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1、第3章标准型本讲稿第一页，共二十七页第第3章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍Problem：矩阵矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：理想情况下：理想情况下：A为对角形为对角形 并非所有的矩阵都可以对角化并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形标准形理论。理论。Jordan标准形的应用标准形的应用本讲稿第二页，共二十七页第第3章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍本章的主要结论：本章的主要结论：TheoremTheorem 任何复数域上的任何复数域上的任何复数域上的任何复数域上的n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A都和一个都和一个都和一个都和
2、一个JordanJordan标标标标准形相似准形相似准形相似准形相似Jordan标准形Jordan块本讲稿第三页，共二十七页2.1 求矩阵的求矩阵的Jordan标准形的道路之一标准形的道路之一利用如下的流程图利用如下的流程图A(l)l)=lE-AlE-A行列式因子行列式因子不变因子不变因子初级因子初级因子Jordan块块JA本讲稿第四页，共二十七页1.行列式因子行列式因子:Step1:Step1:计计算所有的算所有的k k阶阶阶阶子式；子式；子式；子式；Step2:Step2:求所有的求所有的k k阶阶子式的首一最大公因式即子式的首一最大公因式即为为D Dn n高高阶阶行列式因子可以整除低行列
3、式因子可以整除低阶阶的行列式因的行列式因子子本讲稿第五页，共二十七页2.不不变变因子因子:高高阶阶不不变变因子可以整除低因子可以整除低阶阶的不的不变变因子因子本讲稿第六页，共二十七页3.初初级级因子因子:对对次数非零的不次数非零的不变变因子因子进进行因式分解，所得的一次因式的方行因式分解，所得的一次因式的方幂幂即即为为初初级级因子因子Remark:来自于不同不来自于不同不变变因子的一次因因子的一次因式不能式不能进进行合并！行合并！本讲稿第七页，共二十七页4.初初级级因子和因子和Jordan块块的关系的关系:一一一一对应对应 初初级级因子因子 Jordan block本讲稿第八页，共二十七页本讲
4、稿第九页，共二十七页2.2 求矩阵的求矩阵的Jordan标准形的道路之二标准形的道路之二利用如下的流程图利用如下的流程图A(l)l)=lE-AlE-A不变因子不变因子初级因子初级因子Jordan块块JASmith标准形标准形本讲稿第十页，共二十七页1.矩矩阵阵及其初等及其初等变换变换 矩阵的初等变换：矩阵的初等变换：交换两行（列）；交换两行（列）；某行（列）乘非零数；某行（列）乘非零数；某行（列）的多项式某行（列）的多项式某行（列）的多项式某行（列）的多项式p(p()倍加到另行（列）倍加到另行（列）倍加到另行（列）倍加到另行（列）和矩阵的初等变换差不多！和矩阵的初等变换差不多！本讲稿第十一页，
5、共二十七页2.矩矩阵阵的的Smith标准形标准形Problem:矩矩阵阵经初等变换可以变成什经初等变换可以变成什么样的矩阵？么样的矩阵？Answer:Smith标标准形准形Theorem:Smith标准形本讲稿第十二页，共二十七页Ex1 求下面矩阵的求下面矩阵的Smith标准形标准形Key step:一阶行列式因子一阶行列式因子=一阶不变因子一阶不变因子本讲稿第十三页，共二十七页3.Smith标标准形和不准形和不变变因子因子 为为A的不变因子；的不变因子；一切的理论依据：一切的理论依据：Theorem(P071,定理定理3.2.5,定理定理3.2.6)相似的矩阵有相同的行列式因子相似的矩阵有相
6、同的行列式因子Ex2:(P071,例例3.2.6)：求求Jordan标准形的第二种方法标准形的第二种方法本讲稿第十四页，共二十七页4.矩矩阵阵的三种因子之的三种因子之间间的的转换转换关系关系Key:最后一个不变因子包含所有的一次因最后一个不变因子包含所有的一次因式式Ex3:(P059,例例3.1.4)本讲稿第十五页，共二十七页2.3 求相似变换的矩阵求相似变换的矩阵PProblem:如何求可逆阵如何求可逆阵P,使得使得PAP1=J?Solution:待定系数法。待定系数法。Example:P060 Example:P060 例例例例3.1.53.1.5本讲稿第十六页，共二十七页2.4 最小多项
7、式最小多项式 (minimal polynomialsminimal polynomials)Def:矩阵多项式矩阵多项式例例 设设本讲稿第十七页，共二十七页1 Cayley-Hamilton Theorem(1858)设设A为为n阶复方阵，阶复方阵，f(l)l)=|lE-AlE-A|，则，则f(A)=0Application：对矩阵多项式进行降次：对矩阵多项式进行降次Example:P074 例例3.3.1本讲稿第十八页，共二十七页哈密顿，哈密顿，哈密顿，哈密顿，WWR R(Hamilton(Hamilton，William Rowan,1805-William Rowan,1805-186
8、5)1865)爱尔兰人爱尔兰人爱尔兰人爱尔兰人哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他3 3岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，4 4岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；5 5岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和希伯来语，喜欢用希腊
