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1、图乘法及其应用第1页，本讲稿共38页(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。第2页，本讲稿共38页例例.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:MPMi为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?第3页，本讲稿共38页例例.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:MPMi第4页，本讲稿共38页Ch二次抛物线二次抛物线第5页，本讲稿
2、共38页图图（）图图BAq例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:第6页，本讲稿共38页求求MPMi第7页，本讲稿共38页求求MPMi 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.第8页，本讲稿共38页MP求求Mi 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.能用能用 Mi图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?第9页，本讲稿共38页求求MPMi第10页，本讲稿共38页求求MPMi第11页，本讲稿共38页求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi第12页，本讲稿共38页1.图乘法
3、的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.第13页，本讲稿共38页 例例 1.已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第14页，本讲稿共38页 例例 2.已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C
4、两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP第15页，本讲稿共38页 例例 3.已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP第16页，本讲稿共38页 例例 4.图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP第17页，本讲稿共38页 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MP第18页，本讲稿共38页 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，
5、求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MP第19页，本讲稿共38页lPlPl 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角。MP1111对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.11第20页，本讲稿共38页PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：用。如：第21页，本讲稿共38页求求B点水平位移。点水
6、平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同第22页，本讲稿共38页 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq第23页，本讲稿共38页 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi第24页，本讲稿共38页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点水平位移点水平位移
7、,EI=常数。常数。lPllMP1MP第25页，本讲稿共38页解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP第26页，本讲稿共38页 已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCPaD第27页，本讲稿共38页解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCPaDABC1aD若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?第28页，本讲稿共38页B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ABCk=1PABCk有弹簧支座的结构位移计算公
8、式为有弹簧支座的结构位移计算公式为:第29页，本讲稿共38页解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数。MPlllAkk第30页，本讲稿共38页第31页，本讲稿共38页1.功的互等定理功的互等定理:方法一方法一第第 I 状态状态2第第 状态状态由由W1=W 2先加广义力先加广义力P1后再加广义力后再加广义力P2先加广义力先加广义力P2后再加广义力后再加广义力P1第32页，本讲稿共38页1.功的互等定理功的互等定理:方法一方法一先加广义力先加广义力P1,后加广义力后加广义力P2。第第 I 状态状态2第第 状态状态先加广义力先加广义力
9、P2,后加广义力后加广义力P1。由由W1=W 2在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I I I 状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上所状态位移上所状态位移上所状态位移上所做虚功，恒等于做虚功，恒等于做虚功，恒等于做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。功的互等定理功的互等定理第33页，本讲稿共38页方法二方法二由虚功原理由虚功原理2第第 II 状态状态第第 I 状态状态第
10、34页，本讲稿共38页2.位移互等定理位移互等定理:2第第 II 状态状态第第 I 状态状态2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力单位广义力单位广义力单位广义力1 1引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力2 2作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力2 2方向的位移，方向的位移，方向的位移，方向的位移，恒等于单位广义力恒等于单位广义力恒等于单位广义力恒等于单位广义力2 2引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力1 1作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力1 1方向方向方向方向的位移的位移的位移的位移
11、。-位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理第35页，本讲稿共38页2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力是量纲为一的量单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同。如图示长如图示长 l，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨中数值、量纲都相等数值、量纲都相等数值、量纲都相等数值、量纲都相等第36页，本讲稿共38页3.反力互等定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：支座支座支座支座 1 1 1 1 发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单
12、位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座2 2 2 2中的反力恒中的反力恒中的反力恒中的反力恒等于支座等于支座等于支座等于支座 2 2 2 2 发生单位广义位移时所引起的支座发生单位广义位移时所引起的支座发生单位广义位移时所引起的支座发生单位广义位移时所引起的支座1 1 1 1中的反中的反中的反中的反力。力。力。力。-反力互等定理反力互等定理第37页，本讲稿共38页4.反力位移互等定理反力位移互等定理:单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。号相反。号相反。号相反。-反力位移互等定理反力位移互等定理第38页，本讲稿共38页