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1、数学建模常识与经验第1页，共22页，编辑于2022年，星期六一、什么是数学建模一、什么是数学建模数学建模竞赛：它名曰数学，当然要用到数学知数学建模竞赛：它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数识，但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数学竞赛）不同。学竞赛）不同。(建模赛场一览建模赛场一览)Match？Or Project？Case？它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、纯粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知医学、电子、农业、管理等各
2、学科、各领域的知识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，它涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体它涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域的局限。（的学科、领域的局限。（例如例如）第2页，共22页，编辑于2022年，星期六它要用到各方面的综合的知识，但还不限于此参赛选手不只是要有各方面的知识，还要驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的，还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的纯
3、知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点也就是不纯，综合就是不纯。“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”第3页，共22页，编辑于2022年，星期六二、相关的数学基础线性规划概率统计图论常微分方程最优化理论第4页，共22页，编辑于2022年，星期六三、如何组队及合作 根据数学建模竞赛章程，三人组成一队，这三人中必须一人数学基础较好，一人应用数学软件（如Matlab,lindo,maple等）和编程（如c,Matlab,vc+等）的能力较强，一人科技论文写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇论文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确。三人之间要能够配合得起来。若三人之间配合不好，会降低效率，导
4、致整个建模的失败。如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的一些知识，编程好的了解建模，搞论文写作也第5页，共22页，编辑于2022年，星期六要了解建模，这样会合作得更好。因为数学好的在建立模型方案时会考虑到编程的便利性，以利于编程；编程好的能够很好地理解模型，论文写作的能够更好、更完全地阐述模型。否则会出现建立的模型不利于编程，程序不能完全概括模型，论文写作时会漏掉一些不经意的东西。第6页，共22页，编辑于2022年，星期六在合作的过程中，最好是能够在三人中找出一个所谓的组长，即要能够总揽全局，包括任务的分配，相互间的合作和进度的安排。在建模过程中出现意见不统一如何处理？仅我个人的经验而言，除了
5、一般的理解与尊重外，我觉得最重要的一点就是“给我一 个相信你的理由”和“相信我，我的理由是”，不要作无谓的争论。第7页，共22页，编辑于2022年，星期六四、如何从建模例题中学习解题方法你们在看例题的时候，要看例题是如何着手的，即是如何切入，如何建立的方程等。第8页，共22页，编辑于2022年，星期六 数学建模方法一、机理分析法一、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。据来推导出模型。1.比例分析法比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。的方法。2.代数方法代数方法-求解离散问题（离散的数据、符号
6、、求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。图形）的主要方法。3.逻辑方法逻辑方法-是数学理论研究的重要方法，对社会是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。科中得到广泛应用。4.常微分方程常微分方程-解决两个变量之间的变化规律，解决两个变量之间的变化规律，第9页，共22页，编辑于2022年，星期六关键是建立瞬时变化率的表达式。5.偏微分方程-解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。二、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型1.回归分析法-用于对函数f（x）的一组观测值（xi
7、,fi）i=1,2,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。2.时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。3.回归分析法-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,n，确定函数的表达式，由第10页，共22页，编辑于2022年，星期六于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。4.时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。三、仿真和其他方法1.计算机仿真（模拟）-实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。离散系统仿真-有一组状态变量。连续系统仿真-有解析表达式或系统结构图。2.因子试验法-在系统上作局部试验，再根据试验结果进行
8、不断分析修改，求得所需的模型结构。第11页，共22页，编辑于2022年，星期六1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用M
9、atlab作为工具）作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用通常使用Lindo、Lingo软件实现）软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）备）计算机上
10、的十种武器：计算机上的十种武器：第12页，共22页，编辑于2022年，星期六5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使对于有些问题非常
11、有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）用）7、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）算法就需要额外编写库函数进行调用）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想