9、语朗诵荷马史诗；8 8岁掌握了岁掌握了岁掌握了岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；诗体；诗体；诗体；1010岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语.；他即将学习汉语
10、，；他即将学习汉语，；他即将学习汉语，；他即将学习汉语，但是太难搞到书。但是太难搞到书。但是太难搞到书。但是太难搞到书。1414岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头上用波斯语与大使交谈而出尽风头上用波斯语与大使交谈而出尽风头上用波斯语与大使交谈而出尽风头主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学本讲稿第十九页，共二十七页2 矩阵的零化多项式矩阵的零化多项式 (Annihilating polynomials of
11、 Matrices)(Annihilating polynomials of Matrices)问题：问题：A A C Cnn n，A A 0 0，是否存在非零多项式，是否存在非零多项式g g（），），使使 得得 g(A A )=0？Definition(零化多项式零化多项式零化多项式零化多项式)如果如果 g(A A)=0，则，则g()被称为矩阵被称为矩阵被称为矩阵被称为矩阵A的的的的零化多项式零化多项式。Cayley-Hamilton 定理保证：矩阵的零化多项式定理保证：矩阵的零化多项式存在！存在！本讲稿第二十页，共二十七页3 最小多项式最小多项式DefinitionDefinition（最
12、小多项式）（最小多项式）（最小多项式）（最小多项式）mmA A（）是最小多项式）是最小多项式）是最小多项式）是最小多项式mmA A（A A）=0=0mmA A（）在化零多项式中次数最低。）在化零多项式中次数最低。）在化零多项式中次数最低。）在化零多项式中次数最低。mmA A（）最高次项系数是）最高次项系数是）最高次项系数是）最高次项系数是1 1。mmA A（）整除任何化零多项式）整除任何化零多项式）整除任何化零多项式）整除任何化零多项式本讲稿第二十一页，共二十七页3 最小多项式最小多项式求解最小多项式方法一求解最小多项式方法一求解最小多项式方法一求解最小多项式方法一：最小多项式的结构最小多项式
13、的结构P075 P075 定理定理3.3.43.3.4 最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在于最小多项式的根的重数比后者要低于最小多项式的根的重数比后者要低于最小多项式的根的重数比后者要低于最小多项式的根的重数比后者要低f f（）=|E-A|=E-A|=mmA A（）=本讲稿第二十二页，共二十七页例例例例1 1（P P076，例例3.3.2）例例例例2 设设A A R R4 44，mmA（)=求矩阵求矩阵A的所有可能的的所有可能的Jordan矩阵。矩阵。例例例例3 3 设
14、设设设 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。本讲稿第二十三页，共二十七页相似问题中的一些矩阵结果相似问题中的一些矩阵结果1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（idempotentidempotent）：）：）：）：A A 2=A幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotent）：）：）：）：A 0，k k为正整数，为正整数，A Ak=0=0乘方矩阵（乘方矩阵（involutaryinvolutar
15、y）：）：）：）：A A 2=I=IA A为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。的特征值都是零。A A为为为为乘方乘方乘方乘方矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵 A A为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵本讲稿第二十四页，共二十七页2 设设A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A和和AT 相似。相似。证明思想：证明思想：证明证明A和和AT 相似相似 证明证明
16、Jordan 矩阵矩阵JA和和JAT相似相似 证明证明JA和和JAT的的Jordan 块块J和和JT相似。相似。证明方法：证明方法：取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵S，证明：证明：SJ=JTS （backward identity）本讲稿第二十五页，共二十七页4.设矩阵设矩阵A Fmn，矩阵，矩阵B Fnm，则，则AB和和BA的非零特征值相同。的非零特征值相同。讨论：讨论：若若A、B都是方阵，都是方阵，1.AB和和BA的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？2.AB和和BA的最小多项式是否相同？的最小多项式是否相同？3.AB和和BA是否相似？是否相似？本讲稿第二十六页，共二十七页推荐练习题：第三章推荐练习题：第三章P080：2(2)；3；4；6；8；10；12；本讲稿第二十七页，共二十七页