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1、第54讲随机抽样正态分布1本讲稿第一页，共四十六页第七单元计算原理、概率与统计本讲稿第二页，共四十六页第第54讲讲随机抽样、正态分布随机抽样、正态分布本讲稿第三页，共四十六页1.了了解解分分布布的的意意义义和和作作用用，会会列列频频率率分分布布表表，会会画画频频率率分分布布直直方方图图、频频率率折折线线图、茎叶图，理解它们各自的特点图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理理解解样样本本数数据据标标准准差差的的意意义义和和作作用用，会计算数据标准差会计算数据标准差.3.能能从从样样本本数数据据中中提提取取基基本本的的数数字字特特征征（如平均数、标准差），并做出合理的解释（如平均数、标准差），并做出
2、合理的解释.本讲稿第四页，共四十六页4.会会用用样样本本的的频频率率分分布布估估计计总总体体分分布布,会会用用样样本本的的基基本本数数字字特特征征估估计计总总体体的的基基本本数数字字特特征征,理解用样本估计总体的思想理解用样本估计总体的思想.5.会会用用随随机机抽抽样样的的基基本本方方法法和和样样本本估估计计总体的思想，解决一些简单的实际问题总体的思想，解决一些简单的实际问题.6.通通过过实实际际问问题题，借借助助直直观观（如如实实际际问问题题的的直直方方图图），认认识识正正态态分分布布曲曲线线的的特特点点及及曲曲线线所表示的意义所表示的意义.本讲稿第五页，共四十六页1.某某初初级级中中学学共
3、共有有30个个班班，其其中中初初一一有有12个个班班，初初二二有有12个个班班，初初三三有有6个个班班.现现从从中中抽抽出出5个个班班进进行行调调查查，则则应应在在初初三三6个个班班中中抽抽取取 个个班班.12.把数据把数据x1,x2,xn分成若干组分成若干组,已知某数已知某数xi的频数和的频数和频率分别为频率分别为4和和0.125,则则n的值是的值是()CA.16 B.24C.32 D.64本讲稿第六页，共四十六页3.数数据据5，10，73，1，3，105，111的的中中位位数数与与极差的差为极差的差为 .-100 因因为为中中位位数数是是10，极极差差是是111-1=110，故故所求的值为
4、所求的值为10-110=-100.4.将一组数据同时减去将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，得到一组新数据,若若原数据的平均数、方差分别为、原数据的平均数、方差分别为、s2,则新数据的则新数据的平均数是平均数是 ,方差是方差是 .-3.1s2本讲稿第七页，共四十六页 设设=(x1+x2+xn),则则 =(x1-3.1)+(x2-3.1)+(xn-3.1)=-3.1.s2=(xi-)2=(xi-3.1)-(-3.1)2=(xi-)2=s2.本讲稿第八页，共四十六页5.随机变量随机变量的概率密度函数为的概率密度函数为(x)=x(-,+).若若N(0,1)，且，且=a+b(a0),则则=()A
5、.B.C.D.A本讲稿第九页，共四十六页 因为因为E=0,D=1,E=-5,D=4,而而E=E(a+b)=aE+b,D=D(a+b)=a2D.-5a+b=0 a=4a2=1 b=,所以所以=+，故选，故选A.又又a0,所以所以,解得解得本讲稿第十页，共四十六页6.已知正态曲线已知正态曲线,(x)=,当当=时，曲线最时，曲线最高点的纵坐标是标准正态曲线最高点的纵坐标高点的纵坐标是标准正态曲线最高点的纵坐标的的 倍倍.当当=时时，正正态态曲曲线线最最高高点点的的纵纵坐坐标标为为 ，而而标标准准正正态态曲曲线线最最高高点点的的纵纵坐标为坐标为 ，故答案是，故答案是 .本讲稿第十一页，共四十六页1.数
6、据的基本数字特征数据的基本数字特征(1)平平均均数数：一一组组数数据据的的平平均均数数，记记为为.设设有有n个数据个数据x1,x2,xn，则平均数为，则平均数为 =.(2)中中位位数数：一一组组数数据据按按照照从从小小到到大大或或从从大大到到小小的的顺顺序序进进行行排排列列时时，处处于于中中间间位位置置的的数数.当当这这组组数数据据的的个个数数为为奇奇数数时时，中中位位数数为为中中间间一一个个数数；当当这这组组数数据据的的个个数数为为偶偶数数时时，中中位位数数为中间的两个数的平均数为中间的两个数的平均数.本讲稿第十二页，共四十六页(3)众数众数:一组数据中出现次数最多的数一组数据中出现次数最多
