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1、,3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。解 由图3-1可知，为奇函数，因而所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为 指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为所以，指数形式的傅利叶级数为3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：重复频率脉宽 幅度 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数则的指数形式的傅利叶级数（FS）为其直流分量为基波分量的幅度为二次谐波分量的幅度为三次谐波分量的幅度为由所给参数可得将各参数的值代入，可得直流分量大小为基波的有效值为二次谐波分量的有效值为三次谐波分量的有效值
2、为3-3 若周期矩形信号和的波形如图3-2所示，的参数为， ，； 的参数为， ，分别求：（1）的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示；（2）的谱线间隔和带宽；（3）与的基波幅度之比；（4）基波与三次谐波幅度之比。解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为且基波幅度为三次谐波幅度为另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频。 周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为。依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下：（1）的谱线间隔带宽
3、（第一零点位置）（2）的谱线间隔带宽（3）的基波幅度的基波幅度因此的基波幅度：基波幅度（4）的三次谐波幅度因此基波幅度：三次谐波幅度3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。解 由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而即不包含正弦谐波分量。 从而幅度谱如图3-4所示。3-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。若，,大致画出幅度谱。解 由图可知，为偶函数，因而从而若，则幅度谱如图3-6所示。3-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。解 图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS）的系数从而幅度谱和相位谱分别如图3-8（a）、（b）
4、所示。3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。解 （a）如图3-9（a）所示。因为是偶函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。 综上，只含奇次余弦分量。（b）如图3-9（b）所示。因为是奇函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。 综上，只含奇次余弦分量。 （c）如图3-9（c）所示。因为是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。（d）如图3-9（d）所示。 因为是奇函数，所以只包含正弦分量。（e）如图3-9（e）所示。 因为是偶函数，所以不含正弦项；又因为是偶谐函数，所以不含奇次谐波分量。 综上，只含有直流和
5、偶次余弦分量。 (f)如图3-9（f）所示。 因为是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为是奇函数，所以只包含正弦分量。综上，只包含直流和偶次谐波的正弦分量。3-8 求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。解 （a）如图3-10（a）所示。此题中的与题3-4中的信号（记为）在图形上相同，只是平移了，即由题3-4知， 则（b）如图3-10（b）所示。方法一：由于为偶函数，所以所以方法二：此题还可利用单脉冲信号的FT与周期性脉冲信号的FS的系数之间的关系：先求如图3-11所示的单脉冲信号的FT可利用微积分性质。 和分别如图3-12（a）、（b）所示。由于由FT的微分性质，得于是则周期信号的傅
