第四章数字特征.doc

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1、,第四章随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量简单函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求1、理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）2、会求随机变量简单函数的数学期望一维随机变量的数字随特征一、随机变量的数学期望例1 某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15

2、、0.05. 若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？解：假设该商店进货量极大，则平均说来其中有一等品件，二等品和三等品和等外品数分别为件、件、件. 这件产品总的销售获利为（元）故平均获利为（一）离散型随机变量的数学期望定义： 设随机变量X的分布列为，若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望，记作EX，即如果级数发散，则称X的数学期望不存在. （二）连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望，记为，即；若积分发散，则称X的数学期望不存在.

3、（三） 随机变量函数的数学期望定理：设X是一个随机变量，为连续实函数. （1）若X是离散型随机变量，其概率分布为，若级数绝对收敛，则存在，且 （2）若X是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则存在， 例2 某两名射手在相同条件下进行射击，其命中环数及其概率如下表，试问哪名射手的技术更好些？X (环)8910甲0.10.40.5乙0.30.30.4解：甲、乙射手命中环数X的数学期望为：二、 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征在上一节例2中若甲、乙两射手在相同条件下射击命中环数及其概率如下表X (环)8910甲0.10.80.1乙0.20.60.2那么甲、乙射手命中环

4、数X的数学期望为：甲：=乙：=定义：设是一个随机变量，如果存在，则称为的方差，记作，即，称为标准差或均方差. 常用下面的公式： 例3 在有N个人的团体中普查某种疾病患病情况需逐个验血，若血样呈阴性则无此疾病，呈阳性则患有该疾病. 为了能减少逐个检验的工作量，统计学家想出一种方法：把k个人的血样混合后再检验，若呈阴性，则k个人都没有此疾病，这时k个人只需作一次检验；若呈阳性，则需要对这k个人逐一再进行检验，这时k个人共需要检验次. 若该团体中患该疾病的概率为p，且每个人是否患该疾病是相互独立的. 问这种验血方法能否减少验血次数，若能减少，可以减少多少工作量？解：设X为以人一组检验时，该团体中每个

5、人需要验血的次数. 按题意，X是只可能取两个值的随机变量，其分布为 p 则每人平均的验血次数为 时k4=0.5939例5 设X的概率分布如下表所示，求X012p 解：先求 则 例6 随机变量X的分布密度为，求， ，解： 所以 常见的概率分布的数学期望和方差两点分布（贝努里分布） 二项分布 ，0，1，n.同理可得 ，泊松分布 ，k = 0，1，2，其中为参数，则称X服从参数为的泊松分布，记作. 同理 均匀分布 则称X服从上的均匀分布，记作. 指数分布一个随机变量X，如果其密度函数为 其中为参数，则称X服从参数为的指数分布，记作. 正态分布一个连续型随机变量X，如果其密度函数为 其中为常数，则称X

6、服从参数为和的正态分布，记作. 例1 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为一磅，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数磅的正态分布. 为了使重量少于1磅的罐头数不超过10%，应把自动包装线控制的平均值调节到什么位置上？解：由题设，若把自动包装线控制的值调节到1磅位置，则有：即重量少于1磅的罐头占全部罐头数的50%，这显然不符合要求（如图2-14）. 所以应该把自动包装线控制的值调到比1磅大一些的位置，使得 或 查附表1可得 ，得 . 即将包装控制的平均值调节到1.0645处，可使得少于1磅的罐头数不超过10%. 例2 进行一次考试，如果所有考生的分数可近似地表示为正态分布，则通常

7、认为这次考试是可取的，教师经常用考试的分数去估计正态分布的参数和，然后把分数超过的评为等，分数在到的评为等，分数在和之间的评为等，分数在和之间的评为等，分数小于评为等，试计算各等级所占的比例. 解：等比例：等比例：等比例：等比例：等比例：例3 一道选择题，应该有多少种选择答案，答对者应该给多少分，答错者应该罚多少分，才能使猜答案者没有收获呢？解：设一道题有个选择答案，其中有一个答案是正确的，答对者给分，答错者罚分，不答者得0分；以表示乱猜答案者所得的分数，那么的设计要满足，这里以为标准. 的分布列为 于是，当时，即为选择所要满足的关系式，下面列出若干组具体的选择数据： 3 4 5 3 4 5

8、2 3 4 4 6 8 其中，第二组数据是目前流行的给分标准. 例4（分赌本问题）数学期望的概念最早来源于赌博. 17世纪中叶一个赌徒向数学家帕斯卡（16231662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎. 当甲赢了二次而乙只赢一次时，他们都不愿意再赌下去了，问赌本应如何分呢？1654年帕斯卡提出如下解决方法：在甲已赢二次而乙只赢一次时，最多只需再玩二次即可结束这场赌博，而再玩二次可能会出现的结果有以下四种： 结果次数1甲甲乙乙2甲乙甲乙帕斯卡的解法引出了数学期望的概念，从概率分布的观点看，甲赢得的法郎数是一个随机变量，它只能