7、的数.(4)极差极差:一组数据中最大数与最小数的差一组数据中最大数与最小数的差.(5)方方差差:一一组组数数据据中中所所有有数数与与平平均均数数的的差差的的平平方和的平均数方和的平均数,记为记为s2，即即s2=.(6)标准差：方差的算术平方根标准差：方差的算术平方根,记作记作s.2.主要统计图表主要统计图表(1)基基本本统统计计图图表表：象象形形、条条形形、折折线线、扇扇形统计图形统计图.本讲稿第十三页，共四十六页(2)频率分布直方图的画图步骤：频率分布直方图的画图步骤：()求求极极差差；()决决定定组组距距与与组组数数；()将将数数据据分分组组；()列列频频率率分分布布表表；()画画频频率率
8、分分布布直直方方图图(以频率组距为纵坐标以频率组距为纵坐标).(3)频频率率分分布布折折线线图图：连连接接频频率率分分布布直直方方图图中中各小长方形上端的中点所得的折线各小长方形上端的中点所得的折线.(4)总总体体密密度度曲曲线线：随随着着样样本本容容量量的的增增加加,作作频频率率分分布布折折线线图图时时所所分分的的组组数数增增加加,组组距距减减小小,相相应应的的频频率率折折线线图图会会越越来来越越接接近近于于一一条条光光滑滑曲曲线线,则则称称这条光滑曲线为总体密度曲线这条光滑曲线为总体密度曲线.本讲稿第十四页，共四十六页(5)茎茎叶叶图图：中中间间的的数数字字表表示示数数据据的的十十位位数数
9、字字，旁旁边边的的数数字字分分别别表表示示两两组组数数据据中中各各个个数数据据的的个个位位数字数字.3.抽样方法抽样方法(1)简简单单随随机机抽抽样样：从从含含有有N个个个个体体的的总总体体中中逐逐个个不不放放回回地地抽抽取取n个个个个体体作作为为样样本本(nN)，如如果果每每次次抽抽取取时时总总体体内内的的各各个个个个体体被被抽抽到到的的机机会会都都相相等等，就就把把这这种种抽抽样样方方法法叫叫做做 .有两种常用方法：有两种常用方法：简单随机抽样简单随机抽样本讲稿第十五页，共四十六页():就就是是把把总总体体中中的的N个个个个体体编编号号,把把号号码码写写在在号号签签上上,将将号号签签放放在
10、在一一个个容容器器中中,搅搅拌拌均均匀匀后后，每每次次从从中中取取出出一一个个号号签签,连连续续抽抽取取n次次,就就得得到一个容量为到一个容量为n的样本的样本.():利利用用随随机机数数表表、随随机机数数骰骰子或计算机产生的随机数进行抽样子或计算机产生的随机数进行抽样.(2)系统抽样：按下列步骤进行抽样：系统抽样：按下列步骤进行抽样：()先先将将总总体体的的N个个个个体体编编号号；()确确定定分分段段间间隔隔k，对对编编号号进进行行分分段段；()在在第第1段段用用简简单单随随机机抽抽样样确确定定第第一一个个个个体体编编号号l(lk);()按按照照一一定定的规则抽取样本的规则抽取样本.抽签法抽签
11、法随机数表法随机数表法本讲稿第十六页，共四十六页 (3)分层抽样分层抽样:即即 .4.正态分布正态分布 (1)如果随机变量如果随机变量的概率密度为的概率密度为 ,(x)=.其其中中、分分别别表表示示总总体体的的平平均均数数与与标标准准差差，称称服服从从参参数数为为、的的正正态态分分布布，记记作作N(,2),函函数数图图象象称称为为正正态态密密度度曲曲线线，简简称称正正态态曲曲线线.在抽样时在抽样时,将总体分成将总体分成互不交叉的层互不交叉的层,然后按照一定的比例然后按照一定的比例,从各层从各层独立地抽出一定数量的个体独立地抽出一定数量的个体,将各层取出的将各层取出的个体合在一起作为样本个体合在
12、一起作为样本(x(-,+)本讲稿第十七页，共四十六页一一般般的的，如如果果对对于于任任何何实实数数ab,随随机机变变量量满满 足足 P(ab)=,(x)dx，则则 称称 的的 分分 布布 为为 .(2)标准正态分布标准正态分布在在正正态态分分布布中中,当当=,=时时,正正态态总总体体称称为为标标准准正正态态总总体体，正正态态分分布布N(0,1)，称称为为标标准准正正态分布，记作态分布，记作N(0,1).(3)正态曲线的性质正态曲线的性质()曲线在曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交；轴不相交；()曲线关于直线曲线关于直线x=对称；对称；正态分布正态分布01本讲稿第十八页，共四十六页（）曲
