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1、. .双曲线高考知识点及题型总结(最新最全)目 录双曲线知识点21 双曲线定义：22.双曲线的标准方程：23.双曲线的标准方程判别方法是：24.求双曲线的标准方程25.曲线的简单几何性质26曲线的内外部37曲线的方程与渐近线方程的关系38双曲线的切线方程39线与椭圆相交的弦长公式3高考知识点解析4知识点一：双曲线定义问题4知识点二：双曲线标准方程问题4知识点三：双曲线在实际中的应用4知识点四：双曲线的简单几何性质的应用4知识点五：双曲线的离心率5知识点六：直线与双曲线6考题赏析7-13分块讲练14-30. .双曲线知识点1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2
2、|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们
3、之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质=1（a0，b0）范围：|x|a，yR对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0）渐近线：若双曲线方程为渐近线方程若渐近线方程为双曲线可设为若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）特别地当离
4、心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=x准线：l1：x=，l2：x=，两准线之距为焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；，（点P在双曲线的右支上）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）与双曲线共渐近线的双曲线系方程是与双曲线共焦点的双曲线系方程是6曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条
5、切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.9线与椭圆相交的弦长公式 若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；双曲线高考知识点题型一双曲线定义的应用已知定点A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程解设F(x，y)为轨迹上任意一点，A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2F的轨迹方程为：y21 (y1)知识点二求双曲线的标准方程设双曲线与椭圆1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个
6、交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程解方法一设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c236279，c3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线的标准方程为1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所以双曲线的标准方程为1.方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为1(270，b0)c2a2b2，13a2b2.由渐近线斜率得，或，故由或解得或所求双曲线方程为1，或1.(3)由(2)所设方程可得：或解得或故所求双曲线方程为1，或1.知识点五求双曲线的离心率 (1)已知
7、双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_；(2)设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_解析(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21，e；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21，e.(2)直线l的方程为1，即bxayab0.于是有c，即abc2.两边平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4.即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2，ba0，1，e212，故e24，e2.答案(1)或(2)2知识点六直线与双曲线直线l在双曲线1上截得的弦长为
8、4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m.直线l在y轴上的截距为.考题赏析1(全国高考)设a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(，2) B(，)C(2,5) D(2，)解析双曲线方程为1，c.e.又a1，01.112.12
9、4.e0，b0)的一条渐近线为ykx (k0)，离心率ek，则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析双曲线的渐近线方程可表示为yx，由已知可得k.又离心率ek，所以k.即，故a2b.答案C3(湖北高考)如图所示，在以点O圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB=30.曲线C是满足|MA| |MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围解(1)方法一以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直
10、角坐标系，则A(-2,0)，B(2,0)，P(,1)，依题意得|MA|-|MB|=|PA |PB| = |AB|=4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c=2,2a=2，a2=2，b2 = c2 a2=2.曲线C的方程为.方法二同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA|MB|=|PA|PB|0，b0)，则由解得a2 = b2 = 2，曲线C的方程为(2)方法一依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得(1k2)x2-4kx6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，k(，1)(1,1)(1，)设E(x1，y1
11、)，F(x2，y2)，则由式得x1x2，x1x2，于是|EF|.而原点O到直线l的距离d，SOEFd|EF|.若OEF的面积不小于2，即SOEF2，则有2k4k220，解得k.综合、知，直线l的斜率的取值范围为，1)(1,1)(1，方法二依题意，可设直线l的方程为ykx2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，k(，1)(1,1)(1，)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由式得|x1x2|，当E，F在同一支上时(如图(1)所示)，SOEF|SODFSODE|OD|(|x1|x2|)|OD|x1x2|；当E，F在不同支上时(如图(2)
