《9.3.1 平面向量基本定理 讲义 （word版含解析）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9.3.1 平面向量基本定理 讲义 （word版含解析）.doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、93向量基本定理及坐标表示93.1平面向量基本定理学习指导核心素养1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算：平面向量基本定理及其应用1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内两个不共线的向量结论对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2基底两个不共线的向量 e1，e2叫作这个平面的一组基底探究点 1平面向量基本定理的理解(多选)设 e1，e2是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是()Ae1与 e1e2Be12e2与 e22e1Ce12e2与 4e22e1De1e2与 e1e
2、2【解析】A设 e1e2e1，则1，10，无解，所以 e1e2与 e1不共线，即 e1与 e1e2能作为一组基底B设 e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则120，20，无解，所以 e12e2与 e22e1不共线，即 e12e2与 e22e1能作为一组基底C因为 e12e212(4e22e1)，所以 e12e2与 4e22e1共线，即 e12e2与 4e22e1不能作为一组基底D设 e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则10，10，无解，所以 e1e2与 e1e2不共线，即 e1e2与 e1e2能作为一组基底【答案】ABD对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底
3、，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表示出来 设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1ay1bx2ay2b，则x1x2，y1y2.提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样1 设点 O 是ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()AD与AB；DA与BC；CA与DC；OD与OB.ABCD解析：选 B寻找不共线的向量组即可，在ABCD 中，AD与AB不共线，CA与DC不共线；而DABC，ODOB
4、，故可作为基底2.点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是()A OA，BCB OA，CDC AB，CFD AB，DE解析：选 B由题图可知，OA与BC，AB与CF，AB与DE共线，不能作为基底向量，OA与CD不共线，可作为基底向量探究点 2用基底表示平面向量如图，已知在梯形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 AD，BC 边上的中点，且 BC3AD，BAa，BCb.试用基底 a，b 表示EF，DF.【解】连接 FA，DF(图略).因为 ADBC，且 AD13BC，所以AD13BC13b.所以AE12AD16b.因为BF12BC12b.所以FABABFa12b.所
5、以EFEAAFAEFA16ba12b13ba，DFDAAF(ADFA)13ba12b16ba.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解1如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，若ABa，ACb，则AD()Aa12bB12abCa12bD12ab解析：选 D 连接 CD，OD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，可得 CDAB，且CD12AB12a，所以ADACCD12ab，故选 D2.如图所示，在OBC 中，点 A 为 BC 的中点，点 D 是
6、线段 OB 上靠近点 B的一个三等分点，CD，OA 相交于点 E，设OAa，OBb.(1)用 a，b 表示OC，DC；(2)若OEOA，求.解：(1)因为OCOB2OA，所以OC2OAOB2ab，DCOCOD2ab23b2a53b.(2)因为CEOEOCa(2ab)(2)ab，又由 E 在 CD 上，CE与DC共线，所以存在实数，使CEDC.即(2)ab2a53b，则22，153，解得45.探究点 3平面向量基本定理的应用如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AC 上，且 AN2NC，AM 与 BN 相交于点 P，求 APPM 与 BPPN.【解】设BMe1，CNe2，则A
7、MACCM3e2e1，BNBCCN2e1e2.因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线，所以存在实数，使得APAMe13e2，BPBN2e1e2.故BABPPABPAP(2)e1(3)e2.而BABCCA2e13e2，由平面向量基本定理，得22，33，解得45，35所以AP45AM，BP35BN.所以 APPM41，BPPN32.1变条件、变问法在本例条件下，若CMa，CNb，试用 a，b 表示CP.解：由本例解析知 BPPN32，则NP25NB，CPCNNPCN25NBb25(CBCN)b45a25b35b45a.2变条件若本例中的点 N 为 AC 的中点，其他条件不变，求 APPM 与B
8、PPN.解：如图，设BMe1，CNe2，则AMACCM2e2e1，BNBCCN2e1e2.因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线，所以存在实数，使得APAMe12e2，BPBN2e1e2.故BABPPABPAP(2)e1(2)e2.而BABCCA2e12e2，由平面向量基本定理，得22，22，解得23，23所以AP23AM，BP23BN.所以 APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程
9、或方程组即得1(2021江苏省如皋中学高一月考)如图，在直角梯形 ABCD 中，已知ABCD，BAD90，ADAB2，CD1，动点 P 在线段 BC 上运动，且APmABnAD(m，nR)，则1m2n的最小值是()A3B32 2C4D42 2解析：选 C设BPBC.因为BCBAADDCABAD12AB12ABAD.所以APABBPABBCAB12ABAD112ABAD.所以 m112，n，所以 2mn2.1m2n2mn2m2mnn1n2m2mn122n2m2mn4.当且仅当n2m2mn，即 n2m 时取等号，此时1，P 与 C 重合，符合题意.故选 C2.(2021江苏南通市启东中学高一月考)
10、如图，在ABC 中，BD13BC，点 E在线段 AD 上移动(不含端点)，若AEABAC，则_，2的最小值是_解析：设AEmAD(0m1)，则AEmAB13BCmAB13(BAAC)，所以AE23mAB13mAC，而AEABAC，可得23m，13m，所以23m13m2，249m213m49m382116，所以当 m38时，2取得最小值116.答案：21161在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且BD12DA，设CBa，CAb，则CD()A13a23bB23a13bC35a45bD45a35b解析：选 B因为BD12DA，CBa，CAb，所以CDaBDa13BAa13(ba)23a13b.2已
