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1、试卷第 1页，共 5页高中数学北师大版高中数学北师大版（2019）必修第一册第必修第一册第七七章章概率概率综合强化综合强化 5第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题一、单选题1高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格
2、子内求小球落到第 7 个格子（从左开始）的概率是（）A9128B15128C21128D1055122如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A17B27C37D473口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 1,:1,nnnaan当第 次取得白球当第 次取得红球，如果nS为数列 na的前n项和，那么20S 且73S 的概率为试卷第 2页，共 5页A802187B402187C562187D24218
3、74新冠疫情期间，网上购物成为主流因保管不善，五个快递 ABCDE 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A310B13C1130D255已知1a，234,1,2,3,4a a a，1234,N a a a a为1234,a a a a中不同数字的种类，如(112 3)3N，(12 21)2N，求所有的256个1234,a a a a的排列所得的1234,N a a a a的平均值为A8732B114C17764D175646一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i次得到的数为ia，若存在正整数k使得14
4、kiia的概率mpn，其中,m n是互质的正整数，则54loglogmn的值为（）A1B1C2D2二、多选题二、多选题74 支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12 单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同下列结论中正确的是（）A恰有四支球队并列第一名为不可能事件B有可能出现恰有三支球队并列第一名C恰有两支球队并列第一名的概率为14D只有一支球队名列第一名的概率为12第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明三、填空题三、填空题8 对于函数 fx，其定义域为 D，若对任意的
5、12,x xD，当12xx时都有12fxfx，则称函数 fx为“不严格单调增函数”，若函数 fx定义域为1,2,3,4,5,6D，值域为7,8,9A，则函数 fx是“不严格单调增函数”的概率是_9从m个男生和n个女生（104mn）中任选2个人当班长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，如果A的概率和B的概率相同，试卷第 3页，共 5页则(,)m n可能为_.10将给定的 15 个互不相同的实数，排成五行，第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，第四行 4 个数，第五行 5 个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是_.11我国历法中将
6、一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_.四、解答题四、解答题12 某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取 40 名同学进行询问打分，将最终得分按60,65)，65,70)，70,75)，75,80)，80,85)，85,90，分成 6 段，并得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布
7、直方图中 a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若从打分区间在60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间65,70)的概率.13某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据成绩分为A，B，C，D，E五个等级（等级A，B，C，D，E分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分）某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为A的考生有 3 人试卷第 4页，共 5页（1）求该班“数学素养能力测试”的
8、科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为A的人数；（2）若该班共有 9 人得分大于 7 分，其中有 2 人 10 分，3 人 9 分，4 人 8 分从这 9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为X，求P XEX（3）从该班得分大于 7 分的 9 人中选 3 人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是12，35，25，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出
9、结果）14某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益30 万元20 万元15 万元10 万元若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益30万元；有雨时，收益15万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率都为p，两天是否下雨互不影响，基地收益为30万元的概率为0.36.（1）若不额外聘请工人，求基地的预期收益；（2）该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.15在 2019 年女排世界杯中，中国女子排球队以 11 连
10、胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用 5 局 3 胜制，前 4 局比赛采用 25 分制，每个队只有赢得至少 25 分，并同时超过对方 2 分时，才胜 1 局；在决胜局（第五局）采试卷第 5页，共 5页用 15 分制，每个队只有赢得至少 15 分，并领先对方 2 分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得 1 分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得 1 分.现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（
11、第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各 14 分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢 1 分的概率为25，乙发球时甲赢 1 分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了(4)x x 个球后甲赢得整场比赛，求 x 的取值及相应的概率 p（x）.答案第 1页，共 11页参考答案参考答案1C【分析】落入第 7 个格子需要3次左6次右，计算概率得到答案.【详解】小球从开始下落到结束共有 9 次左右下落情况，落入第 7 个格子需要3次左6次右，故概率是：699212128C.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.2D【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案