6、利叶系数3-9求图3-13所示周期余弦切顶脉冲的傅利叶级数，并求直流分量。以及基波和次谐波的幅度(和)。（1）（2）（3）提示：，为的重复角频率解 图3-13所示信号，为的重复角频率直流分量由于是偶函数，所以则基波的幅度k 次谐波的幅度（2）当时，（3）当时，3-10 已知周期函数前四分之一周期的波形如图3-14所示。根据下列各种情况的要求画出在一个周期()的波形。（1）是偶函数，只含有偶次谐波；（2）是偶函数，只含有奇次谐波；（3）是偶函数，含有偶次和奇次谐波；（4）是奇函数，只含有偶次谐波；（5）是奇函数，只含有奇次谐波；（6）是奇函数，含有偶次和奇次谐波。 解 （1）由要求可判断出，既是
7、偶函数，又是偶谐函数。在内的波形如图3-15（a）所示。（2）由要求可判断出，既是偶函数，又是奇函数。在内的波形如图3-15（b）所示。（3）有条件可判断出，是偶函数，亦是非奇偶函数。满足这个条件的不止一个，下面仅画出一例。 在内的波形如图3-15（c）所示。（4）由要求可判断出，既是奇函数，有时偶谐函数。在内的波形如图3-15（d）所示。（5）由要求可判断出，既是奇函数，又是奇谢函数。在内的波形如图3-15（e）所示。（6）由要求可判断出，是奇函数，亦是非奇非偶函数，满足该条件的不止一个，下面仅画出一例。在内的波形如图3-15（f）所示。3-11 求图3-16所示周期信号的傅利叶级数的系数，
8、（a）题求；（b）题求。解 （a）由图3-16（a）可知，的周期为4，且在0，4内的函数表达式为。从图3-16（a）中易看出，在一个周期内的平均只为零，即所以（b）由图3-16可看出于是3-12 如图3-17所示周期信号加到RC低通滤波电路。已知的重复频率，电压幅度。分别求：（1） 稳态时电容两端电压之直流分量、基波和五次谐波之幅度；（2） 求上述各分量与相应分量的比值，讨论此电路对各分量响应的特点。（提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。）解 首先把周期电压源信号展开为傅里叶级数：因此式中。由所给电路，求得电路的频响函数为电压源中的直流分量中的基波分量的幅度中
9、五次谐波分量的幅度电容两端电压亦为与同频率的周期信号，且当作用时，电容两端电压，亦即中的直流分量为0.25V，中的基波分量的幅度中五次谐波分量的幅度综上所述，（1） 稳态时电容两端电压之直流分量幅度为0.25V，基波幅度为0.313V，五次谐波幅度为0.019V。（2） 电容电压中直流分量与中直流分量之比值0.25：0.25=1，中基波幅度与中基波幅度之比值为=0.847，中五次谐波幅度与中五次谐波幅度之比值为=0.303。由以上比值可分析得知，此RC电路是一低通滤波器，对高频分量衰减的相对大一些，而对低频分量衰减的相对少一点。3-13 学习电路课时已知，LC谐振电路具有选择频率的作用，当输入
10、正弦信号频率与电路的LC谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对值很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。图3-18所示RLC并联电路和电流源都是理想模型。已知电路的谐振频率为，谐振电路品质因数Q足够高（可滤除邻近频率成分）。为周期矩形波 ，幅度为1mA。当的参数()为下列情况时，粗略地画出输出电压的波形，并注明幅度值。（1）（2）（3）解 （1）当时，的基频 因为电路的谐振频率，所以电路将产生较强的，由中的基波所引起的输出电压。的傅里叶级数展开式为即其中由的傅里叶级数（FS）可知，其基波的幅度为此基波
11、所引起响应电压即当时，输出电压为一个频率为100kHz，幅度为127V的正弦波，其波形如图3-19(a)所示。（3） （2）当时，的基频（4） 此时电路产生的输出电压主要应是由中的二次谐波分量所引起的。 由（1）知，中二次谐波的幅度这里因而即由二次谐波所引起的响应为零。考虑到由其他谐波分量所引起的电压很微弱，所以输出电压近似为零。（3）当时，的基频此时电路产生的输出电压主要由的三次谐波分量所引起的。由（1）知，中三次谐波的幅度这里因而此三次谐波所引起的响应即输出电压为一个频率为100kHz，幅度为42.4V的正弦波，其波形如图3-19（b）所示。3-14 若信号波形和电路结构仍如图3-18所示
12、，波形参数为（1） 适当设计电路参数，能否分别从矩形波中选出以下频率分量的正弦信号：50kHz, 100kHz, 150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?（2） 对于那些不能选出的频率成分，试分别利用其他电路（示意表明）获得所需频率分量的信号。（提示：需利用到电路、模拟电路、数字电路等课程的综合知识，可行方案可能不只一种。）解 （1）输入信号的周期，因而基频也就是说 ，中只包含的整数倍频率的谐波成分，因此不可能从此矩形波中选出的非整数倍频率，即50kHz, 150kHz。 又由题3-13可知，的傅里叶级数(FS)为其中当n=2和n=4时，二次谐波和四次谐波的幅度均为0，因此也不