9、取两个值：，取这些值的概率分别为 ，这时甲能够赢得的法郎数的期望值为：法郎. 例5 （报童的策略）假设报童销售报纸每份0.4元，其成本为0.25元. 报社规定销售者不能将卖不完的报纸退回. 如果报童每日的报纸销售量服从区间200，400上的均匀分布，为使他的期望利润达到最大，他每天应定多少份报纸（假设一天只定购一次）？解：设报童每天定购a份报纸，销售的份数为X，据题意X的概率密度为 用Y表示每日所获得的销售利润，则Y是X的函数，有 因此，利润期望值为 令 ，解得 又因为 所以，当（份）时，期望利润最大，且最大利润约为35.6元. 二维随机变量的数字特征定理：设为二维随机变量，为二元连续实函数，

10、令(1)若是离散型随机变量，其概率分布 则当绝对收敛时，存在，且 (2)若是二维连续型随机变量，其密度函数为，则当广义积分绝对收敛时，存在，且 例1 设二维随机变量的概率分布为 YX0 1 2 31 0 3/8 3/8 06/83 1/8 0 0 1/82/8 1/8 3/8 3/8 1/8 1 求 、和. 解：对于离散型分布，可先求出的边缘分布，如表中所示，则 例2 设随机变量和的联合密度函数为求.解： (4.2a)数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有(2) 对于任意常数，有(3) 对于任意，有(4) 如果相互独立，则方差的性质 (1) ，并且当且仅当（以概率）为常数；(2) 对于任意

11、实数，有；(3) 若两两独立或两两不相关，则例3 利用期望和方差的性质，求二项分布随机变量的期望和方差. 解：表示重贝努里试验中事件发生的次数，可以把看作是个相互独立的、具有相同0-1分布的随机变量之和，即 的概率分布为 而 则 例4 一机场送客车载20位旅客自机场出发，该车共设有10个车站若某站无人下车就不停车，令表示停车次数，求（假设每位旅客在各站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）. 解：引入随机变量 有 ，且根据题意，任一乘客在第站下车的概率为，则，因此 ，因而 （次）协方差与相关系数协方差定义： 是二维随机变量，设和都存在，如果存在，则称其为随机变量与的协方差，记作，即 通常我

12、们将上式简化为来计算协方差. 推论：设和为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则的方差也存在，且 例1 设二维连续型随机变量的联合密度函数为 计算和. 解：先计算、和 ， 又因为 ，所以 同理可得 根据方差的性质，有 相关系数定义：是二维随机变量，设和的方差均存在，且都不为零，则称 为与的（线性）相关系数. 由于，所以. 与协方差同号，当时，称与之间为正相关；当时，称与之间为负相关. 例2 设和是两个随机变量，（为常数），存在且不为零，求. 解：据协方差的性质，有 于是 故：当. 定理：设是二维随机变量，均存在且为正，则的充要条件是具有线性关系，即存在常数及常数，使得且当当. 四个等价的结论：

13、 （1）； （2）； （3）与不相关； （4）； 例3 设服从上的均匀分布，令，判断与是否相关，是否独立. 解：由于 ， 所以 即 ，从而与不相关；但很显然，即与并不独立. 协方差具有以下性质： 设随机变量和的方差存在，则它们的协方差也存在 （1）； （2） ，其中 为任意常数； （3）其中为任意常数； （4）； （5）如果与相互独立，则. (6) 对于任意和，有(7) 对于任意和，有相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设是和的相关系数，(1) (2) 若和相互独立，则=0；但是，当=0时和却未必独立(3) 的充分必要条件是和（以概率）互为线性函数4、随机变量的相关性

14、 假设随机变量和的相关系数存在若= 0，则称和不相关，否则称和相关(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若和的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价矩与协方差阵定义：设与为随机变量，如果存在，则称为的阶原点矩，记为；如果存在，则称为的阶中心矩，记为；如果存在，则称之为与的阶混合中心矩. 显然，的数学期望是的一阶原点矩，方差是的二阶中心矩，协方差是与的二阶混合中心矩. 一般地，设维随机变量的二阶中心矩 都存在，则称矩阵 为维随机变量的协方差阵. 根据协方差的性质，有，因而协方差阵是对称方阵. 记 称为与的相关系数，其中，则称矩阵为维随机变量的相关阵，是

