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1、,北航10秋学期线性代数模拟题一本复习题页码标注所用教材为：工程数学（线性代数）魏战线2000年10月第2版辽宁大学出版社如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、 设A为2008阶可逆方阵，则 （ ）A. B. C. D. 参考答案：B2、已知的一次多项式，则式中一次项的系数为（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：B3、 设为矩阵，则元齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是（ ）A的行向量组线性无关 B的行向量组线性相关C的列向量组线性无关 D的列向量组线性相关参考答案：C4、设列向量组，则与三阶行列式等值的行列式是（ ）（
2、A） （B） （C） （D）参考答案：C5、 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（ ）A B C D 参考答案：B二、 判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6、A对 B错参考答案：A7、 两个对称矩阵一定合同。（ ）A对 B错参考答案：B8、A对 B错参考答案：A9、 相似矩阵有相同的特征多项式。（ ）A对 B错参考答案：A10、A对 B错参考答案：B三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11、设四阶行列式，是其元的代数余子式，则，。考核知识点：行列式的概念及计算 ，参见 P35参考答案：68, -4812、 设实二次型的秩为
3、4，正惯性指数为3，则其规范形为 。 考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204参考答案： 13、线性方程组有非零解的充要条件是满足 考核知识点：齐次方程组解的结构 ，参见 P128参考答案：14、 若矩阵正定，则的取值范围是 。 考核知识点：正定二次型与正定矩阵 ，参见 P205参考答案：15、设矩阵与相似，则, . 考核知识点：相似矩阵 ，参见 P159参考答案：192, 280 16、设二次型的正惯性指数为，负惯性指数为，则等于 。 考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204参考答案：0 17、将二次型化为的可逆线性变换为.考核知识点：化二次型为标准型 ，参见 P
4、194参考答案：18、 设向量、的长度依次为2和3，则向量与的内积= 。 考核知识点： 向量及其运算 ，参见 P79参考答案：-519、已知阶矩阵的特征值为，则的特征值为，的特征值为.考核知识点：矩阵的特征值 ，参见 P149参考答案：3，5，11； 3，7，13 20、二次型的规范型为 。 考核知识点：二次型的规范形 ，参见 P204参考答案：得分评卷人四、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）21、计算行列式考核知识点：行列式的定义及计算 ，参见 P34参考答案：解：22、 设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A。考核知识点： 矩阵的特征值与特征向量 ，参见
5、 P149参考答案：23、设矩阵与相似，求，并求一个正交矩阵，使得.考核知识点： 相似矩阵的概念及运算 ，参见 P159参考答案：解：由与相似知，即；又也是的特征值，故，即，计算得，从而.当时，解方程有，从而有解，单位化得；当时，解方程有，从而有两个正交解，单位化得；因此所求得正交矩阵.24、已知非齐次线性方程组（1） 求方程组系数矩阵A的秩。（2） 求的值。考核知识点：非齐次方程组解的结构 ，参见 P137 参考答案：25、 考核知识点： 齐次方程组解的结构 ，参见 P128参考答案：五、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）26、设为阶矩阵, 证明：.考核知识点： 矩阵及行列式的运算，参见 P13，P34参考答案：证明：当可逆时，；当时，有，从而；当且不可逆时，有 否则，必可逆，从而由知必有，与矛盾； 综上所述知结论成立。