12、所示)，SOEFSODFSODE|OD|(|x1|x2|)|OD|x1x2|.综上得SOEF|OD|x1x2|.于是由|OD|2及式，得SOEF.若OEF面积不小于2，即SOEF2，则有2k4k220，解得k.综合、知，直线l的斜率的取值范围为，1)(1,1)(1，.1实轴长为4且过点A(2，5)的双曲线的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意知2a4，a220，若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为1，代入点A(2，5)，得：1，即，矛盾因此设双曲线的方程为1.代入A(2，5)，得：1，b216.故选B.2如果双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A. B2 C
13、. D2答案A解析因两条渐近线互相垂直所以两渐近直线的倾斜角为、.渐近线的方程为yx，1，即ab，ca，e.3双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，则双曲线方程为()Ax2y296 By2x2160Cx2y280 Dy2x224答案D解析由题意知双曲线的焦点为(0，4)，即c248，又因一条渐近线方程为yx.所以1.即ab，482a2，a2b224.故选D.4F1、F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF290，则F1PF2的面积是()A2 B4 C8 D16答案B解析方程变形为y21，由题意由式两边平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1P
14、F2|PF1|PF2|84.5若方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是()Ak2，或2k5 B2k5Ck5 D2k5答案D 解析由题意知：(|k|2)(5k)5，或2k0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_答案y21解析双曲线顶点为(a,0)，渐近线为xy0，1，a2.又，b，双曲线方程为y21.7已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案1解析由题意知双曲线仅与x轴有交点，即x26x80，x2或x4，即c4，a2.1.8如图，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x
15、2y210x90，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.M点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线(左支)，且a，c5.则有b2.动圆圆心M的轨迹方程为x2y21(x)9椭圆y21(m1)与双曲线y21(n0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求F1PF2的面积解根据椭圆与双曲线焦点都在x轴上，不妨设P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有可解得|PF1|mn，|PF2|mn，即|PF1|
16、2|PF2|22(m2n2)又两者有公共焦点，设半焦距为c.则m21c2，n21c2，m2n22c2.|F1F2|24c22(m2n2)，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，F1PF290.又m21n21c2，m2n22.SF1PF2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)2(m2n2)1.所以F1PF2的面积为1.10已知双曲线x2y2a2及其上一点P，求证：(1)离心率e，渐近线方程yx；(2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；(3)过P作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值证明(1)由已知得ca，e，渐近线方程yx.(2)设P(x0，y0)
17、，则xya2，又F1(a,0)、F2(a,0)，|PF1|PF2|x0a|x0a|2xa2|xy|PO|2.P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方(3)设垂足分别为Q、R，则由点到直线距离公式知|PQ|，|PR|，SPQOR|PQ|PR|xy|a2.该矩形的面积为定值.讲练学案部分 23.1双曲线及其标准方程.对点讲练知识点一双曲线定义的应用如图所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2 , 0
18、)由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即ba=.从而有|CA| |CB|=|AB|=2)【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|9，求|PF2|的值解在双曲线1中，a4，b2.故c6.由P是双曲线上一点，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.知识点二求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P，Q，且焦点在坐标轴上；
19、(2)c，且过点(5,2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线1有相同焦点，且经过点(3，2)解(1)设双曲线方程为1，P、Q两点在双曲线上，解得，所求双曲线方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为：1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，解得5或30(舍去)所求双曲线方程是y21.(3)设所求双曲线方程为：1 (其中416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求双曲线方程为1.【反思感悟】用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双曲线的类型，看焦点位置(如果焦点位置不确定，要分类讨论或设一般式Ax2By21其中AB0)设出标准形式，再定量即确定方程中的参数的值
20、已知双曲线过P1和P2两点，求双曲线的标准方程解因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2ny21 (mn0)，因P1、P2在双曲线上，所以有，解得.所求双曲线方程为1，即1.知识点三双曲线的实际应用一炮弹在A处的东偏北60的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点，(该信号的传播速度为每秒1千米)求A、P两地的距离解以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(3,0)、B(3,0)|PB|PA|410，所以x0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为 （x0.）. 课堂小结：1.平面内到两定点F1，F2的