15、主对角元素都是1的对称方阵. 典型例题分析例4.1（函数的方差） 已知随机变量的分布函数为：则= 分析 由分布函数，可得随机变量的概率分布例4.2（函数的期望） 设随机变量分布函数为F(x)，则随机变量的数学期望 分析 随机变量只有和1两个可能值例4.4（函数的期望） 设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量的数学期望= 分析 事实上，有例4.6（标准差） 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差= 分析 由条件“无系统误差”知，测量误差服从正态分布，因此，例4.8(方差) 设随机变量和独立同正态

16、分布，则 = 分析 易见，= 0，= 1，故N(0,1)因此，例4.9 100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 分析 100次独立重复试验成功的次数X服从参数为的二项分布由于当p =0.5时，取最大值这时，可见标准差的最大值等于5例4.11（二项分布） 有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶则变质饮料的瓶数的概率分布是 分析 假设总共有n瓶超过保质期的饮料，p是其中变质饮料的瓶数所占的比重显然变质饮料的瓶数X服从参数为（n,p）的二项分布现在求n和p由条件知例4.12（协方差） 假设随机变量和的方差都等于1，和的相关系数为0.25，则随机变量和的协方差

17、为 分析 已知 因此，有例4.19 对于任意随机变量和，如果，则(A) 和独立 (B) 和不独立(C) (D) D 分析 由可见例4.23 设X在区间1,1上均匀分布，则和的相关系数等于(A) (B) 0 (C) 0.5 (D) 1 A 分析 由于和有明显的线性关系：，可见和相关系数的绝对值等于1因为和增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定例4.26 假设试验E以概率p成功，以概率失败，分别以和表示在n次独立地重复试验中成功和失败的次数，则和的相关系数等于(A) (B) 0 (C) 1/2 (D) 1 A 分析 因为+=n，即和互为线性函数，故和的相关系数=1由于=n，可见和为负相关，故计算题

18、例4.29 (期望的应用) 自动生产线加工的零件的内径X(mm)服从正态分布，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品每件产品的成本为10元,内径小于10mm的可再加工成合格品，尚需费用5元全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元问零件的平均内径取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解 每件产品的销售利润L与自动生产线加工的零件的内径X(mm)有如下关系：其中是标准正态分布函数，标准正态密度因此，有由此，可见当mm时，平均利润最大例4.31（函数的期望） 假设某季节性商品，适时地售出1kg可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元假设一家商店在季节内该商品的销售量X（kg）是一

19、随机变量，并且在区间内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？解 根据条件随机变量X的概率密度为：以表示销售利润，它与季初应安排商品的数量h有关由条件，知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润的数学期望为此，首先注意到：，销售利润的数学期望为：对求导并令其等于0，得于是，季初安排千克商品，可以使期望销售利润最大， 例4.34（数学期望） 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元试求这项试验的总费用的期望值a解 (1) 以X表示试验的总次数，首先求X的概率分布设=第k次试验成功（k=1,2

20、,），则；X的概率分布为，其中于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布(2) 现在求试验的总费用的期望值a由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为；例如，设p = 0.8, q = 0.2，得12.498元；设p = q = 0.5，得19.6875元；设p = 0.2, q = 0.8，得41.808元；设p = 0.1, q = 0.9，得70.4775元例4.35（变量和的期望） 假设n个信封内分别装有发给n个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的以X表示收到自己通知的人数，求X的数学期望和方差解 (1) 记=第k封信的地址与内容一致第k个人的通知随意装入

21、n个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于/n，故=/n同理引进随机变量(k=1,n)，则从而，有 (2) 对于任意，乘积只有和两个可能值，且 因此，对于任意，有(3) 最后求方差DX注 该题的解法具有典型性：求解时并没有直接利用X的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质当然，也可以先求X的概率分布，然后再根据定义求数学期望然而,求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事例4.38（函数的期望） 求，假设随机变量服从柯西分布，其概率密度为解 由于可见例4.39（数学期望） 假设一种电器设备的使用寿命X（单位：小时）是一随机变量，服从参数为=0.01的指数分布使

22、用这种电器每小时的费用为C1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C2=10元此设备由一名工人操作，每小时报酬为C3=4元，并且按约定操作时间为h小时支付报酬问约定操作时间h为多少时，能使期望利润最大？解 以Y表示销售利润，则由条件知由条件知，随机变量X的分布函数和概率密度相应为 和 其中期望销售利润为将C1=3元，C2=10元C3=4元，以及=0.01代入，得小时例4.45（相关系数） 假设随机变量X和Y的数学期望都等于，方差都等于2, 其相关系数为0.25，求随机变量和的相关系数解 首先求U和V的数学期望和方差，由条件知， 注意到, ， , 有从而，随机变量和的相关系数为例4.47(相关系