13、可能从此矩形波中选出200kHz和400kHz的正弦分量。 综上所述，当参数为时，电路只能从矩形波中选出100kHz和300kHz的正弦分量。（2）选出50kHz的正弦分量可利用如图3-20(a)所示系统。选出150kHz的正弦分量可利用如图3-20(b)所示系统。选出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如图3-20(c)所示系统。3-15 求图3-21所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。解 由图3-21易知，则此信号的傅里叶变换其频谱图如图3-22所示。3-16 求图3-23所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。解 （a）的波形如图3-24（a）所示。等式两边同取傅里叶变换(
14、FT)，有则当时，用罗必塔法则求F(0),或（b）的波形如图3-24(b)所示。则（c）及 波形如图3-24（c）、（d）所示。两边求FT，有其中（d）由于因而即两边求FT，有其中3-17 图3-25说是各波形的傅里叶变换可在本章正文或附录表中找到，利用这些结果给出各波形频谱所占带宽（频谱图或频谱包络图的第一零点值），注意图中的时间单位都为。解 （a）是矩形单脉冲信号，其频谱函数其中E为幅度，为脉冲宽度。是一抽样寒暑，其第一零点值，此题中，因此带宽（b）是有两个平移了的矩形单脉冲信号合成的，其频谱函数其中E仍为脉冲幅度，为脉冲宽度。由于的包络是抽样函数，所以带宽仍为，此题中，因此宽度（c）为升
15、余弦脉冲信号，其频谱函数其中E为最大幅度，为脉冲宽度。的第一零点值，此题中，因此带宽（d）偶对称的三角脉冲信号的频谱函数为，其第一零点值。此题中的是平移了半个脉宽的偶对称三角脉冲信号，由FT的时移特性可知，其中为E最大幅值，为脉宽。由于平移不会改变信号的频带宽度，且此题中，因此带宽（e）偶对称的梯形脉冲信号的频谱函数第一零点值。此题中的是平移了半个脉宽的偶对称梯形脉冲信号，且,同(d)可得带宽（f）偶对称抽样脉冲信号的频谱函数第一零点值。此题中的是平移了个单位的偶对称抽样脉冲，且，同(d)可得带宽3-18 “升余弦滚降信号”的波形如图3-26（a）所示，它在到的时间范围内以升余弦的函数规律滚降
16、变化。设，升余弦脉冲信号的表达式可以写成或写作其中，滚降系数求此信号的傅里叶变换式，并画出频谱图。讨论和两种特殊情况的结果。提示：将分解为和之和，如图3-26(b)所示，分别求傅里叶变换在相加。解根据提示，先考察函数其波形如图3-27(a)所示。是一奇函数，因此再考察图3-27（a）所示的和，,则图3-26(b)中的信号的傅里叶变换图3-26(b)中信号的傅里叶变换于是其频谱图如图3-27（b）所示。当k=0时，是矩形脉冲信号，其傅里叶变换为当k=1时，是升余弦脉冲信号，其傅里叶变换为3-19 求图3-28所示的傅里叶逆变换。解 此题的关键是正确写出频谱函数的表达式。（a）由图3-28（a）可
17、知，由于所以先求的傅里叶逆变换。由变换对可知又利用FT的延时性知即（b）由图3-28（b）可知，则从而因为所以由FT的频域微分性质，有3-20 函数可以表示成偶函数与奇函数之和，试证明：（1）若是实函数，且，则（3） 若是复函数，可表示为且则 其中证明 （1）已知，现考察的傅里叶变换。 因为是实函数，所以则积分即即由于所以又所以（4） 已知 则且 由式+，得从而由式-，得从而3-21 对图3-29所示波形，若已知，利用傅里叶变换的性质求以为轴反褶后所得的傅里叶变换。解 由图3-29易知由于则由FT的延时性质，有由FT的尺度变换性质有3-22 利用时域与频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数。
18、（1）（2）（3）解（1）因为所以由FT的时、频对称性，有即的时间函数（2）因为所以由FT的时、频对称性，有即所求时间函数（3）（4） 由（2）已知则即所求时间函数3-23 若已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图3-30所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱。解 矩形单脉冲信号的傅里叶变换由图3-30所示信号可知于是由FT的时移特性可得其幅度谱如图3-31所示。3-24 求图3-32所示三角形调制信号的频谱。解 图3-32所示信号是三角脉冲信号（如图3-33所示）与升余弦函数的乘积，即由FT的卷积性质可得查附录可得因而3-25 图3-34所示信号，已知其傅里叶变换式，利用傅里叶变换的性质
