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1、,第三章习题 ( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22) 3.1 半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为3.1解 如题3.1.1图。均质棒受到碗的弹力分别为，棒自身重力为。棒与水平方向的夹角为。设棒的长度为。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零。沿过点且与轴平行的合力矩为0。即： 由式得：又由于即将代入得： 3.6把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：二原子分子。它们的质量是，距离是。形状为等腰三角形的三原子分子，三
2、角形的高是，底边的长度为。底边上两个原子的质量为，顶点上的为。 3.6解 （a）取二原子的连线为轴，而轴与轴通过质心。为质心，则，轴即为中心惯量主轴。设、的坐标为，因为为质心（如题3.6.2图）故且 由得所以中心惯量主轴：（b）如题3.6.3图所示，该原子由、三个原子构成。为三个原子分子的质心。由对称性可知，图中、轴即为中心惯量主轴。设、三原子的坐标分别为，因为为分子的质心。所以=又由于由得：故该分子的中心主转动惯量3.7如椭球方程为试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为，并且密度是常数。3.7解 如题3.7.1图所示。沿轴平行于平切椭球得切面为一椭圆，则该椭圆方程
3、为： 可求该切面的面积故积分同理可求 故中心主转动惯量：又由于椭球体积故将代入得：3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为试证明之。式中为对角线的长度。3.9解 如题3.9.1图所示坐标系。为正方体中心。、分别与正方体的边平行。由对称性可知，、轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为。设为平行于轴的一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量根据对称性得易求正方体的对角线与、轴的夹角都为。且故正方体绕对角线的转动惯量又由于绕对角线的回转半径由得 3.10一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？3.10
4、解 如题3.10.1图。轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有即为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）=由得又因为故所以得 3.12矩形均质薄片，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？3.12解 如题3.12.1图，第3.12.1图坐标与薄片固连，则沿轴方向有： 且现取如图阴影部分的小区域 ，该区域受到的阻力对轴的力矩 所以又薄片对轴的转动惯量 由得：当时，3.13一段半径
5、为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。3.13解 如题3.13.1图所示，坐标系的原点位于圆弧最顶点。设圆弧平衡时，质心的坐标为。如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度，则满足微分方程为圆弧相对于轴的转动惯量。当很小时，代入上式得：圆弧上对应转角为的一小段圆弧的坐标为质心的纵坐标上式中为圆弧的线密度 又其中，将代入得解式得通解微振动周期3.20质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。3.20解 如题3.20.1
6、图，设圆柱体的转动角速度为，设它受到地面的摩擦力为，由动量定理和动量矩定理知： 对于滑块。由动量定理知： 又无滑滚动条件： 两边对时间求导：以为基点：假设绳不可拉伸。则。故由解得：3.21一飞轮有一半径为的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为。在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为的重物。如飞轮受到阻尼力矩的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过角后，绳子与杆轴脱离，并再转过角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。3.21解 （1）如题3.21.1图。设轴过点垂直纸面向外。绳子上的弹力为。对于飞轮，根据动量矩定理，在轴方向：为物块下落的加速度。因为物块的加速度应与点加速度一
7、样大小，故 由解得：（2） 假若飞轮受到的阻尼力矩为的话，由（1）问知，飞轮的角加速度。现在来求绳子脱落以后飞轮的角加速度。同样根据动量矩，在轴方向：可以证明：类似于位移、加速度、初速度和末速度之间的关系式。角位移、角加速度、角初速度、角末速度之间也有类似的关系：对于绳子脱落到停止转动的过程有：式中指绳子脱落时飞轮的角加速度，由解得： 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，质量为，将光滑的一面放在水平桌上，木板上放一质量为的球。若板沿其长度方向突然有一速度，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？3.22解 如题3.22.1图。轴与速度方向一致，轴垂直纸面向外。设球的半径为，则球绕任一直径的转动惯量。由动量定理和动量矩定理可知：由得：设球与板的接触点为，则时刻点的速度为：t时刻木板速度：球由滑动变为滚动的条件是： 由解得：