13、线在）曲线在x=时位于最高点；时位于最高点；（）当当x时时,曲曲线线下下降降,并并且且当当曲曲线线向向左左、右右两两边边无无限限延延伸伸时时,以以x轴为渐近线向它无限靠近；轴为渐近线向它无限靠近；（）当当一一定定时时，曲曲线线的的形形状状由由确确定定，越越大大，曲曲线线越越“矮矮胖胖”，表表示示总总体体的的分分布布越越分分散散；越越小小，曲曲线线越越“瘦瘦高高”，表表示示总总体体的的分分布布越集中越集中.(4)若若N(,2),则则E=,D=2.本讲稿第十九页，共四十六页(5)若若XN(,2),则则P(-X+i)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544,P(-3X+3)=0.9974.(6
14、)通通常常认认为为服服从从正正态态分分布布N(,2)的的随随机机变变量量X只只取取 ,并并简简称称之之为为3原则原则.(-3,+3)之间的值之间的值1111本讲稿第二十页，共四十六页题型一题型一 抽样方法抽样方法例例1 在在我我国国东东南南沿沿海海有有60个个人人均均GDP在在3万万元元以以上上的的城城市市，其其中中人人均均GDP在在34万万元元之之间间的的有有36个个，在在45万万元元之之间间的的有有18个个，在在5万万元元以以上上的的有有6个个.国国家家环环保保总总局局欲欲用用分分层层抽抽样样从从中中随随机机抽抽取取部部分分城城市市进进行行环环境境调调查查，若若抽抽取取的的人人均均GDP在
15、在45万万元元之之间间的的城城市市个个数数为为3，则则抽抽取取的的人人均均GDP在在34万元之间的城市个数为万元之间的城市个数为.本讲稿第二十一页，共四十六页 根根据据分分层层抽抽样样的的特特征征，在在各各层层抽抽取取的的比比例例是是相相同同的的，故故可可先先依依据据已已知知求求出出这这个个比例，再求解比例，再求解.抽抽取取的的人人均均GDP在在45万万元元之之间间的的城城市市的的比比例例为为 ，故故抽抽取取的的人人均均GDP在在34万万元元之之间间的的城城市市的的比比例例也也是是 ，则则抽抽取取的的城城市市个个数数为为36 .分层抽样在各层抽取样本的比例是相等分层抽样在各层抽取样本的比例是相
16、等的的,这是解决分层抽样计算问题的主要依据这是解决分层抽样计算问题的主要依据.本讲稿第二十二页，共四十六页题型二题型二 正态分布正态分布例例2 某某 批批 材材 料料 的的 强强 度度 服服 从从 正正 态态 分分 布布N(200,182)，任任取取一一件件这这种种材材料料，强强度度在在164236的概率是多少？的概率是多少？依题意，得依题意，得=200,=18.则则P(164236)=P(200-218200+218)P(-2+2)=0.9544.故故任任取取一一件件材材料料,其其强强度度在在164236的的概概率率是是0.9544.求求此此概概率率问问题题需需化化为为服服从从正正态态分分布
17、布的随机变量的几种特殊值的概率形式的随机变量的几种特殊值的概率形式.本讲稿第二十三页，共四十六页 设设在在一一次次数数学学考考试试中中，某某班班学学生生的的分分数数服服从从N(110,202)，且且已已知知满满分分为为150分分，这这个个班班的的学学生生共共50人人，求求这这个个班班在在这这次次考考试试中中不不小小于于90分分的的人人数数和和超超过过130分分以以上的人数上的人数.本讲稿第二十四页，共四十六页 因为因为N(110,202),则则=110,=20,P(110-20130)=12(1-0.6826)=0.1587.P(90)=0.6826+0.1587=0.8413.故不小于故不小
18、于90分的人数为分的人数为500.841342(人人).超过超过130分以上的人数为分以上的人数为500.15878(人人).求此概率需将问题化为正态随机变求此概率需将问题化为正态随机变量的几种特殊值的概率形式，然后利用对量的几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解称性求解.本讲稿第二十五页，共四十六页题型三题型三 频率分布表与频率分布直方图频率分布表与频率分布直方图例例3 在在生生产产过过程程中中，测测得得纤纤维维产产品品的的纤纤度度(表表示示纤纤维维粗粗细细的的一一种种量量)共共有有100个个数数据据，数数据据分分组组如下表如下表分组1.30,1.34)1.34,1.38)1.38,1.4
19、2)1.42,1.46)1.46,1.50)1.50,1.54)合计频数4253029102100本讲稿第二十六页，共四十六页(1)完完成成频频率率分分布布表表，并并在在给给定定的的坐坐标标系系中中画画出频率分布直方图；出频率分布直方图；分组频数频率1.30,1.34）41.34,1.38）251.38,1.42）301.42,1.46）291.46,1.50）101.50,1.54)2合计100本讲稿第二十七页，共四十六页本讲稿第二十八页，共四十六页(2)估估计计纤纤度度落落在在1.38,1.50)中中的的概概率率及纤度小于及纤度小于1.40的概率是多少？的概率是多少？(3)统统计计方方法法