19、（不做积分运算），求：（1）（2）（3）（4）之图形。解（1）先考虑图3-35（a）所示的实偶三角脉冲信号，其傅里叶变换亦为实偶函数，且，所以的相角。由图3-34所示信号可知因此于是（2）由FT正变换式知（3）由FT逆变换式知即（4）是实函数，由题3-20可知又，因此的图形如图3-35（b）所示。3-26 利用微分定理求图3-36所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出情况下该脉冲的频谱图。解 的一阶、二阶导数的图形3-37（a）、（b）如图所示。两边同取FT，由微分定理，有于是当时，在情况下该脉冲的频谱图如图3-38所示。 3-27 利用微分定理求图3-39所示半波正弦脉冲及其二阶导数的频谱。解
20、 的一阶及二阶导数的波形如图3-40(a)、(b)所示。由图3-40（b）可看出由微分定理从而且的二阶导数的频谱3-28 （1）已知，求的傅里叶变换。（2）证明的傅里叶变换为（提示：利用频域微分定理）解 （1）已知则由频域微分定理，有即（2）已知由频域微分定理，有即3-29 若已知，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换：(1)(2) (3) (4) (5) (6) (7) 解 （1）此题是训练傅里叶变换的性质。由尺度变换性质，有再由频域微分性质，有（2）由频域微分性质，有再有线性性质，有（3）由尺度变换性质，有再有频域微分性质，有最后由线性性质，有（4）由时域微分性质，有再由频域微分性
21、质，有（5） 由延时性质，有 再有尺度变换性质，有（6） 由频域微分性质，有再有尺度变换性质，有最后由延时性质，有（7） 由尺度变换性质，有再由延时性质，有3-30 试分别利用下列几种方法证明（1）利用符号函数（2）利用矩形脉冲取极限（3）利用积分定理（4）利用单边指数函数取极限证明 （1）因为，所以由FT的线性性，有（2）因为所以由第二章导出的式（2-100）可知由第一章冲激函数的定义可知所以（3），且由积分定理，有（4）因为所以由题2-22（2）可知又因此3-31 已知图3-41中两矩形脉冲及，且：,（1）画出的图形；（2）求的频谱，并与题3-26所用方法进行比较。解 （1）的图形如图3-
22、42所示。（2）因为 所以由卷积定理，得此题与题3-26均是求一梯形脉冲信号的频谱。题3-26利用了傅里叶变换的卷积性质，即直接将合成梯形脉冲信号的两矩形信号的频谱相乘，从而得到梯形脉冲信号的频谱。3-32 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换：求单边正弦信号和单边余弦函数的傅里叶变换。解 单边正弦函数为，单边余弦函数为。由傅里叶变换的卷积定理，有因为所以从而3-33已知三角脉冲的傅里叶变换为试利用有关定理求的傅里叶变换。、的波形如图3-43所示。解 由频域卷积定理，有由于由时移性质可得而所以3-34若的频谱如图3-44所示，利用卷积定理粗略画出，的频谱（注明频谱的边界频率）。解 因为所以
23、这三个频谱分别如图3-45（a）、（b）、（c）所示。3-35 求图3-45所示信号的频谱（包络为三角脉冲，载波为对称方波）。并说明与图信号频谱的区别。解 图3-46所示信号，其中代表三角脉冲信号，代表周期性对称方波，且周期。查表可知的傅里叶变换为一冲激序列，且其中为傅里叶系数。 则因为所以图3-32信号的频谱是将三角脉冲信号的频谱左、右各平移而得到的；而此频谱是将三角脉冲信号的频谱以为周期重复平移而得到的， 同时幅度也在变化。3-36 已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换（见附录三），求图3-47所示周期梯形信号和周期全波余弦信号的傅里叶级数和傅里叶变换。并示意化出它们的频谱图。解 （
24、a）设查表可知由于周期信号的傅里叶级数的系数且的傅里叶变换所以周期梯形信号的傅里叶级数的傅里叶变换：其中当时频谱示意图如图3-48（a）所示。 (b)设查表可知与(a)同理，周期全波余弦信号的傅里叶级数傅里叶变换其中频谱示意图如图3-48（b）所示。3-37 已知矩形脉冲和余弦脉冲信号的傅里叶变换（见附录三），根据傅里叶变换的定义和性质，利用三种以上的方法计算图3-49所示各脉冲信号的傅里叶变换，并比较三种方法。解 （a）方法一：利用定义。则方法二：利用微分定理和矩形脉冲信号的傅里叶变换。的波形如图3-50（a）所示查表可知矩形脉冲信号的傅里叶变换，再利用FT的时移性质。因为所以方法三：利用微
