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1、第31次矩阵的特征值与特征向量本讲稿第一页，共二十一页第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念3.1.2 特征值与特征向量的性质本讲稿第二页，共二十一页矩阵的特征值与特征向量定义本讲稿第三页，共二十一页例例解解本讲稿第四页，共二十一页命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。本讲稿第五页，共二十一页它有非零解的充分必要条件是即本讲稿第六页，共二十一页矩阵的特征方程和特征多项式A的特征方程A的特征多项式特征值是特征方程或特征多项式的根本讲稿第七页，共二十一页求矩阵的特征值与特征向量的步骤1.求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.对每个特征值
2、解方程组本讲稿第八页，共二十一页例，求下列矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为本讲稿第九页，共二十一页对应的特征向量可取为本讲稿第十页，共二十一页例：求矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为A的特征值为本讲稿第十一页，共二十一页得基础解系得基础解系本讲稿第十二页，共二十一页本讲稿第十三页，共二十一页特征值和特征向量的性质本讲稿第十四页，共二十一页（7）阶方阵A A与它的转置矩阵A AT T有相同的特征值。本讲稿第十五页，共二十一页定理 设 阶方阵A 有互不相同的特征值 ，(iE A)=0的基础解系为 。则 ；线性无关 定理 设A A为n阶方阵，(A
3、A)=a0E E+a1A A+am A Am，若为A A的特征值，则 ()=a0+a1+amm是 (A A)的特征值。定理本讲稿第十六页，共二十一页例例 设A A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求(1)A A对角线上元素之和(2)|A|A|(3)|A|A2 2+A+E|A+E|解解 设A A=(aij)由定理知a11+a22+a33=1+2+3=1+2+3=6|A|=|A|=123=1 2 3=6因A A的特征值为1，2，3，由定理知A A2 2+A+EA+E的特征值依次为1+1+1=3，22+2+1=7,32+3+1=13再由定理知|A|A2 2+A+E|=A+E|=3713=
4、273本讲稿第十七页，共二十一页第二节 矩阵的对角化 3.2.1 相似矩阵及其性质3.2.2 矩阵的对角化 本讲稿第十八页，共二十一页相似矩阵定义定义 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，或说A和B相似。性质（1）反身性 A相似于A（2）对称性 A相似于B，可推出B相似于A（3）传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。本讲稿第十九页，共二十一页相似矩阵的性质若A和B相似，则1.A和B有相等的秩。2.A和B有相等的行列式。本讲稿第二十页，共二十一页3.A和B有相等的迹。4.A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。本讲稿第二十一页，共二十一页