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1、第二章多元1本讲稿第一页，共四十七页1 矩阵理论及随机向量 n本节主要介绍多元统计分析中用到的矩阵和向量代数知识，以及将概率论及数理统计中的随机变量理论推广到随机向量。本讲稿第二页，共四十七页一、矩阵代数一、矩阵代数 本讲稿第三页，共四十七页7.8.9.10.本讲稿第四页，共四十七页二、随机向量和随机矩阵二、随机向量和随机矩阵n随机向量是元素为随机变量的向量；n随机矩阵是元素为随机变量的矩阵。本讲稿第五页，共四十七页三、随机向量及其分布三、随机向量及其分布本讲稿第六页，共四十七页本讲稿第七页，共四十七页四、均值向量和协方差矩阵四、均值向量和协方差矩阵1均值向量和均值矩阵均值向量和均值矩阵本讲稿
2、第八页，共四十七页2协方差矩阵（方差协方差矩阵（方差-协方差矩阵）协方差矩阵）本讲稿第九页，共四十七页本讲稿第十页，共四十七页本讲稿第十一页，共四十七页本讲稿第十二页，共四十七页3相关系数矩阵相关系数矩阵本讲稿第十三页，共四十七页本讲稿第十四页，共四十七页作业作业本讲稿第十五页，共四十七页五、随机向量线性变换的均值向量和协方差矩阵五、随机向量线性变换的均值向量和协方差矩阵 本讲稿第十六页，共四十七页本讲稿第十七页，共四十七页作业：作业：本讲稿第十八页，共四十七页本讲稿第十九页，共四十七页本讲稿第二十页，共四十七页2 多元正态分布及其推广 n正态分布的重要性在于它的双重作用:n既可作为某些自然现
3、象总体模型n又可作为许多统计量近似的抽样分布。本讲稿第二十一页，共四十七页一、多元正态的概率密度及其性质一、多元正态的概率密度及其性质1多元正态概率密度本讲稿第二十二页，共四十七页本讲稿第二十三页，共四十七页 这种定义是用多个正态变量的任意线性组合给出多元正态随机向量的定义，其优点是多元正态的某些性质，可用一元正态性质得到。本讲稿第二十四页，共四十七页二、多元正态变量的基本性质二、多元正态变量的基本性质 2.成立。即正态变量的任何一个分量仍是正态变量，任何两个分量的和与差均为正态变量；本讲稿第二十五页，共四十七页3.本讲稿第二十六页，共四十七页4.5.本讲稿第二十七页，共四十七页6.本讲稿第二
4、十八页，共四十七页三、多元正态分布的参数估计三、多元正态分布的参数估计1多元样本的表示本讲稿第二十九页，共四十七页 多元分析处理的多元数据一般都属于横截面数据（多元分析处理的多元数据一般都属于横截面数据（PANEL DATA），如果是时序数据则属于多元时间序列分析的范畴。），如果是时序数据则属于多元时间序列分析的范畴。多元样本中的每个样品，对多元样本中的每个样品，对p个指标的观测值往往有相关关个指标的观测值往往有相关关系，但不同样品之间的观测值一定相互独立；系，但不同样品之间的观测值一定相互独立；NOTE：本讲稿第三十页，共四十七页2多元样本的数字特征（1）样本均值可定义为（2）样本离差阵可定
5、义为本讲稿第三十一页，共四十七页本讲稿第三十二页，共四十七页（3）样本协差阵可定义为（4）样本相关阵可定义为本讲稿第三十三页，共四十七页3、多元正态分布参数的极大似然估计及其基本性质，本讲稿第三十四页，共四十七页基本性质 本讲稿第三十五页，共四十七页 样本均值向量和样本离差阵在多元统计推断中具有十分重要的作用，并有如下结论：本讲稿第三十六页，共四十七页本讲稿第三十七页，共四十七页四、多元正态分布的变形形式四、多元正态分布的变形形式 1Wishart分布及其性质 本讲稿第三十八页，共四十七页（1）定义（两种形式的定义）定义（两种形式的定义）首先从形式上推广，有矩阵形式的定义。本讲稿第三十九页，共四十七页本讲稿第四十页，共四十七页 其次给出它的密度形式定义，这是由Wishart（1928）导出的。这里只给出它的中心分布的密度形式，非中心分布的密度比它复杂。本讲稿第四十一页，共四十七页（2）基本性质）基本性质本讲稿第四十二页，共四十七页本讲稿第四十三页，共四十七页（1）定义）定义 NOTE：本讲稿第四十四页，共四十七页（2）性质）性质本讲稿第四十五页，共四十七页回顾一元时的Beta分布。本讲稿第四十六页，共四十七页NOTE：本讲稿第四十七页，共四十七页