25、分定理和冲激信号的傅里叶变换。的波形如图3-50（b）所示。则有于是（b）方法一：利用定义。则方法二：利用矩形脉冲信号的傅里叶变换和延时性质。因为所以方法三：利用微分定理和冲激信号的傅里叶变环。的波形如图3-50（c）所示。于是从而（c）方法一：利用定义。则方法二：利用微分定理。的波形如图3-50（d）所示。则方法三：查表法。在附录三中，对于余弦脉冲信号其傅里叶变换图3-49（c）所示之，其脉宽亦为，幅度为1，因而其傅里叶变换（d）方法一：利用定义。则方法二：利用线性性质和叠加原理。 因为所以方法三：利用微分定理。的图形如图3-50（e）所示。则3-38 已知三角形、升余弦脉冲的频谱（见附录三
26、）。大致画出图3-51中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为，令）。分析 频谱为的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号的频谱其中为抽样频率，为抽样时间间隔，.在此题中则。解 （a）如图3-51（a）所示，三角脉冲信号的频谱第一零点值抽样信号的频谱大致如图3-52（a）所示。（b）如图3-51（b）所示，升余弦脉冲信号的频谱第一零点值抽样信号的频谱大致如图3-52(b)所示。（c）如图3-51（c）所示，周期三角脉冲信号的频谱其大致图形如图3-52（c）所示，抽样信号的频谱大致如图3-52（d）所示。3-39 确定下列信号的最低抽样率和奈奎斯特间隔：（1）（2）（3）（4）分析 由抽样定理可
27、知，信号的最低抽样率为（其中，为信号的最大频率），奈奎斯特间隔。解 （1）由于即信号的最大频率，所以最低抽样率。奈奎斯特间隔（2）由于即信号的最大频率，所以最低抽样率，奈奎斯特间隔（3）由于故信号的最大频率所以最低抽样率，奈奎斯特间隔（5） 由于的最大频率是100，的最大频率是120，故信号的最大频率，所以最低抽样率，奈奎斯特间隔3-40 若，是周期信号，基波频率为，（1）令，求相乘信号的傅里叶变换表达式；（2）若图形如图3-53所示，当函数表达式为或以下各小题时，分别求表达式并划出频谱图；（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）是图3-2所示周期矩形波，其参数为,E=1。解 （1）
28、，是基波频率对等式两边求傅里叶变换，可得到的频谱函数因由FT的频域卷积性质，有（2）当时，此时频谱图如图3-54（a）所示。（3）当时，此时频谱图如图3-54（b）所示。（4）当时，此时频谱图如图3-54（c）所示。（5）当时，此时频谱图如图3-54（d）所示。（6） 当时，此时频谱图如图3-54（e）所示。（7） 当时，是周期为的冲激序列，因此仍是冲激序列，但周期为2，此时频谱图如图3-54（f）所示。（8）当时，是周期为的冲激序列，因此是周期为1的冲激序列，此时频谱图如图3-54（g）所示。（9）当时，此时频谱图如图3-54（h）所示。（10）当是图3-2所示周期矩形波，且参数为,E=1时
29、，其傅里叶系数其傅里叶变换则频谱图如图3-54（i）所示。3-41 系统如图3-55所示，（1）为从无失真恢复，求最大抽样间隔；（2）当时，画出的幅度谱。解 （1）由于则的图形如图3-56（a）所示。可见，的最大角频率因而（2）对于冲激抽样，抽样信号的频谱当时，此时此时的幅度谱如图3-56（b）所示，无混叠发生。3-42若连续信号的频谱是带状的，如图3-57所示。（1）利用卷积定理说明当时，最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠；（2）证明带通抽样定理，该定理要求最低抽样率，满足下列关系其中m为不超过的最大整数。解（1）对连续信号进行冲激抽样，所得到的抽样信号 (T为抽样间隔)由卷积
30、定理若的频谱是带状的，如图3-57所示，则当时，采用的频率对进行抽样，所得的如图3-58所示，可见频谱没有发生混叠。（2）先来分析一个带通信号，其频谱如图3-59（a）所示。该带通信号的特点是最高频率是带宽的整数倍，。现用对抽样，抽样频率选为，的频率如图3-59（b）所示，抽样信号的频谱为与的卷积，如图3-59（c）所示。 由图3-59(c)可见，在这种情况下，恰好使中的边带频谱互不重叠。由图3-59还可看出，如果，在中势必造成频谱重叠。由此证明，在上述情况下，带通信号的最低抽样率。再来分析一般情况。设带通信号的频谱为，它的最高频率不一定为带宽的整数倍，即式中，m为不超过，即的最大整数。在图3-60（a）中分为“1”和“2”两部分。在图示例子里，m=3。选取的原则仍然是使抽样信号的频谱不发生重叠。 但若仍取，且将频谱“2”周期性重复的结果用实线表示，频谱“1”周期性重复的结果用虚线表示，从图3-60（b）可看出，抽样信号的频率出现重叠部分。 再来看频谱“1”和右移m次后的频谱“”。从图3-60（b）可看出，若使频谱“”再向右多移，频谱“”就刚好不与频谱“1”重叠了，如图3-60（c）所示。由于频谱“2”移到“”的位置，共移了m次，所以每次只需比多移了。这就是说，图3-60（c）中频谱“2”的重复周期为，这样就得到带通信号的最小抽样率为