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1、,题1.1：已知质点沿轴作直线运动，其运动方程为 。求（l）质点在运动开始后内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。题1.1解：（1）质点在4.0 s内位移的大小（2）由得知质点的换向时刻为（t = 0不合题意）则：所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为题1.2：一质点沿轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设时，。试根据已知的图，画出图以及图。题1.2解：将曲线分为AB、BC、CD三个过程，它们对应的加速度值分别为 （匀加速直线运动） （匀速直线）（匀减速直线运动）根据上述结果即可作出质点的at图在匀变速直线运动中，有由此，可计算在02和46 s时间间隔内各时刻的位置分别为
2、t/s00.511.5244.555.56x/m004048.75558.760用描数据点的作图方法，由表中数据可作02 s和46 s时间内的xt图。在24 s时间内，质点是作v = 20的匀速直线运动，其xt图是斜率k = 20的一段直线。题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为，滑轮到原船位置的绳长为，试求：当人以匀速拉绳，船运动的速度为多少？题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为船的运动速度为而收绳的速率，且因，故题1.3解2：取图所示的极坐标(r,q)，则是船的径向速度，是船的横向速度，而是收绳的速率。由于船速v与径向速度之间夹
3、角位q ，所以由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。题1.4：一升降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺丝自升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距。计算：（1）螺丝从天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。题1.4解1： (1)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时，有，即(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为题1.4解2：(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小，螺丝落至底面时，有(2)由于升降机在t时间内上升的高度为则题1.5：一质点沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设时，质
4、点位于点。按图中所示坐标系，求（1）质点在任意时刻的位矢；（2）时的速度和加速度。题1.5解：如图所示，在Oxy坐标系中，因，则质点P的参数方程为坐标变换后，在Oxy坐标系中有则质点P的位矢方程为5 s时的速度和加速度分别为题1.6：一质点自原点开始沿抛物线运动，它在轴上的分速度为一恒量，其值为，求质点位于处的速度和加速度。题1.6解：因vx = 4.0为一常数，故ax = 0。当t = 0时，x = 0，由积分可得(1) 又由质点的抛物线方程，有 (2)由y方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为 (3) (4)当质点位于x = 2.0 m时，由上述各式可得题1.7：质点在Oxy平面
5、内运动，其运动方程为。求：（1）质点的轨迹方程；（2）在到时间内的平均速度；（2）时的速度及切向和法向加速度。题1.7解：(1)由参数方程消去t得质点的轨迹方程(2)在s到s时间内的平均速度(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t1 = 1.00 s时的速度切向和法向加速度分别为题1.8：质点的运动方程为和，试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。题1.8解：（1）速度分量式为当t = 0时，v0x= -10，v0y = 15，则初速度大小为设v0与x轴的夹角为a，则(2)加速度的分量式为则加速度的大小为设a与x轴的夹角为b，则题1.9：一质点具有恒定加速度，在时，其速度
6、为零，位置矢量。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。题1.9解：由加速度定义式，根据初始条件t0 = 0时v0 = 0，积分可得又由及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i，积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式，即消去参数t，可得运动的轨迹方程这是一个直线方程，直线斜率，。轨迹如图所示。题1.10：飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高为时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？题1.1
7、0解：(1)取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为飞机水平飞行速度，飞机离地面的高度m，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2)视线和水平线的夹角为(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标，物品在抛出2 s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为题1.11：一足球运动员在正对球门前处以的初速率罚任意球，已知球门高为。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）题1.11解：取图示坐标系Oxy，由运动方程消去t得轨迹方程以x = 25.0 m，v = 20.0 及3.44 y 0代入后，可解得
8、71.11 q1 69.92 27.92 q2 18.89如何理解上述角度得范围？在初速度一定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)。如果以q 71.11或q 18.89踢出足球，都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制，q 角也并非能取71.11与18.89之间的任何值。当倾角取值为27.92 q 69.92时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时也球不能射入球门。因此可取的角度范围只能是解中的结果。题1.12：设从某一点以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。题1.12证：取物