11、知非零向量OA，OB不共线，且 2OPxOAyOB，若PAAB(R)，则 x，y 满足的关系是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选 A由PAAB，得OAOP(OBOA)，即OP(1)OAOB.又 2OPxOAyOB，所以x22，y2，消去得 xy2.3如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若AEABAC，则的值为_解析：由题意，得AE12(ADAC).又ADBCACAB，所以AE12(AB2AC)12ABAC.又AEABAC，所以12112.答案：124在梯形 ABCD 中，ABCD，M，N 分别是边 DA，BC 的中点，且DCABk(k1).设ADe1
12、，ABe2，试用基底 e1，e2表示DC，BC，MN.解：如图，因为ABe2，且DCABk，所以DCkABke2.又因为ABBCCDDA0，所以BCABCDDAABDCADe2ke2e1e1(k1)e2.因为MNNBBAAM0，所以MNNBBAAMBNABAM12BCe212AD12e1(k1)e2e212e1k12e2.A基础达标1若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e112e2C2e23e1，6e14e2De1e2，e1e2解析：选 D不共线的两个向量可以作为平面的一组基底对于 A，e2e1(e1e2)不满足；对于
13、B，2e1e22(e112e2)不满足；对于 C，6e14e22(2e23e1)不满足；故选 D2 在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若BCe1，DCe2，则OC()A12(e1e2)B12(e1e2)C12(2e2e1)D12(e2e1)解析：选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点，BCe1，DCe2，所以OC12(BCDC)12(e1e2)，故选 A3已知 e1，e2为基底，向量ABe1ke2，CB2e1e2，CD3e13e2，若A，B，D 三点共线，则 k 的值是()A2B3C2D3解析：选 ADBCBCDe12e2(e12e2).又 A，B，D 三点共线，则DB和AB
14、是共线向量，所以 k2.4(多选)如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 AB，CD 的中点，则下列结论正确的是()AACAD12ABBMC12AC12BCCMNAD14ABDBCAD12AB解析：选 ABDACADDCAD12AB，A 正确；MCMAAC12BAAC12(BCAC)AC12AC12BC，B 正确；MNMAADDN12ABAD14ABAD14AB，C 错误；BCBAADDCABAD12ABAD12AB，D 正确故选 ABD5 如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，AM45AB，AN23AD，连接 AC，MN
15、 交于 P 点若APAC，则的值为()A35B37C411D413解析：选 C因为AM45AB，AN23AD，所以APAC(ABAD)54AM32AN54AM32AN.因为 M，N，P 三点共线所以54321.解得411.6已知 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy 的值为_解析：因为 a，b 是一组基底，所以 a 与 b 不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以3x4y6，2x3y3，解得x6，y3，所以 xy3.答案：37已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2ACCB0，若OAa，OBb，用 a，
16、b 表示向量OC，则OC_解析：ACOCOA，CBOBOC，因为 2ACCB0，所以 2(OCOA)(OBOC)0.所以OC2OAOB2ab.答案：2ab8如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若BEBABD(，R)，则_解析：因为BEBOOE12BDEA12BDEBBA，所以BE12BA14BD.所以12，14，所以34.答案：349设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b 可以作为一组基底；(2)若 4e13e2aub，求，u 的值解：(1)证明：假设 ab(R)，由 e1，e2不共线，得1，32，
17、所以不存在，故 a，b 不共线，可以作为一组基底(2)由 4e13e2aub，得 4e13e2aub(e12e2)u(e13e2)(u)e1(23u)e2，所以u4，23u3，解得3，u1.10已知 e，f 为两个不共线的向量，在四边形 ABCD 中，已知ABe2f，BC4ef，CD5e3f.(1)将AD用 e，f 表示；(2)求证：四边形 ABCD 为梯形解：(1)ADABBCCD(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为AD8e2f2(4ef)2BC，即AD2BC，所以AD与BC同方向且AD的长度为BC的长度的 2 倍所以在四边形 ABCD 中，AD
18、BC 且 ADBC.所以四边形 ABCD 是梯形B能力提升11(多选)若 e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()Ae1e2(，R)可以表示平面内的所有向量B对于平面中的任一向量 a，使 ae1e2的实数，有无数多对C1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)D若存在实数，使e1e20，则0解析：选 BC由平面向量基本定理，可知 A，D 说法正确，B 说法不正确，对于 C，当12120 时，这样的有无数个，故 C 说法不正确故选 BC12.如图所示，在四边形 ABCD 中，DC13AB，E 为 BC 的中
19、点，且AExAByAD，则 3x2y()A12B32C1D2解析：选 C由题意，得AEABBEAB12BCAB12(ABADDC)AB12ABAD13AB23AB12AD.因为AExAByAD，所以 xAByAD23AB12AD.因为AB与AD不共线，所以由平面向量基本定理得x23，y12所以 3x2y3232121.故选 C13已知在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，APyAD，AQxAB，其中 x，yR，且均不为 0.若PQBE，则xy_解析：因为PQAQAPxAByAD，由PQBE，可设PQBE，即 xAByAD(CECB)12ABAD12ABAD，所以x12，y，则xy1
20、2.答案：1214.如图所示，OMAB，点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OPxOAyOB，则 x 的取值范围是_；当 x12时，y 的取值范围是_解析：由题意得OPaOMbOB(a，b(0，)且 0b0).由a0，得 x(，0).又由OPxOAyOB，知 0 xy1.当 x12时，有 012y1，解得12y0)，设ABa，ADb，已知MNa16b，试求实数，的值解：依题意得BDba，ACab，且DM16DB16(ab)16a16b，ANAOON1212 AC1212(ab)，所以AMADDMb16a16b16a56b，ANAMMN16a56ba16b16a23b.即AN1212(ab)16a23b，由平面向量基本定理，得121223，121216，解得3，12