23、数) 假设随机变量独立同分布，且方差存在求随机变量 和 的相关系数解 记由于独立，可见()和()独立，以及()和()独立因此于是，由DU= DV=6b，可见4.56（相关性和独立性） 对于任意二随机事件A和B，设随机变量 试证明“随机变量X和Y不相关” 当且仅当“事件A和B独立”证明 易见事件A和B独立当且仅当事件A与独立记，有； 现在求EXY显然，XY只有1和1两个可能值 由此可见，随机变量X和Y不相关的充分和必要条件是，事件A和独立，即由独立事件的性质知，若事件A与独立，则事件A与B也独立从而随机变量X和Y不相关当且仅当事件A和独立1（87数4）（8分）已知离散型随机变量X的概率分布为（1

24、）写出X的分布函数；（2）求X的数学期望和方差。 （2.3 0.61） 2（88数4）（7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出废品只数的概率分布、数学期望和方差。()3（89数4）（3 分）随机变量相互独立，其中在区间0，6上服从均匀，服从正态分布，服从参数的泊松分布，记，则 。4(90数4)（3分）已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值为（ ）。 （）； （）；（）； （）。5(92数4)（7分）一台设备由三大部件构，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为

25、0.10,0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布、数学期望和方差。(0.6 0.46)6(95数4)（3分）随机变量的概率密度为，则方差= 。7(97数4) （3分）设随机变量满足，（是常数），则对于任意常数，必有（ ）。 （）； （）；（）； （）。8(98数4)（3分）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 0.5 时，成功次数的标准差最大，其最大为 5 。（第一空2分，第二空1分）。9(00数4) （3分）设随机变量X服从区间-1，2上均匀分布；随机变量Y=，方差=。10 (91数4) （7分）一汽车沿一街道行驶，

26、需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯显示红或绿与其它信号灯显示红或绿相互独立，且红和绿两种信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前忆通过的信号灯的个数。（1）求X的概率分布；（2）求。11(99数4)（3分）随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则 1 。12(01数4)（8分）随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。13(98数4)（7分）某一箱子装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10、10件，现从中随机抽取1件，记：，求（1）随机变量和的联合分布；（2）随机变量和的相关系数

27、。 14(01数4)（3分）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面朝上的次数，则X和Y的相关系数等于（ A ） (A); (B)0; (C); (D)1.例(03数4) （3分）设随机变量X和Y的联合概率分布为： YX-1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20则X和Y的相关系数= 0 。15(03数4)（4分）随机变量X和Y的相关系数=0.5。，则=6。16(04数4) (4分)设随机变量X服从参数为的指数分布，则= 。17(05数4)随机变量（n2）独立同服从N(0,1)分布，记。求（1）的方差，i=1,2,n;(2)与的协方差；（3）。(13分)(,)18

28、(99数4)（3分）设随机变量的方差存在且不等于0，则是X和Y( C )(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (C) 不相关的充分必要条件；(B) 独立的充分条件，但不是必要条件； (D )独立的充分必要条件。19(00数4) （8分）设二维随机变量的密度函数为，其中都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别是和，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。（1）求随机变量X和Y的密度函数和；（2）求随机变量X和Y的相关系数；（3）问X和Y是否独立？为什么？20(8分)已知随机变量的联合概率分布为(x,y)(0,0) (0,1) (1,0) (1,1

29、) (2,0) (2,1)0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15 试求：（1）X的概率分布；（2）的概率分布；（3）的数学期望。21（8分）设随机变量和相互独立，都在区间1，3上服从均匀分布，记事件，（1）已知，求常数；（2）求的数学期望。22（8分）假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量（1）求和的联合概率分布；（2）求23（8分）设与是两个随机事件，随机变量，证明随机变量和相关的充分必要条件是与相互独立。24（13分）对于任意两个事件A，B，称为事件的相关系数。（1）证明事件A和B独立的充分必要条件是；（2）利用随机变量相关系数的性质证明。25(13分)设A，B是两

30、个随机事件，且，令，求：（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布；（2）X与Y的相关系数；（3）的概率分布。26(13分)设随机变量X的概率概率为：，令为二维随机变量（X,Y）的分布函数。求：（1）Y的概率密度；（2）；（3）。27设随机变量X和Y独立同分布，且X的概率分布为X1 2P 记（1）求（U，V）的概率分布；（2）求（U，V）的协方差Cov(U,V)28（8分）假设由自动生产线加工的某种零件的内径（单位mm）服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品盈利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元），使销售零件内径有如下关系： ，问平均内径取何值时

31、，销售一个零件的平均利润最大？29（7分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍能获利5万元；发生两次故障所获利润0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 30（9分）设某种商品每周的需求量X服从区间10，30上的均匀分布随机变量，而经销商进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商店损失100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润的期望值不少于9280元，试确定最少进货量。