9、体抛出点为坐标原点，建立如图所示的坐标系。物体运动的参数方程为消去式中参数q ，得任意时刻的轨迹方程为这是一个以为圆心、v0t为半径的圆方程(如图所示)，它代表着所有物体在任意时刻t的位置。题1.13：一质点在半径为的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置运动到位置，和所对的圆心角为。（1）试证位置和之间的平均加速度为；（2）当分别等于、和时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。题1.13解：(1)由图可看到，故而所以(2)将分别代入上式，得 上述结果表明：当时，匀速率圆周运动的平均加速度趋于一极限值，该值即为法向加速度。题1.14：一质点沿半径为的圆周按规律运动，、都是常量。（1）求时刻的总加
10、速度；（2）为何值时总加速度在数值上等于？（3）当加速度达到时，质点已沿圆周运行了多少圈？题1.14解：(1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2)要使由可得(3)从t = 0开始到t = v0/b时，质点经过的路程为因此质点运行的圈数为题1.15：碟盘是一张表面覆盖一层信息记录物质的塑性圆片。若碟盘可读部分的内外半径分别为和。在回放时，碟盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）进行扫描。（1）若开始时读写碟盘的角速度为，则读完时的角速度为多少？（2）若螺旋线的间距为，求扫描线的总长度和回放时间。题1.15分析：阿基
11、米德螺线是一等速的螺旋线，在极坐标下，它的参数方程可表示为，式中r为极径，r0为初始极径，q为极角，a为常量。它的图线是等间距的，当间距为d时，常量a = d/2p。因此，扫描线的总长度可通过积分得到。解：(1)由于线速度恒定，则由，可得，故碟盘读完时的角速度为(2)在可读范围内，螺旋线转过的极角，故扫描线的总长度为碟盘回放的时间为本题在求扫描线的总长度时，也可采用平均周长的计算方法，即题1.16：地面上垂直竖立一高的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2时正，杆顶在地面上的影子的速度的大小。在何时刻杆影将伸展至长？题1.16解：设太阳光线对地转动的角速度为w，从正午时分开始计时，则
12、杆的影长为s = htgwt，下午2时整，杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时，即s = h，则即为下午3时整。题1.17：一半径为的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在时测得轮缘一点速度值为。求：（1）该轮在的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在内所转过的角度。题1.17解：因，由题意得比例系数所以 则t=0.5 s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在2.0 s内该点转过的角度题1.18：一质点在半径为的圆周上运动，其角位置为。（1）求在时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？（3）为
13、多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？题1.18解： (1)由于，则角速度，在t = 2 s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为(2)当时，有，即此时刻的角位置为(3)要使，则有题1.19：一无风的下雨天，一列火车以的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成角下降，求雨滴下落的速度。（设下降的雨滴作匀速运动）题1.19分析：这是一个相对运动的问题。设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S，火车为动参考系S。v1为S相对S的速度，v2为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系即可解。解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为v1，雨滴相对地面竖直下落的速度为v2，旅客看到雨滴下落的
14、速度v2为相对速度，它们之间的关系为，于是可得题1.20：设有一架飞机从处向东飞到处，然后又向西飞回到处，飞机相对空气的速率为，而空气相对地面的速率为，、间的距离为，飞机相对空气的速率保持不变。（1）假定空气是静止的（即），试证来回飞机飞行时间为；（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为；（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为。题1.20证：由相对速度的矢量关系，有(1)空气是静止的，即u = 0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度v就等于相对空气的速度，故飞行往返所需时间为(2)按题意，当飞机向东时，风速与飞机相对与空气的速度同向；而飞机由东返回时，两者刚好反向。这时，飞机在往返飞行
15、时，相对于地面的速度值分别为和。因此，飞行往返所需时间为(3)当空气速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由可得为，则飞机往返所需时间为题1.21：如图所示，一汽车在雨中沿直线行使，其速率为，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前角，速率为，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？题1.21分析：这也是一个相对运动的问题。可视雨点为研究对象，地面为静参考系S，汽车为动参考系S。如图所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2的方向)应满足。再由相对速度的矢量关系，即可求出所需车速v1.解：由，有而要使，则题1.22：一人能在静水中以的速
16、度划船前进，今欲横渡一宽为、水流速度为的大河。（1）他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？题1.22解：(1)由可知，则船到达正对岸所需时间为(2)由于，在划速v一定的条件下，只有当时，v最大(即)，此时，船过河时间，船到达距正对岸为l的下游处，且有题1.23：一质点相对观察者运动，在任意时刻，其位置为，质点运动的轨迹为抛物线。若另一观察者以速率沿轴正向相对于运动，试问质点相对的轨迹和加速度如何？题1.23解：取Oxy和Oxy分别为观察者O和观察者O所在的坐标系，且使Ox和Ox两轴平行。在t = 0时，两坐标原点重合。由坐标变换得加速度 由此可见，动点相对于系O 是在y方向作匀变速直线运动。动点在两坐标系中加速度相同，这也正是伽利略变换的必然结果。