21、距离之差的绝对值为常数2a（02a0,b0），其焦点为 F1（-c，0），F2（c，0）.3.焦点在y轴上的双曲线的标准方程是（a0,b0），其焦点为F1（0，-c），F2（0,c）.4.c2=a2+b2，焦距| F1F2 |=2c.课时作业一、选择题1若ax2by2b(ab0)，则这个曲线是()A双曲线，焦点在x轴上B双曲线，焦点在y轴上C椭圆，焦点在x轴上D椭圆，焦点在y轴上答案B解析原方程可化为y21，因为ab0，所以0，所以曲线是焦点在y轴上的双线，故选B.2一动圆与两圆：x2y21和x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为()A抛物线 B圆C双曲线的一支 D椭圆答案C解析由题意两
22、定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|11)的左、右两焦点分别为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A. B1 C2 D4答案B解析不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2，由|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以F1PF290.所以SPF1F2|PF1|PF2|1.二、填空题6P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|17，则|PF2|的值为_答案33解析在
23、双曲线1中，a8，b6，故c10.由P是双曲线上一点，得|PF1|PF2|16.因为|PF1|17，所以|PF2|1或|PF2|33.又|PF2|ca2，得|PF2|33.7.1表示双曲线，则实数t的取值范围是_答案t4或t1解析由题意知：(4t)(t1)0，t4或t0，b0)，则a=，AA=7.又设B(11，y1)，C(9，y2)，因为点B、C在双曲线上，所以有1，由题意知y2y120.由、得y112，y28，b7.故双曲线方程为1.10已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，求双曲线的标准方程解设双曲线的标准方程为1，且c，则a2b27.由MN
24、中点的横坐标为知，中点坐标为.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0.，且1，2b25a2.由，求得a22，b25.所求方程为1.23.2双曲线的简单几何性质对点讲练知识点一由方程研究几何性质求双曲线9y216x2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.【反思感悟】求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式1 (或1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.求双曲线
25、9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图解将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.作草图：知识点二由几何性质求方程求与双曲线1共渐近线且过点A(2，3)的双曲线方程解设与双曲线1共渐近线的双曲线方程为(0)因为点A(2，3)在所求的双曲线上，所以，所以所求双曲线方程为，即1.【反思感悟】本题解法有两种，一是按焦点位置分类讨论，二是设共渐近线方程为(0)已知双曲线的两条渐近线方程为xy0，且焦点到渐近线的距
26、离为3，求此双曲线的方程解因为双曲线的渐近线方程是xy0，所以可设双曲线方程为3x2y23(0)，当0时，方程为1，所以a2，b23，c2.焦点(2，0)到xy0的距离是3，解得3，所以双曲线方程为1.当1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d1，同理得到点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250.解不等式，得e25.
27、e1，e的取值范围是e.【反思感悟】求双曲线离心率的常见方法：一是依条件求出a、c，再计算e；二是依据条件提供的信息建立参数a、b、c的等式，进而转化为离心率e的方程，再解出e的值已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为_答案解析由题意知tan60，即cb.所以有13(1)，解之得：e.课堂小结：1.双曲线 (a0,b0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|a.2.双曲线的离心率e = 的取值范围是(1,+),其中c2=a2+b2,且=,离心率e越大,双曲
28、线的开口越大.3.双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为y=x,也可记为;与双曲线具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0).课时作业一、选择题1顶点为A1(0，2)，A2(0,2)，焦距为12的双曲线的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析顶点在y轴上，a2，c6，得b4.标准方程为1.2双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是()A. B.C. D.答案C解析由2a2c(2b)2及b2c2a2，得c2aca20，e2e10，解得e，由e1得，e.3经过点M(3，1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是()Ay2x28 Bx2y28Cx2y24 Dx2y2
29、8答案D解析设双曲线方程为x2y2k，将M点坐标代入得k8.所以双曲线方程为x2y28.4已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.答案B解析|PF1|PF2|2a，即3|PF2|2a，所以|PF2|ca，即2a3c3a，即5a3c，则.二、填空题5双曲线x2y21的两条渐近线的夹角为_答案90解析两条渐近线方程为yx，它们相互垂直，故夹角为90.6若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的虚轴长为_答案4解析以双曲线1 (a0，b0)的焦点(c,0)与渐近线yx为
30、例，得2，故b2，虚轴长为2b4.7双曲线的渐近线方程是3x4y0，则双曲线的离心率e_.答案或解析若焦点在x轴上，则，e ；若焦点在y轴上，则，e .8设圆过双曲线1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_答案解析由双曲线的对称性，不妨设顶点、焦点坐标分别为(3,0)，(5,0)，由题意知圆心的横坐标为4.代入双曲线方程，得圆心纵坐标y，圆心到点(0,0)的距离d .三、解答题9根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点，且一条渐近线为4x3y0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.解(1)因直线x与渐近线4x3y0的交点坐标为，而3|5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为1，由解得故所求的双曲线方程为1.(2)设F1、F2为双曲