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1、【红对勾】2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量单元综合测试 新人教A版必修4时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A. B.C. D.解析：利用平行四边形法则作出向量，平移即可发现.答案：C2若向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论正确的是()Aab1 B|a|b|C(ab)b Dab解析：ab2，所以A不正确；|a|2，|b|，则|a|b|，所以B不正确；ab(1，1)，(ab)b(1，1)(1,1)0，所以(ab)b，所以C正确；由于210120，所以a，b不平行，
2、所以D不正确故选C.答案：C3设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：由2，可得P是边AC的中点，从而0.答案：B4已知O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，则()()A4 B2C2 D4解析：由已知得(2,0)，(3,1)，(1,1)，则()(1,1)(3,1)314.答案：A5在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A平行四边形 B矩形C梯形 D菱形解析：8a2b2，四边形ABCD为梯形答案：C6设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2D10解析：
3、由题意可知，解得，故ab(3，1)，|ab|.答案：B7已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析：记a与b的夹角是，则a(ba)aba26cos12，cos.又0，所以.故选C.答案：C8下列说法中，正确的个数为()(1)；(2)若ab0，则a与b的夹角是钝角；(3)向量e1(2，3)，e2(，)能作为平面内所有向量的一组基底；(4)若ab，则a在b上的投影为|a|.A1 B2C3 D4解析：()，(1)正确；当|a|b|1且a与b反向时，ab10，但a与b的夹角为180，因而(2)不正确；由于e14e2，所以e1e2，所以向量e1，e2不能作为基
4、底，(3)不正确；若ab，则a与b的夹角为0或180，所以a在b上的投影为|a|cos|a|，(4)不正确答案：A9已知a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)，又c(ab)，则有3mn0，联立解得m，n.故c(，)答案：D10在ABC中，P是边BC的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cab0，则ABC的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形解析：如图，由cab0，知c()ab(
5、ac)(cb)0，而向量与不共线，accb0，故选A.答案：A11若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2解析：由向量a，b，c都是单位向量可得a21，b21，c21，由ab0及(ac)(bc)0，可得(ab)cc21，因为|abc|2a2b2c22ab2ac2bc，所以有|abc|232(acbc)1，故|abc|1.所以|abc|的最大值为1.答案：B12定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下列说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)
6、D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A正确；因为abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以B错误；对于任意的R，(a)b(ab)mqnp，所以C正确；(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正确故选B.答案：B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与船前进方向的夹角为，人的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为_J.解析：功W6050
7、cos1 500(J)答案：1 50014设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析：设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，则a(4，2)答案：(4，2)15(2013山东卷)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()(1)94(1)32()0，解得.答案：16(2012江苏卷)如图(1)，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_ 解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(
8、2)，则B(，0)，E(，1)设F(x,2)(0x)，由可得x，则x1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在边长为1的等边三角形ABC中，设2，3.(1)用向量，作为基底表示向量；(2)求.解：(1).(2)()()|cos150|cos301()1.18(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标(2)若|c|，且2ac与4a3c垂直，求a与c的夹角解：(1)设b(x，y)，由|b|2，ab得得或所以b(2,4)或b(2，4)(2)由已
9、知(2ac)(4a3c)，(2ac)(4a3c)8a23c22ac0，又|a|，|c|，解得ac5，所以cosa，c，a，c0，所以a与c的夹角为.19(12分)如图，平行四边形ABCD中，a，b，H，M是AD，DC的中点，F使BFBC.(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求.解：(1)连接AF，由已知得ab.ab，b(ab)ab.(2)由已知得ab|a|b|cos12034()6，从而(ab)(ab)|a|2ab|b|232(6)42.20(12分)设a，b是两个不共线的非零向量(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、(ab)三个向量的终点
10、在一条直线上？(2)若|a|b|，且a与b的夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小？解：(1)设atbma(ab)，mR，化简得(m1)a(t)b.因为a与b不共线，故，即t时，a、tb、(ab)三个向量的终点在一条直线上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60(1t2t)|a|2，故当t时，|atb|有最小值|a|.21(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，
11、D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A，E，C三点共线，存在实数k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，.设A(x，y)，则(3x,5y)，(7，2)，解得，即点A的坐标为(10,7)22(12分)已知在等边ABC中，点P为线段AB上一点，且(01)(1)若等边三角形边长为6，且，求|；(2)若，求实数的取值范围解：(1)当时，()22，62262cos1202228，所以|2.(2)设等边三角形的边长为a，则()()a2a2，()()a22a2，所以a2a2a22a2，即220，解得.又01，19