12、是非常重要的）进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）第13页，共22页，编辑于2022年，星期六9、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）级语言作为编程工具）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的
13、，这些图形如何展示图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处进行处理）理）第14页，共22页，编辑于2022年，星期六题型：赛题题型结构形式有三个基本组成部分：一、实际问题背景 1.涉及面宽-有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。2.一般都有一个比较确切的现实问题。二、若干假设条件 有如下几种情况：1.只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；2.给出若干实测或统计数据；3.给出若干参数或图形；4.蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以
14、根据自己收集或模拟产生数据。三、要求回答的问题 往往有几个问题（一般不是唯一的答案）:1.比较确定性的答案（基本答案）；2.更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。第15页，共22页，编辑于2022年，星期六赛题的评审 你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀。在这里，正确和错误是相对一大堆毛病，却仍不失为优秀。在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的。这在纯数学竞赛中是不可思的
15、，优秀和不优秀也是相对的。这在纯数学竞赛中是不可思议的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就议的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源非生命的资源”。第16页，共22页，编辑于2022年，星期六同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有
16、绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准。论文中各种不同数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。但如果你意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。第17页，共
17、22页，编辑于2022年，星期六这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：它看重的是三个步骤：1、建立模型：实际问题建立模型：实际问题数学问题；数学问题；2、数学解答：数学问题数学解答：数学问题数学解；数学解；3、模型检验：数学解模型检验：数学解实际问题的解决。实际问题的解决。如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，
18、当然就不能得到好的结果了。能得到好的结果了。第18页，共22页，编辑于2022年，星期六为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。模型，而不只是比赛解答数学模型。“模型模型”是是“建模建模”的结果，而的结果，而“建模建模”是建立模型的过程。竞赛的宗旨是建立模型的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要。所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、重要。所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷。虽
19、然你的模未能最后实现的想法写成论文，参加评卷。虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文。了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说，把这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说，把它称为它称为“数学建模竞赛数学建模竞赛”比比“数学模型竞赛数学模型竞赛”更贴切些。更贴切些。第19页，共22页，编辑于2022年，星期六如何写好数学建模竞赛答卷如何写好数学建模竞赛答卷第20页，共22页，编辑于2022年，星期六1.建模能力：这是比较模糊的
20、提法，主要是学生解决实际问题的能力。建模能力：这是比较模糊的提法，主要是学生解决实际问题的能力。2.想象力及洞察力：这是在建模过程中比较重要的能力，创造力的源想象力及洞察力：这是在建模过程中比较重要的能力，创造力的源泉来源于此。这项能力是要长期培养才能形成的。泉来源于此。这项能力是要长期培养才能形成的。3.分析问题的能力：要善于抓住问题的关键，把握问题的实质。从错分析问题的能力：要善于抓住问题的关键，把握问题的实质。从错综复杂的因素中找出线索的能力。综复杂的因素中找出线索的能力。4.逻辑推理能力及数学知识水平：建模所涉及到的数学知识要能够处逻辑推理能力及数学知识水平：建模所涉及到的数学知识要能
21、够处理。理。5.计算机建模能力：会充分利用现代化的工具计算机建模能力：会充分利用现代化的工具-计算机处理问题。计算机处理问题。6.自学能力和查找资料文献的能力：建模涉及的面广，因此要有广阔的知识面。自学能力和查找资料文献的能力：建模涉及的面广，因此要有广阔的知识面。要学会吸取信息，自我全面提高综合素质的能力。要学会吸取信息，自我全面提高综合素质的能力。7.团体合作能力：只有发挥集体力量才能更好地解决问题。团体合作能力：只有发挥集体力量才能更好地解决问题。8.其他能力：例如良好的心理、身体素质等。其他能力：例如良好的心理、身体素质等。返回第21页，共22页，编辑于2022年，星期六比如，有一年的
22、两个题，一个是要为我国足球队排比如，有一年的两个题，一个是要为我国足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计，你会怀专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计，你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学竞赛题了。再翻一翻各届国内外竞赛试题，就更是竞赛题了。再翻一翻各届国内外竞赛试题，就更是五花八门了。有动物保护、施肥方案、通讯网络、五花八门了。有动物保护、施肥方案、通讯网络、昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞机场的管理、蛋白质分子的结构、供电系统的修复、机场的管理、蛋白质分子的结构、供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划安排、奥运设施的选堆肥的制作、运煤车场的计划安排、奥运设施的选址，等等。你说这是数学竞赛题呢，还是物理、化址，等等。你说这是数学竞赛题呢，还是物理、化学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题呢呢？返回第22页，共22页，编辑于2022年，星期六