20、中中，同同一一组组数数据据常常用用该该组组区区间间的的中中点点值值（例例如如区区间间1.30,1.34）的的中中点点值值是是1.32）作作为为代代表表.据据此此，估估计计纤纤度度的期望的期望.本讲稿第二十九页，共四十六页分组频数频率1.30,1.34）40.041.34,1.38）250.251.38,1.42）300.31.42,1.46）290.291.46,1.50）100.101.50,1.54)20.02合计1001.00(1)频率分布表为：频率分布表为：本讲稿第三十页，共四十六页本讲稿第三十一页，共四十六页(2)纤纤度度落落在在1.38,1.50）中中的的概概率率约约为为0.30+
21、0.29+0.100.69，纤纤度度小小于于1.40的的概概率率约为约为0.04+0.25+120.300.44.(3)总总 体体 数数 据据 的的 期期 望望 约约 为为1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.02=1.4088.本讲稿第三十二页，共四十六页 1.解解答答本本题题时时，第第(1)问问首首先先需需计计算算出出每每组组的的频频率率（利利用用频频数数100）；第第(2)问问注注意意1.38,1.42)中中既既有有小小于于1.40，又又有有大大于于1.40的的，可可以以认认为为各各一一半半；第第(3)问问先先计计算算出出中
22、中点的概率，然后根据期望的定义求解点的概率，然后根据期望的定义求解.2.本本题题主主要要考考查查频频率率分分布布直直方方图图、频频率率、期期望望等等概概念念和和用用样样本本频频率率估估计计整整体体分分布布的的统统计计方方法法，考考查查运运用用概概率率、统统计计知知识识解解决决实实际际问题的能力问题的能力.本讲稿第三十三页，共四十六页题型三题型三 样本的数字特征估计总体样本的数字特征估计总体例例3 对对甲甲、乙乙两两名名自自行行车车赛赛手手在在相相同同条条件件下下进进行行了了6次测试，测得他们的最大速度次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：的数据如下表：(1)画出茎叶图画出茎叶图,由
23、茎叶图你能获得哪些信息由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分分别别求求出出甲甲、乙乙两两名名自自行行车车赛赛手手最最大大速速度度(m/s)数数据据的的平平均均数数、中中位位数数、标标准准差差，并并判判断断选选谁谁参加比赛更合适参加比赛更合适.甲273830373531乙332938342836本讲稿第三十四页，共四十六页 (1)画茎叶图画茎叶图,中间数为数据的十位数字中间数为数据的十位数字:从从这这个个茎茎叶叶图图上上可可以以看看出出,甲甲、乙乙的的最最大大速速度度情情况况都都是是分分布布均均匀匀的的,只只是是乙乙更更好好一一些些;乙乙的的中中位位数数是是33.5,甲甲的的中中位位数数是是33.因
24、因此此,乙乙发发挥比较稳定挥比较稳定,总体情况比甲好总体情况比甲好.(2)=33，=33；s甲甲=3.96,s乙乙=3.56;甲的中位数是甲的中位数是33，乙的中位数是，乙的中位数是33.5.综合比较，选乙参加比赛较为合适综合比较，选乙参加比赛较为合适.本讲稿第三十五页，共四十六页 在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图况得到如图所示的茎叶图.(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定;(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好.本讲稿第三十六页，共四十六页
25、茎茎叶叶图图的的直直观观形形状状像像横横放放的的频频率率分分布布直直方方图图，且且保保留留了了所所有有原原始始数数据据的的信信息息，所所以以从从数数与与形形的的特特征征来来看看，甲甲和和乙乙的的得得分分都都是是对对称称的的，叶叶的的分分布布是是“单单峰峰”的的，但但甲甲全全部部的的叶叶都都集集中中在在茎茎2上上，而而乙乙只只有有57的的叶叶集集中中在在茎茎2上上，这这说说明明甲甲发发挥得更稳定挥得更稳定.本讲稿第三十七页，共四十六页(2)=25,=25,=(20-25)2+(21-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(27-25)2+(28-25)2+(28-25)29.14,=(1
