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1、数学物理方程八 特本征值问题第1页，共30页，编辑于2022年，星期六h柱坐标一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标系中的拉普拉斯算子拉普拉斯算子：柱座标：球座标（见附录6）第2页，共30页，编辑于2022年，星期六二、拉普拉斯方程的分离变量1.球座标：分离变量第3页，共30页，编辑于2022年，星期六欧拉形方程a.解：第4页，共30页，编辑于2022年，星期六b.球方程再令第5页，共30页，编辑于2022年，星期六b1.自然的周期边界条件：b2.l-阶缔合勒让德勒让德方程第6页，共30页，编辑于2022年，星期六b3.l-阶勒让德勒让德方程u 是轴对称的，对的转动不改变 u。第7页，共3
2、0页，编辑于2022年，星期六2.柱座标：分离变量a.h第8页，共30页，编辑于2022年，星期六b.c1.第9页，共30页，编辑于2022年，星期六c2.c2.1.贝塞耳贝塞耳方程上下底的非齐次边界条件h第10页，共30页，编辑于2022年，星期六c2.2.虚宗量虚宗量贝塞耳贝塞耳方程上下底的齐次边界条件h第11页，共30页，编辑于2022年，星期六三、波动方程的分离变量a.令振动方程亥姆霍兹亥姆霍兹方程第12页，共30页，编辑于2022年，星期六四、热传导方程的分离变量a.令亥姆霍兹亥姆霍兹方程增长或衰变的方程第13页，共30页，编辑于2022年，星期六五、亥姆霍兹亥姆霍兹方程1.球座标球
3、贝塞耳球贝塞耳方程第14页，共30页，编辑于2022年，星期六它是 阶贝塞耳贝塞耳方程 第15页，共30页，编辑于2022年，星期六2.柱座标第16页，共30页，编辑于2022年，星期六上下底的齐次边界条件h第17页，共30页，编辑于2022年，星期六9.2 常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。对于复变函数：一、定义方程的常点 ：和 在其邻域解析。否则为奇点。二、常点邻域的级数解定理定理：方程的常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在唯一点解析解 满足初始条件 。由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：第18页，共30页，编辑于2022年，星期六三、勒让德方程度级数解
4、法化为标准形式：是方程度奇点在 点的邻域：1.级数解带入方程或第19页，共30页，编辑于2022年，星期六递推公式递推公式系数的两个序列两个积分常量第20页，共30页，编辑于2022年，星期六第21页，共30页，编辑于2022年，星期六是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？2.解的收敛性可以证明，当解 是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。由系数的递推关系 可知：当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。这样，得到 阶勒让德多项式。3.自然边界
5、条件解在 保持有限。确定了勒让德方程的解必须是多项式，必须是整数。“解在 保持有限”因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，是本征值。第22页，共30页，编辑于2022年，星期六9.4 施图姆刘维尔本征值问题 一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。一、施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔型方程：化为施图姆刘维尔型方程：即二阶常微分方程度最一般的形式：第23页，共30页，编辑于2022年，星期六例例1振动方程：A 为一常数。例例2勒让德方程和有限。例例3埃尔
6、米特方程增长不超过标准形式第24页，共30页，编辑于2022年，星期六例例：超几何方程：特点特点：端点是 的一级零点。自然边界条件决定：第25页，共30页，编辑于2022年，星期六二、本征值问题不加证明1.如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限 多个本征值：及无限多本征函数2.所有本征值证：证：第26页，共30页，编辑于2022年，星期六第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。第三类齐次边界条件：所以即3.对应于不同的本征值的 本征函数带权 正交：本征值与本征函数一一对应：第27页，共30页，编辑于2022年，星期六证：证：第一、第二类齐次边界条件：第28页，共30页，编辑于2022年，星期六第三类齐次边界条件：同样：4.本征函数族完备第29页，共30页，编辑于2022年，星期六三、广义傅立叶级数右边叫 的广义傅立叶级数基广义傅立叶系数由正交性模第30页，共30页，编辑于2022年，星期六