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1、第七节曲率第1页，共16页，编辑于2022年，星期二曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 一、弧微分 有向弧段 的值MM0(弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0 相反时s0 s0第2页，共16页，编辑于2022年，星期二上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式:或者 弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf
2、(x)第3页，共16页，编辑于2022年，星期二曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弯曲程度越大转角越大弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大转角相同弧段短的弯曲大1 1、曲率的定义、曲率的定义)二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式问题:怎样刻画曲线的弯曲程度？提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.第4页，共16页，编辑于2022年，星期二二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注注:直线上任意点处的曲率为 0!转角为第5页，共16
3、页，编辑于2022年，星期二例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.第6页，共16页，编辑于2022年，星期二有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由第7页，共16页，编辑于2022年，星期二注:参数方程下曲率的计算第8页，共16页，编辑于2022年，星期二 例2 计算等边双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12解 第9页，共16页，编辑于2022年，星期二 例3 抛物线yax2bxc上哪一点处
4、的曲率最大？解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|第10页，共16页，编辑于2022年，星期二例例4.求椭圆在t=0处的曲率.解解:故曲率为在t=0处,即在点(a,0)的曲率为第11页，共16页，编辑于2022年，星期二三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M
5、处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使第12页，共16页，编辑于2022年，星期二 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注注:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).第13页，共16页，编辑于2022年，星期二 例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得第14页，共16页，编辑于2022年，星期二内容小结内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径第15页，共16页，编辑于2022年，星期二 作业：作业：p-175 习题习题3-7 1,；3；4;5 第16页，共16页，编辑于2022年，星期二