12、有 420 种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有 120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C区域涂色不相同的概率【详解】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,A B C D E,分 4 步进行分析：，对于区域A，有 5 种颜色可选；，对于区域B与A区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域E，与,A B区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有 3 种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有 2 种颜色可选，C区域有 2 种颜色可选，则区域,D C有32 27 种选择，
13、则不同的涂色方案有5 4 3 7420 种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有：，对于区域A，有 5 种颜色可选；答案第 2页，共 11页，区域C，有 4 种颜色可选；对于区域B，有 3 种颜色可选；，若D与B颜色相同，E区域有 2 种颜色可选；若D与B颜色不相同，D区域有 2 种颜色可选，E区域有 1 种颜色可选；所以区域,D E有224种选择；不同的涂色方案有5 4 3 4240 种，,A C区域涂色不相同的概率为24044207p,故选 D【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本
14、事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn求得概率.3A【分析】73S 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解，再求出前两次为(1)(1)，后五次均为 1 的概率，即可得出结论【详解】由题意73S 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，5 次白的，每次取得红球的概率为23，取得白球的概率为13，则22572184()()332187PC；又20S，所以，前两次不能为(1)(1)，前两次为(1)(1)，后五次均为 1 的概率为：11522171432187C CP，所以所求概率为：1802187PP故选 A
15、【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定73S 说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键4C答案第 3页，共 11页【分析】5 个快递送到 5 个地方有55120A 种方法，全送错的方法：第一步 A 送错有 4 种可能，然后第二步是关键，考虑 A 送错的地方对应的快递，如A送到丙地，第二步考虑快递C，而C送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的 3 个快递分别考虑即可完成【详解】5 个快递送到 5 个地方有55120A 种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递A送错有 4 种方法，第二步考虑A所送位置对应的快递，假设A送到丙地，第二步考虑快
16、递C，对C分类，第一类C送到甲地，则剩下,B D E要均送错有 2 种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类C送到乙丁戊中的一个地方，有 3 种可能，如送到丁地，剩下的,B D E只有甲乙戊三地可送，全送错有 3 种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），总的方法数为4(1 23 3)44，所求概率为441112030P 故选：C【点睛】本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好5D【分析】本题首先可以确定1234,N a a a a的所有可能取值分别为1 2 3 4、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取
17、值所对应的概率即可计算出1234,N a a a a的平均值【详解】由题意可知：当1234,1N a a a a时，14114464P；当1234,2N a a a a时，1214442468421425664CCCP；当1234,3N a a a a时，344 3 6+3+31449425616P；答案第 4页，共 11页当1234,4N a a a a时，4444243=425632AP，综上所述，所有的256个1234,a a a a的排列所得的1234,N a a a a的平均值为：121931751+2+3+4=6464163264，故选 D【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题
18、意得出1234,N a a a a的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题6B【解析】分析：先求 k=i 时的概率，再求 p 的值，最后求54loglogmn的值.详解：当 k=1 时，概率为1.4当 k=2 时，4=1+3=2+2=3+1，概率为213()4.当 k=3 时，4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为313()4.当 k=4 时，4=1+1+1+1，概率为41()4.所以 p=3413316448 12 11255.416642562562564所以434,5.nm所以54loglogmn=3-4=-1.故答案为 B
19、点睛：（1）本题主要考查概率的求法和对数的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是读懂已知条件，由于已知中的字母比较多，比较抽象，难以读懂，可以给字母取值，把问题具体化，帮助自己读懂已知.7ABD【分析】4 支足球队进行单循环比赛总的比赛共有246C 场比赛，比赛的所有结果共有6264种；选项 A，这 6 场比赛中不满足 4 支球队得分相同的的情况；选项 B，举特例说明即可；答案第 5页，共 11页选项 C，在 6 场比赛中，从中选 2 支球队并列第一名有246C 种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项 D，只有一支球队名列第一
20、名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4 支足球队进行单循环比赛总的比赛共有246C 场比赛，比赛的所有结果共有6264种；选项 A，这 6 场比赛中若 4 支球队优先各赢一场，则还有 2 场必然有 2 支或 1 支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项 B，其中 ,a bb cc dd aa cd b6 场比赛中，依次获胜的可以是,a b c a c b，此时 3 队都获得 2 分，并列第一名，正确；选项 C，在 ,a bb cc dd aa cd b6 场比赛中，从中选 2 支球队并列第一名有246C 种可能，若选中 a，b，其中第一类 a
21、 赢 b，有 a,b,c,d,a,b 和 a,b,d,c,a,b 两种情况，同理第二类 b 赢 a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6 43648，错误；选项 D，从 4 支球队中选一支为第一名有 4 种可能；这一支球队比赛的 3 场应都赢，则另外3 场的可能有328种，故只有一支球队名列第一名的概率为814642，正确.故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.8154【分析】答案第 6页，共 11页考虑有 4 个函数值相同，有 3 个函数值相同，各有 2 个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有 4 个函数
