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1、微分方程组求解方法第1页，共41页，编辑于2022年，星期六本节我们仍考虑被称为本节我们仍考虑被称为平面系统的平面系统的二维自治系统二维自治系统(5.3.1)其中其中 ，在上在上 连续且满足解的连续且满足解的存在唯一性条件。存在唯一性条件。为了研究系统（为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态，）的轨线的定性性态，第2页，共41页，编辑于2022年，星期六必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如
2、果系统的某一解统的某一解 ，满足：满足：则点则点 一定是系统的奇点一定是系统的奇点。第3页，共41页，编辑于2022年，星期六一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较复杂的。又因为对于系统的任何奇点复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均均可用变换可用变换(5.3.2)把（把（5.3.1）变为：）变为：第4页，共41页，编辑于2022年，星期六(5.3.3)且且(5.3.3)的奇点的奇点 即对应于即对应于(5.3.1)的的移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。奇点奇点 。又因为变换。又因为变换(5.3.2)只是一个只是一
3、个平平因此，我们可假设因此，我们可假设 是是(5.3.1)的奇点，的奇点，且且第5页，共41页，编辑于2022年，星期六性态即可。所以设性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足：中的右端函数满足：(5.3.4)如果如果 均是均是 的线形函的线形函数。我们称之为数。我们称之为线性系统线性系统，即，即只须讨论只须讨论(5.3.1)的奇点的奇点 及其邻域的轨线及其邻域的轨线(5.3.5)第6页，共41页，编辑于2022年，星期六5.3.1 几个线性系统的计算机相图几个线性系统的计算机相图一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻域轨线的性态有很大的帮助。域轨线的性
4、态有很大的帮助。Maple可以方便地可以方便地画出其图形，给我们一个直观的形象。画出其图形，给我们一个直观的形象。Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软画轨线图时候先要调入微分方程的软件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定第7页，共41页，编辑于2022年，星期六初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。例例5.3.1 用用Maple描出系统描出系统(5.3.6)在奇点附近轨线的相图。在奇点附近轨线的相图。解解 用用Maple解得解得相相图图5.7。第8页，共41页，编辑于2022年，星期六5.3.
5、2 平面线性系统的初等奇点平面线性系统的初等奇点考虑到一般的平面线性系统考虑到一般的平面线性系统（5.3.5）其中系数矩阵其中系数矩阵 为为常数矩阵常数矩阵。第9页，共41页，编辑于2022年，星期六如果如果 ，则，则 是系统是系统这时的奇点称为这时的奇点称为系统的高阶奇点系统的高阶奇点。下边讨论系统（下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。）的初等奇点。根据线性代数的理论，必定存在非奇异根据线性代数的理论，必定存在非奇异实矩阵实矩阵 ，使得，使得 成为成为 的若当的若当的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.而而则称则称 非为孤立奇点非为孤立奇点,而非孤立奇点充满
6、一条直线，而非孤立奇点充满一条直线，第10页，共41页，编辑于2022年，星期六（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由）标准型，且若当标准型的形式由的特征根的不同情况而具有以下几种形式：的特征根的不同情况而具有以下几种形式：因而对系统（因而对系统（5.3.5）作变换）作变换即即 ，其中，其中第11页，共41页，编辑于2022年，星期六是上边所说的是上边所说的实可逆矩阵实可逆矩阵，则系统，则系统(5.3.5)变为变为:(5.3.10)从从 而变换的几种形式就能容易的得出而变换的几种形式就能容易的得出平面系统（平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于）的轨线结构，至于第12页，共41页，编辑
7、于2022年，星期六原方程组原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须的奇点及附近的轨线结构只须用变换用变换 返回到就行了。返回到就行了。由于变换由于变换 不改变奇点的位置与类不改变奇点的位置与类型型，因此我们只对线性系统的标准方程组给出，因此我们只对线性系统的标准方程组给出讨论。讨论。第13页，共41页，编辑于2022年，星期六记记设设 的特征方程为：的特征方程为：则则特征方程为特征方程为 ，特征根为，特征根为(5.3.11)第14页，共41页，编辑于2022年，星期六由特征根的不同情况分为四种情况来讨论由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:1.特征根为不相等的同号实根特征根为不相等的
8、同号实根此时对应的标准型为此时对应的标准型为(5.3.12)容易求出其通解为容易求出其通解为第15页，共41页，编辑于2022年，星期六（5.3.13）其中其中 是任意常数，是任意常数，对应于零解，对应于零解，对应的对应的 轴正负半轴都是轨线；轴正负半轴都是轨线；对应的对应的 轴正负半轴是轨线；轴正负半轴是轨线；当当 时候，再分两种情况讨论：时候，再分两种情况讨论：（1），），同号且均为负数同号且均为负数 第16页，共41页，编辑于2022年，星期六这时消去这时消去 得得（5.3.14）所以轨线均为以所以轨线均为以 顶点的抛物线，且顶点的抛物线，且当当 时由时由第17页，共41页，编辑于202
