a3cos a11019.本讲稿第十四页，共五十三页本讲稿第十五页，共五十三页 奇、偶函数的有关性质奇、偶函数的有关性质(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对轴对称；反之亦然；称；反之亦然；本讲稿第十六页，共五十三页(3)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，则f(
6、0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反本讲稿第十七页，共五十三页本讲稿第十八页，共五十三页精析考题精析考题例例1(2011广东高考广东高考)设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶函数和上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是奇函数，则下列结论恒成立的是 ()A|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数 B|f(x)|
7、g(x)是偶函数是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数是奇函数 Df(x)|g(x)|是偶函数是偶函数本讲稿第十九页，共五十三页答案答案 D自主解答自主解答设设F(x)f(x)|g(x)|，由，由f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶上的偶函数和奇函数，得函数和奇函数，得F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)，f(x)|g(x)|是偶函数是偶函数本讲稿第二十页，共五十三页巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)1(2011台州一模台州一模)下列给出的函数中，既不是奇下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是函数也不是偶函数的是()Ay2|
8、x|Byx2xCy2x Dyx3本讲稿第二十一页，共五十三页答案：答案：B解析：解析：y2|x|是偶函数，是偶函数，y2x是奇函数，是奇函数，yx3是奇函数，是奇函数，yx2x既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数本讲稿第二十二页，共五十三页2(2012丽水模拟丽水模拟)若函数若函数f(x)3x3x与与g(x)3x3x的定义域均为的定义域均为R，则，则()Af(x)与与g(x)均为偶函数均为偶函数Bf(x)为偶函数，为偶函数，g(x)为奇函数为奇函数Cf(x)与与g(x)均为奇函数均为奇函数Df(x)为奇函数，为奇函数，g(x)为偶函数为偶函数本讲稿第二十三页，共五十三页解析：解析：
9、由由f(x)3x3xf(x)可知可知f(x)为偶函数，由为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知可知g(x)为奇函数为奇函数答案：答案：B本讲稿第二十四页，共五十三页本讲稿第二十五页，共五十三页本讲稿第二十六页，共五十三页冲关锦囊冲关锦囊 利用定义判断函数奇偶性的方法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为 奇函数或偶函数的必要条件奇函数或偶函数的必要条件(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)，或，或f(x)f(x)是否对定义域内
10、的每一个是否对定义域内的每一个x恒成立恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与与f(x)的关的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性其奇偶性.本讲稿第二十七页，共五十三页本讲稿第二十八页，共五十三页自主解答自主解答法一：法一：f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，且且x0时，时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.本讲稿第二十九页，共五十三页答案答案 A法二：法二：设设x0，
11、则，则x0，f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且x0时，时，f(x)2x2x，f(x)2(x)2(x)2x2x，又又f(x)f(x)，f(x)2x2x，f(1)21213.本讲稿第三十页，共五十三页本讲稿第三十一页，共五十三页答案答案B本讲稿第三十二页，共五十三页本例的条件不变，若本例的条件不变，若n2且且nN*，试比较，试比较f(n)、f(1n)、f(n1)与与f(n1)解：解：因为因为f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(n)f(n)f(1n)f(n1)又因为函数又因为函数yf(x)在在(0，)为减函数，且为减函数，且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)
12、f(n)f(n1)f(1n)本讲稿第三十三页，共五十三页答案：答案：0解析：解析：当当x0，f(x)x2x，f(x)ax2bx，而，而f(x)f(x)，即即x2xax2bx，a1，b1，故，故ab0.本讲稿第三十四页，共五十三页5(2012皖南八校联考皖南八校联考)已知定义在已知定义在R上的奇函数满上的奇函数满足足f(x)x22x(x0)，若，若f(3a2)f(2a)，则实数，则实数a的取值的取值范围是范围是_本讲稿第三十五页，共五十三页解析：解析：因为因为f(x)x22x在在0，)上是增函数，又因为上是增函数，又因为f(x)是是R上的奇函数，所以函数上的奇函数，所以函数f(x)是是R上的增函
13、数，要使上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需，只需3a22a，解得，解得3a1.答案：答案：(3,1)本讲稿第三十六页，共五十三页冲关锦囊冲关锦囊 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于性产生关于f(x)的方程，从而可得的方程，从而可得f(x)的解析式的解析式本讲稿第三十七页，共五十三页(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用常常
14、采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值恒等式，由系数的对等性可得知字母的值(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反的单调性相反.本讲稿第三十八页，共五十三页本讲稿第三十九页，共五十三页答案答案 A本讲稿第四十页，共五十三页6(2012宝鸡模拟宝鸡模拟)已知已知f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期的周期函数，且当函数，且当0 x2时，时，f(x)x3x
15、，则函数，则函数yf(x)的图象的图象在区间在区间0,6上与上与x轴的交点的个数为轴的交点的个数为 ()A6 B7C8 D9巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)本讲稿第四十一页，共五十三页解析：解析：因为当因为当0 x2时，时，f(x)x3x，所以，所以f(0)0，又因为又因为f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期函数，所以的周期函数，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0，又因为，又因为f(1)0，所以，所以f(3)0，f(5)0，故函数故函数yf(x)的图象在区间的图象在区间0,6上与上与x轴的交点有轴的交点有7个个答案：答案：B本讲稿第四十
16、二页，共五十三页7(2011南昌第一次模拟南昌第一次模拟)已知已知f(x)是定义在是定义在R上的偶函上的偶函数，对任意数，对任意xR都有都有f(x6)f(x)2f(3)，且，且f(1)2，则则(3)_，f(2 011)_.本讲稿第四十三页，共五十三页解析：解析：依题意得依题意得f(36)f(3)2f(3)，即有，即有f(3)f(3)2f(3)，所以，所以f(3)0，f(x6)f(x)，即函数，即函数f(x)是以是以6为周期的为周期的函数注意到函数注意到2 01163351，因此有，因此有f(2 011)f(1)f(1)2.答案：答案：02本讲稿第四十四页，共五十三页8(2011临沂一模临沂一模
17、)设定义在设定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x)f(x2)13，则，则f(x)的周期为的周期为_答案：答案：4本讲稿第四十五页，共五十三页冲关锦囊冲关锦囊本讲稿第四十六页，共五十三页 递推法：若递推法：若f(xa)f(x)，则，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期所以周期T2a.换元法：若换元法：若f(xa)f(xa)，令，令xat，xt a，则，则f(t)f(t2a)，所以周期，所以周期T2a.本讲稿第四十七页，共五十三页本讲稿第四十八页，共五十三页数学思想数学思想 方程思想在求函数解析方程思想在求函数解析式中的应用式中的应用本讲稿第四十九页，共五十三页本讲稿第
18、五十页，共五十三页答案：答案：D本讲稿第五十一页，共五十三页题后悟道题后悟道 本题考查了函数的奇偶性，求解利用了方程思想方程思本题考查了函数的奇偶性，求解利用了方程思想方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程系，列出方程(组组)、或者构造方程、或者构造方程(组组)，通过求方程，通过求方程(组组)、或讨论、或讨论方程方程(组组)的解的情况，使问题得以解决，方程思想应用非常普的解的情况，使问题得以解决，方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是求未知数，经常要列方程遍，在各类题目中，凡是求未知数，经常要列方程(组组)来求来求本题就是列关于本题就是列关于f(x)和和g(x)方程求方程求g(x)的题目的题目本讲稿第五十二页，共五十三页点击此图进入点击此图进入本讲稿第五十三页，共五十三页