22、值相同时：共有436390CA，满足条件的有133C 种；当有 3 个函数值相同，另外有 2 个函数值相同时，共有323633360CCA，满足条件的有2 1 1 26 种；当各有 2 个函数值相同时，共有226490CC，满足条件的有 1 种.故3611903609054p.故答案为：154.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.9(10,6)【分析】此题基本事件总数一定，两个事件的概率相同，则其包含的基本事件个数相同，分别求出，列出方程，根据104mn分析即可得解.【详解】从m个男生和n个女生（104mn）中任选2个人当班长，共2m nC种，假设事件A表示选
23、出的2个人性别相同，包含基本事件个数为22mnCC，事件B表示选出的2个人性别不同，包含基本事件个数为mn如果A的概率和B的概率相同，则2222mnm nm nCCmnCC，即22mnCCmn，1122m mn nmn，化简得：2mnmn，mn是完全平方数，（104mn）919mn，所以mn=16，4mn，所以(,)m n可能为(10,6).故答案为：(10,6)【点睛】答案第 7页，共 11页此题以古典概型为背景实际考查计数原理相关知识，涉及整数的相关处理办法，综合性强，对解题能力要求较高10245【分析】通过分析最大数在第n行的概率，得到规律，从而可求得结果【详解】解：设kx是从上往下数第
24、k行的最大数，设12nxxx的概率为np，最大数在第n行的概率为22(1)(1)12nnn nn nn，在任意排好第n行后余下的(1)2n n 个数排在前(n)1行符合要求的排列的概率为1np，所以121nnppn，以此类推，1222213(1)!nnppnnn，所以当5n 时，55226!45p，故答案为：245【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第n行的概率为22(1)(1)12nnnpn nn nn，通过分析得到121nnppn，以此类推，1222213(1)!nnppnnn，从而可求得结果，属于较难题11712【分析】先分类
25、讨论求出所求事件数，再利用古典概型的方法计算概率即可.【详解】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：336A，答案第 8页，共 11页第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：1122228CCA,总的事件数为：4424A，故所求概率为：1472412P.故答案为：712.【点睛】本题考查古典概型的应用，考查排列组合的应用，考查分析能力和计算能力，属于中档题.12（1）0.04a，中位数为77.5；（2）1415.【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为 1，由(0.010.020.0
26、60.050.02)51a求得 a，然后利用中位数公式求解.（2）先分别得到打分区间在60,65)和打分区间在65,70)的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为 1，所以(0.010.020.060.050.02)51a，解得0.04a，所以中位数为758077.52；（2）打分区间在60,65)的同学共有10 0.01 52 人，分别记为,A B，打分区间在65,70)的同学共有40 0.02 54 人，分别记为a b c d,，从这 6 人中随机抽出两位同学，共有以下 15 种情况：AB，Aa，Ab，Ac，Ad；Ba，Bb，Bc
27、，Bd；ab，ac，ad；bc，bd；cd其中，至少有一位同学来自打分区间65,70)共有 14 种情况：Aa，Ab，Ac，Ad；Ba，Bb，Bc，Bd；ab，ac，ad；bc，bd；cd所以至少有一位同学来自打分区间65,70)的概率为1415P.【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图：求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为 1 求解；求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的12对应点求解；答案第 9页，共 11页求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解；13（1）2.575,4；（2）1942；（3）乙，甲，丙【分析】（1）根据频率分布直方图，直接求加
28、权平均数，再根据语文素养能力测试为A的频率和人数得出总人数，再根据“数学素养能力测试”科目的频率即可得解.【详解】（1）由图可知，数学素养能力测试为A的频率为 0.1，故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为0.1 50.07540.375 30.220.25 12.575 ，语文素养能力测试为A的频率为 0.075，故而该班有3 0.07540人“数学素养能力测试”科目成绩为A的人数400.14（人）（2）依题：x的取值可为 29，28，27，26，25，2413393(29)84CP XC，1214323910(28)84CC CP XC，311133243925(27)84CC C CP
29、 XC，212142343924(26)84C CC CP XC，21433918(25)84C CP XC，34394(24)84CP XC，31025241841292827262524268484848484843EX，()(29)(28)(27)P XEXP XP XP X3 1025198442（3）乙，甲，丙【点睛】本题考查了频率分布直方图的识别与分析，考查了利用排列组合求概率及期望，以及对概率的深入理解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于较难题.14（1）预期收益为20.8万元；（2）见解析【分析】（1）由题知，两天都无雨的概率为210.36p，解得0.4p，写出基地收益 X 的
30、可能取值，利用独立事件同时发生的概率计算公式，计算对应的概率，写出分布列，求出数学期望()E X；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望()E Y，比较()E X、()E Y，即答案第 10页，共 11页可得出结论.【详解】解：（1）由题意得210.36p，解得0.4p，基地收益X的可能取值为30,20,15,10，则300.36P X，200.24P X，150.24P X，100.16P X，所以基地收益X的分布列为X30201510P0.360.240.240.1630 0.3620 0.24 15 0.24 10 0.1620.8E X（万元），所以基地的预期收益为20
31、.8万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益 30 0.6 15 0.424E Yaa，3.2E YE Xa，综上，当额外聘请工人的成本高于3.2万元，不额外聘请工人；成本高低于3.2万元，额外聘请工人；成本等于3.2万元，额外聘请或不额外聘请工人均可.【点睛】本题考查了独立事件同时发生的概率问题，离散型随机变量的分布列和数学期望的应用问题，也考查了数学期望的计算问题，综合性较强的题.15（1）34（2）x 的取值为 2 或 4,4(2),25p72(4)625p.【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公
32、式得结果；（2）先根据比赛规则确定 x 的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.答案第 11页，共 11页【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224，（2）根据比赛规则，x 的取值只能为 2 或 4,对应比分为16:14,17:15.两队打了 2 个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p；两队打了 4 个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为333222272(4)55555552356 5p.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.