9、2年，星期六我们可知：我们可知：当当 时时即切线切即切线切 轴趋于轴趋于 点。点。当当 时时第18页，共41页，编辑于2022年，星期六即切线切即切线切 轴趋于轴趋于 点。点。且由于且由于(5.3.14)知此时原点知此时原点 是是渐近稳定的渐近稳定的，所以系统在原点及附近的相图如下图所示：所以系统在原点及附近的相图如下图所示：图图5.11(a)图图5.11(b)我们把这样的奇点称为我们把这样的奇点称为稳定结点稳定结点。（2），），同号均为正数同号均为正数第19页，共41页，编辑于2022年，星期六这时关于这时关于(1)的讨论在此适用只需将的讨论在此适用只需将改为改为 所以此时的奇点称为所以此时
10、的奇点称为不稳定结点不稳定结点，轨线分布如图轨线分布如图5.11类似，仅是图上的箭头反向。类似，仅是图上的箭头反向。2.为异号实根为异号实根 这时仍有这时仍有(5.3.13)和和(5.3.14)，所以两个坐标轴的，所以两个坐标轴的正负半轴仍为轨线，但是由于正负半轴仍为轨线，但是由于 ，奇点附近，奇点附近第20页，共41页，编辑于2022年，星期六的轨线成为双曲线的且的轨线成为双曲线的且若若 ，则当，则当 时，时，若若 ，则当，则当 时，时，轨线均以轨线均以 轴轴 轴为渐近线，系统在原点及轴为渐近线，系统在原点及附近的轨线分布如附近的轨线分布如:图图5.12(a)图图5.12(b)第21页，共4
11、1页，编辑于2022年，星期六这种奇点成为这种奇点成为鞍点鞍点，它是不稳定奇点它是不稳定奇点。3.为重根为重根 这时由这时由Jordan块块的不同分为两种：的不同分为两种：(1)标准型为标准型为(5.3.15)第22页，共41页，编辑于2022年，星期六且当且当 时，时，即即 是渐近稳定的；是渐近稳定的；反之，当反之，当 时时 为不稳定的。此时的为不稳定的。此时的奇点称为奇点称为临界结点临界结点（星形结点星形结点），），第23页，共41页，编辑于2022年，星期六(2)若若Jordan块块为二阶时，标准型为为二阶时，标准型为(5.3.16)其通解为其通解为(5.3.17)第24页，共41页，编
12、辑于2022年，星期六仍对应的是零件即奇点仍对应的是零件即奇点对应的是对应的是 轴为轨线，但是轴为轨线，但是 轴轴不再是轨线不再是轨线，时消去时消去 得出：得出：(5.3.18)由上式知：由上式知：又因为又因为第25页，共41页，编辑于2022年，星期六所以有所以有因此所有轨线均切因此所有轨线均切 轴于轴于 点，这种奇点点，这种奇点称为称为退化结点退化结点。且当。且当 时为时为稳定的退化结点稳定的退化结点，当当 时为时为不稳定的退化结点不稳定的退化结点。第26页，共41页，编辑于2022年，星期六4.这时系统的标准型为这时系统的标准型为(5.3.19)取极坐标变换取极坐标变换 ,(5.3.19
13、)即即化为化为:第27页，共41页，编辑于2022年，星期六(5.3.20)下边分两种情况下边分两种情况:（1）此时解此时解(5.3.20)得出得出第28页，共41页，编辑于2022年，星期六其中其中 是任意常数，消去是任意常数，消去 得这是这是一族对数螺线一族对数螺线，这样的奇点称为，这样的奇点称为焦点，焦点，且当且当 时是时是稳定焦点稳定焦点，时是时是不稳定焦点不稳定焦点，的正负决定了的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆增加时轨线是顺时针还是逆时针绕原点旋转的。时针绕原点旋转的。第29页，共41页，编辑于2022年，星期六(2)这时特征值是一对纯虚数这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐
14、标下于是系统在极坐标下的通解为：的通解为：为任意的常数且为任意的常数且 。显然这是一族以原点。显然这是一族以原点为中心的同心圆，这样的奇点称为为中心的同心圆，这样的奇点称为中心中心，第30页，共41页，编辑于2022年，星期六中心是中心是稳定奇点稳定奇点但不是渐近稳定的但不是渐近稳定的。归纳上边的讨论得出，系统归纳上边的讨论得出，系统(5.3.5)的奇点的奇点是初等奇点时候根据它的系数矩阵是初等奇点时候根据它的系数矩阵 的的特征方程特征方程(5.3.11)有如下分类：有如下分类：1）当）当 时，时，为为鞍点鞍点；2）当）当 且且 时是结点且时是结点且 是稳是稳第31页，共41页，编辑于2022
15、年，星期六定的，定的，不稳定的；不稳定的；3)当当 且且 时时 是是临界结点或退临界结点或退化结点化结点,且且 是稳定的，是稳定的，是不稳定的；是不稳定的；4)当当 时是时是 焦点且焦点且为稳定的，为稳定的，为不稳定的为不稳定的;5)当当 且且 时，时，是中心。是中心。第32页，共41页，编辑于2022年，星期六由此知道参数由此知道参数 平面，被平面，被 轴，正轴，正 轴轴别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，及曲线及曲线 分成了几个区域，分分成了几个区域，分中心区，退化和临界结点区等等，中心区，退化和临界结点区等等，点。点。但是但是 平面的平面的 轴对应
16、的是系统的高阶奇轴对应的是系统的高阶奇第33页，共41页，编辑于2022年，星期六例例5.3.6 画出下面的线性系统的奇点附近相图画出下面的线性系统的奇点附近相图解解 容易算出容易算出所以所以 是系统的鞍点。是系统的鞍点。第34页，共41页，编辑于2022年，星期六我们求解如下：我们求解如下：(当当 时时 )得到得到 .同样的可以分析画出奇点附同样的可以分析画出奇点附近的轨线分布如近的轨线分布如图图5.18所表示。所表示。第35页，共41页，编辑于2022年，星期六第36页，共41页，编辑于2022年，星期六xyOxyO第37页，共41页，编辑于2022年，星期六Oxy第38页，共41页，编辑于2022年，星期六yx第39页，共41页，编辑于2022年，星期六yx第40页，共41页，编辑于2022年，星期六第41页，共41页，编辑于2022年，星期六