26、7-25)2+(23-25)2+(24-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(29-25)2+(31-25)217.43.因为因为 =,所以甲发挥得更好所以甲发挥得更好.本讲稿第三十八页，共四十六页1.统统计计的的基基本本思思想想方方法法是是用用样样本本估估计计总总体体，即即用用局局部部推推断断整整体体，这这就就要要求求样样本本应应具具有有很很好好的的代代表表性性，而而样样本本良良好好客客观观的的代代表表性性，完完全全依依赖赖抽抽样样方方法法，弄弄清清简简单单随随机机抽抽样样和和分分层层抽抽样样的的客客观观合合理理性性，从从而而会会在在不不同同的的情情况况下下采采用用适适当当的的抽抽
27、样样方方法法.掌掌握握三三种种抽抽样样方方法法的的抽抽样步骤样步骤.本讲稿第三十九页，共四十六页三种抽样方法的比较：三种抽样方法的比较：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相等的;均属于不放回抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多本讲稿第四十页，共四十六页2.频频率率分分布布直直方方图图会会使使样样本本的的一一些些数数字字特特征征更更明明显显,绘绘制制
28、频频率率分分布布直直方方图图时时,要要合合理理分分组组,以以便便使使数据中的特征能更好地反映出来数据中的特征能更好地反映出来.总总体体分分布布估估计计中中,(1)先先确确定定分分组组的的组组数数,其其方方法法是是：最最大大数数据据与与最最小小数数据据之之差差除除组组距距得得组组数数.(2)计计算算每每组组中中的的频频数数及及频频率率，其其中中频频率率=.(3)画出直方图画出直方图.3.画茎叶图的步骤如下：画茎叶图的步骤如下：(1)将将每每个个数数据据分分为为茎茎(高高位位)和和叶叶(低低位位)两两部部分分;本讲稿第四十一页，共四十六页(2)将将最最小小茎茎和和最最大大茎茎之之间间数数按按大大小
29、小次次序排成一列，写在左序排成一列，写在左(右右)侧；侧；(3)将将各各个个数数据据的的叶叶按按大大小小次次序序写写在在其茎右其茎右(左左)侧；侧；4.用用样样本本的的数数字字特特征征(众众数数、中中位位数数、平均数平均数)估计总体数字特征估计总体数字特征.5.正正态态分分布布应应用用十十分分广广泛泛，应应用用正正态态分分布布的的关关键键是是通通过过数数形形结结合合，利利用用正正态态分分布布曲曲线线分分析析求求解解，或或转转化化为为“，2,3原原则则”问题求解问题求解.本讲稿第四十二页，共四十六页6.由由正正态态曲曲线线过过点点(a,0)和和点点(b,0)的的两两条条x轴轴的的垂垂线线，及及x
30、轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积，就就是是随随机机变变量量落落在在区区间间(a,b)的的概概率的近似值率的近似值.7.正态曲线与正态曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1.本讲稿第四十三页，共四十六页学例1 (2009浙浙江江卷卷)某某个个容容量量为为100的的样样本本的的频频率率分分布布直直方方图图如如下下，则则在在区区间间4，5)上上的的数数据据的频数为的频数为 .30 区区间间4，5)上上的的频频率率/组组距距的的数数值值为为1-(0.05+0.10+0.15+0.40)=0.3，而而总总数数为为100，因因此所求的频数为此所求的频数为30.本讲稿第四十四页，共四十六页
31、(2008上上海海卷卷)已已知知总总体体的的各各个个体体的的值值由由小小到到大大依依次次为为2，3，3，7，a,b,12，137，183，20，且且总总体体的的中中位位数数为为105.若若要要使使该该总总体体的的方方差差最最小小，则则a、b的的取取值值分分别别是是 .学例2 由中位数的定义知由中位数的定义知 =10.5,=10.s2=22+32+32+72+a2+b2+122+13.72+18.32+202-10102,当当a=b时，时，s2有最小值，此时有最小值，此时a=10.5,b=10.5.10.5、10.5本讲稿第四十五页，共四十六页本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来本讲稿第四十六页，共四十六页