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1、高等数学线性代数高等数学线性代数本讲稿第一页，共二十六页线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题一、线性空间的定义一、线性空间的定义本讲稿第二页，共二十六页若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯
2、一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合，为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作本讲稿第三页，共二十六页如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）本讲稿第四页，共二十六页本讲稿第五页，共二十六页2 向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线
3、性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为为线性运算线性运算本讲稿第六页，共二十六页（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩
4、阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法线性空间的判定方法本讲稿第七页，共二十六页通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律本讲稿第八页，共二十六页本讲稿第九页，共二十六页例例 正弦函数的集合正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间本讲稿第十页，共二十六页是一个线性空间是一个线性空间.例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成
5、实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间一般地一般地本讲稿第十一页，共二十六页例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭本讲稿第十二页，共二十六页下面一一验证八条线性运算规律
6、：下面一一验证八条线性运算规律：本讲稿第十三页，共二十六页所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间本讲稿第十四页，共二十六页不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体本讲稿第十五页，共二十六页1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，由于由于所以所以则对任何则对任何 ，有有二、线性空间的性质二、线性空间的性质本讲稿第十六页，共二十六页2 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明假设假设 有
7、两个负元素有两个负元素 与与 ，那么那么则有则有向量向量 的负元素记为的负元素记为本讲稿第十七页，共二十六页证明证明本讲稿第十八页，共二十六页4如果如果 ，则则 或或 .证明证明假设假设那么那么又又同理可证：若同理可证：若 则有则有本讲稿第十九页，共二十六页三、线性空间的子空间三、线性空间的子空间定义定义2 2设设 是一个线性空间，是一个线性空间，是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间定理线性空间定理线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分
8、构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭本讲稿第二十页，共二十六页解解(1)不构成子空间不构成子空间.因为对因为对例例8 8有有本讲稿第二十一页，共二十六页即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意对任意有有于是于是本讲稿第二十二页，共二十六页满足满足且且本讲稿第二十三页，共二十六页线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线线性性空空间间是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算四、小结四、小结线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.本讲稿第二十四页，共二十六页思考题思考题本讲稿第二十五页，共二十六页思考题解答思考题解答本讲稿第二十六页，共二十六页